吉林省长春市外国语学校2025-2026学年高二下学期第三学程考试数学试卷-附解析

数学第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，2.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.已知幂函数为偶函数，且，，，则（）A. B. C. D.5.某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示：若关于的经验回归方程为，则下列说法错误的是（）A.由数据可判断与负相关B.经验回归方程相应的直线经过点C.当售价为元/件时，预测月销售量为千件D.当售价为元/件时，样本点的残差为6.甲、乙、丙、丁等8人分成，两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为（）A.12 B.16 C.24 D.367.已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（）A. B.1 C.2 D.8.已知且，指数函数，对数函数，则下列结论错误的是（）A.若的图象过点，则B.函数的图象过定点C.若，则D.当时，对任意，，都有二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）9.以下说法正确的是（

）A.若，两组数据的样本线性相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C.决定系数越小，模型的拟合效果越好D.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是10.已知，，，则（）A. B.C. D.11.已知，下列正确的是（）A.当时，的值域为B.当时，有2个零点C.若有两个不同的极值点，则a的取值范围为D.过点可作的两条切线，则a的取值范围为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若，则_________．13.已知随机变量服从正态分布，若，则________．14.已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知：，：.（1）若是真命题，求对应的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.16.已知函数（且）是偶函数，.（1）求实数的值；（2）判断的奇偶性，并证明该结论；（3）若对于，不等式恒成立，求整数的取值集合．17.2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五.端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节.为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表：年龄不了解了解合计30岁以下25154050岁以上204060合计4555100（1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？（2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研，答对一题得5分，答错一题得0分.①已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，甲从中随机抽出3道试题进行回答，求甲答对试题数的分布列及数学期望；②已知乙答对每道题的概率均为，且每题答对与否互不影响，计算机随机给乙3道题，求乙答题得分的数学期望与方差.附：；0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的零点个数；（3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值．19.男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景下射击．（1）求小明在前3次射击得到1分的概率；（2）若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景下获得的概率；（3）求小明第n次在场景下射击的概率．

数学第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：解答过程：根据命题否定的定义可知，，的否定为，.2.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：首先解指数不等式与一元二次不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得.解答过程：由，即，解得，所以，由，解得，所以，所以.故选：A3.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：令，可得，令，，所以.4.已知幂函数为偶函数，且，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：为幂函数，所以，即，因式分解得：，解得：或，为偶函数，所以，，因为，所以在单调递增，所以，，即得.5.某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示：若关于的经验回归方程为，则下列说法错误的是（）A.由数据可判断与负相关B.经验回归方程相应的直线经过点C.当售价为元/件时，预测月销售量为千件D.当售价为元/件时，样本点的残差为答案：C解析：思路：根据相关性的概念、样本中心点的定义、残差的计算、及根据样本中心点求参数，利用回归方程进行数据估计，逐项判断即可.解答过程：由表格数据可得：，根据线性回归方程必过样本中心点，即，故B正确；，故可判断与负相关，A正确；当时，，，故D正确；当时，，故C错误.6.甲、乙、丙、丁等8人分成，两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为（）A.12 B.16 C.24 D.36答案：B解析：思路：由题意应用分步乘法计数原理计算求解.解答过程：先安排甲乙去其中任意一组，有2种，由于丙丁不能同组，从丙丁2人中选1人与甲乙同组，另一人去另一组，有2种，剩余4人选1人加入甲乙一组，另外3人去另一组，有4种，故不同的分配方案有种．7.已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（）A. B.1 C.2 D.答案：A解析：思路：通过题目所给的条件求得函数对称中心和对称轴，从而求出函数的周期，最后将求转化为求.解答过程：因为为偶函数，所以，说明关于直线对称.，，说明关于中心对称.因为，所以，，又因为，所以，，因此周期.所以，，即.8.已知且，指数函数，对数函数，则下列结论错误的是（）A.若的图象过点，则B.函数的图象过定点C.若，则D.当时，对任意，，都有答案：D解析：解答过程：对于选项A.∵的图像过点，∴，又，∴∴，A正确；对于选项B.∵的图象过定点,图象向右平移1个单位得到的图象，∴的图象过定点，B正确；对于选项C.∵，由的单调性可知，∴在上单调递增，又，∴，C正确;对于选项D.由基本不等式得，左边=右边（由凹函数的性质也可判断），D错误.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）9.以下说法正确的是（

