江苏省常州市溧阳市2025-2026学年高一下学期期末调研考试数学试卷-附解析

数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则2.化简后等于（）A. B. C. D.3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（）A.事件乙和事件丙互斥 B.事件丙和事件丁互为对立C.事件甲与事件丙相互独立 D.事件乙与事件丁相互独立4.若，则A. B. C. D.5.现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（）A.2 B.3 C.4 D.56.已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（）A.10 B.10.6C.12.6 D.13.67.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（）A. B. C. D.8.在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则（）A. B.面C.直线与平面ABCD所成的角为 D.四面体的体积为10.已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（）A. B.，且C. D.11.在中，有如下四个命题正确的有（）A.若，则为锐角三角形B.若，则的形状为直角三角形C.内一点G满足，则G是的重心D.若，则点P必为的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________.13.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．14.如图，在长方体中，分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本.（1）求抽取男生､女生的人数；（2）观测样本的指标值（单位：），计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差.16.已知向量，，，．（1）求；（2）若，求实数的值．（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．17.《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的大小.18.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若是边长为1的等边三角形﹐点在棱上，，且三棱锥的体积为，求侧面与底面所成二面角的余弦值．19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：D解析：思路：根据线面的位置关系及判定方法求解.解答过程：若，，，则或异面，故A错误；若，，则或，故B错误；若，，，可能有，故C错误；若，，则，又，则，故D正确，故选：D.2.化简后等于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：应用向量加减法的运算律化简即可得.解答过程：.故选：C3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（）A.事件乙和事件丙互斥 B.事件丙和事件丁互为对立C.事件甲与事件丙相互独立 D.事件乙与事件丁相互独立答案：D解析：思路：用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，列出所有情况，根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义对选项逐一分析即可.解答过程：用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，则所有可能的情况有：，，，，，，共36种情况，对于：事件乙可以和事件丙同时发生，如出现，所以事件乙和事件丙不互斥，故错误；对于：事件丙和事件丁的所有情况不是总的样本空间，如事件丙和事件丁不包括，所以事件丙和事件丁不互为对立，故错误；对于：第一次点数小于3的情况有，，共12种情况，所以，两次点数之和为8的情况有，共5种情况，所以，第一次点数小于3且两次点数之和为8的情况有，所以，，所以事件甲与事件丙不相互独立，故错误；对于：第一次点数为偶数的情况有18种，所以，两次点数之和为奇数的情况共有18种，所以，第一次点数为偶数且两次点数之和为奇数的情况共有9种，所以，，所以事件乙与事件丁相互独立，故正确.故选：.4.若，则A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数运算法则求解即可.解答过程：．故选D．方法提示：本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．5.现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：思路：分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可.解答过程：第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为；第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为，所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率，解得.故选：A.6.已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（）A.10 B.10.6C.12.6 D.13.6答案：D解析：思路：利用平均数公式及其方差公式求解.解答过程：设增加的数为，，原来的8个数分别为，则，，所以，又因为，即，新的样本数据的方差为，因为，，所以方差的最小值为13.6（当时取到最小值）.故选：D.7.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：作出液面下方的轴截面图形，求出圆锥的底面半径和高，再由圆锥和球的体积公式求出高脚杯内水的体积.解答过程：显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形，如图，作，垂足为D，则球的半径，，此时，，，水面半径，设加入冰球后水面以下的体积为，原来饮料的体积为，冰球的体积为，所以饮料的体积为.故选：C.8.在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由，结合正余弦定理求得角，继而由结合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函数的性质求得的范围，即可求得答案.解答过程：由，由正弦定理得,即有，而，则，又，由正弦定理､余弦定理得，，化简得：，由正弦定理有：，即，，是锐角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以.故选：D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则（）A. B.面C.直线与平面ABCD所成的角为 D.四面体的体积为答案：ABD解析：思路：连接，由，平面，得出，判断选项A；证明，即可判断选项B；是直线与平面所成的角，计算，即可判断选项C；计算四面体的体积，即可判断选项D．解答过程：对于A，连接，则，因为，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，所以，选项A正确；对于B，因为，所以，又平面，平面，所以面，选项B正确；对C，由题意知，是直线与平面所成的角，且，所以与平面所成的角不是，选项C错误；对于D，四面体的体积为，选项D正确．故选：ABD．10.已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（）A. B.，且C. D.答案：ABC解析：思路：A.根据直线的位置关系判断；B.根据直线与平面的位置关系判断；C.根据平面与平面的位置关系判断；D.根据面面平行的性质定理判断.解答过程：A.因为，，则平行或相交，故错误；B.因为，，则或，或，故错误；C.因为，，，，则平行或相交，故错误；D.因为，，，由面面平行的性质定理得，故正确；故选：ABC11.在中，有如下四个命题正确的有（）A.若，则为锐角三角形B.若，则的形状为直角三角形C.内一点G满足，则G是的重心D.若，则点P必为的外心答案：BC解析：思路：对于A，由可得角为锐角，从而可判断，对于B，对两边平方化简，再结合余弦定理可得结论，对于C，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断解答过程：解：对于A，由，得，所以，所以角为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A错误，对于B，因为，所以，即，所以,得，因为，所以，所以三角形为直角三角形，所以B正确，对于C，因为，所以，所以（为的中点），所以三点共线，所以点在边的中线上，同理，可得点在其它两边的中线上，所以G是的重心，所以C正确，对于D，因为，所以，,所以，所以点在边的高上，同理可得点也在其它两边的高上，所以点为的垂心，所以D错误，故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________.答案：解析：思路：根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解.解答过程：过点作于所以且,其中,当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为；当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为的取值范围是．故答案为：．13.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．答案：解析：思路：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.解答过程：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为．方法提示：根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．14.如图，在长方体中，分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・答案：解析：思路：利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定在直线，再根据时线段最短即可求解.解答过程：解：如图，连结，∵分别为的中点，∴平面，平面，∴平面∵平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面，∵平面，∴点在直线上，在中，，∴当时，线段的长度最小，最小值为＝.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本.（1）求抽取男生､女生的人数；（2）观测样本的指标值（单位：），计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差.答案：（1）30；20（2）方差为46，身高方差为解析：思路：（1）根据分层抽样的概念及计算方法，即可求解；（2）记男生身高的均值记为，方差记为；女生身高的均值记为，方差记为，得到总样本的均值为，结合，即可求解.（1）解：由题意，高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本，所以抽取男生人数为，女生人数为.（2）解：记男生身高为，其均值记为，方差记为；女生身高为，其均值记为，方差记为，把总样本数据的均值记为，方差记为，所以总样本的均值为，总样本的方差为，所以总样本的方差为46，据此估计高一年级学生身高的总体方差为.16.已知向量，，，．（1）求；（2）若，求实数的值．（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（3）且解析：思路：（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出；（2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出；（3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．（1）因为，，，．（2），，，，解得．（3）与的夹角是钝角，，且，，且，解得且．17.《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的大小.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）作的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则，由，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（3）连接交于点，连接，则可得平面，所以与平面所成角为，然后在中求解即可.（1）作的中点，连接，由得分别为的中点，所以且，又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面（2）因为，所以，因为底面，所以，又因为平面，且，所以平面，所以