）A.若，两组数据的样本线性相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C.决定系数越小，模型的拟合效果越好D.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是答案：BD解析：思路：相关系数的绝对值越大，相关性越强；残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；决定系数越接近于1，模型拟合效果越好；有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率为.解答过程：对于选项A，因为，所以组数据比组数据的相关性较强，故A错误；对于选项B，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明残差波动越小，模型的拟合效果越好，故B正确；对于选项C，决定系数越接近于1，模型拟合效果越好；越小，模型的拟合效果越差，故C错误；对于选项D，有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率为，故D正确.10.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.解答过程：对于A：因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；对于B：因为，，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故B错误；对于C：因为，，，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D：因为，，，所以，即，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ACD11.已知，下列正确的是（）A.当时，的值域为B.当时，有2个零点C.若有两个不同的极值点，则a的取值范围为D.过点可作的两条切线，则a的取值范围为答案：ACD解析：思路：求出函数导数，利用导数得出函数值域判断A，利用导数求出函数最大值，由最大值为负判断B，根据函数有两个极值点转化为导数有两个不等实根，利用导数分析即可判断C，求出切线方程，转化为方程有两个不等根，利用导数及分类讨论求解判断D.解答过程：当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以且时，，所以的值域为，故A正确；当时，，由可得，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以无解，即无零点，故B错误；，由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，上单调递减，，且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根，所以函数有两个极点时，的取值范围是，故C正确；由，设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，切线方程为，而点在切线上，则，即有，由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，令，则函数有2个零点，求导得，①若，由，得或，由，得，即函数在，上单调递增，在上单调递减，则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又，当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；②若，恒成立，函数在上单调递增，因此函数最多1个零点，不合题意；③若，由，得或，由，得，即函数在，上单调递增，在上单调递减，则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又，显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；④若，显然，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，要函数有2个零点，必有，得，当时，，而函数在上的值域为，因此在上的值域为，当时，令，求导得，函数在上单调递减，则，，而函数在上单调递减，值域为，因此函数在上的值域为，于是当时，函数有两个零点，所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是，故D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若，则_________．答案：2或5解析：解答过程：由组合数的对称性可知，或．13.已知随机变量服从正态分布，若，则________．答案：解析：解答过程：已知随机变量服从正态分布，可知均值，方差，则标准差，正态分布的概率密度曲线关于直线对称.根据正态分布曲线的对称性，均值两侧对称区间的概率是相等的，即.正态分布中，随机变量大于等于均值的概率为，即，，则.14.已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______.答案：解析：解答过程：因为，且，都有，所以，即，所以在上单调递增，又，所以对所有恒成立，所以，解得，所以实数m的取值范围为．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知：，：.（1）若是真命题，求对应的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）解绝对值不等式即可得出答案；（2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案.（1）∵：是真命题，∴，∴，解得，∴的取值范围是.（2）由（1）知：：，：即因为是的必要不充分条件，所以，解得：.综上所述的取值范围是.16.已知函数（且）是偶函数，.（1）求实数的值；（2）判断的奇偶性，并证明该结论；（3）若对于，不等式恒成立，求整数的取值集合．答案：（1）1（2）奇函数，证明过程为:由（1）知，则，函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为，，故是奇函数.（3）解析：思路：（1）利用偶函数满足，求解的值；（2）由奇偶性的定义求解；（3）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解.（1）因为是偶函数，根据偶函数满足，得，即，整理得，即，因为，不恒为0，所以必须，所以（2）略（3）因为单调递增，单调递减，故单调递增，因此在上单调递增，不等式可化为，即,因为单调递增，所以，，只需左边的最小值大于右边即可，令，这是开口向上的二次函数，其最小值为因此，整理得，即，解得，又为整数，故的值为，整数的取值集合是.17.2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五.端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节.为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表：年龄不了解了解合计30岁以下25154050岁以上204060合计4555100（1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？（2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研，答对一题得5分，答错一题得0分.①已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，甲从中随机抽出3道试题进行回答，求甲答对试题数的分布列及数学期望；②已知乙答对每道题的概率均为，且每题答对与否互不影响，计算机随机给乙3道题，求乙答题得分的数学期望与方差.附：；0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）认为受调居民中对“端午节”民俗的了解程度存在年龄差异，此推断犯错误的概率不超过0.01（2）①分布列为0123②，解析：思路：（1）利用公式计算，则可推断受调居民中对“端午节”民俗的了解程度存在年龄差异.（2）①由题意得服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可计算概率，从而得到分布列及数学期望；②由题意得乙答对题的个数为，则，则可算，，得分，利用变量变化后的期望与方差的关系即可计算，.（1））零假设为：受调居民中对“端午节”民俗的了解程度不存在年龄差异依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为受调居民中对“端午节”民俗的了解程度存在年龄差异，此推断犯错误的概率不超过.（2）①由题意得的可能取值为，，，，用表格表示的分布列为0123②设乙答对题的个数为，由题意得，，由题意得，则，.18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的零点个数；（3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值．答案：（1）（2）两个零点（3）3解析：思路：（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断；（3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论．（1）因为，，所以，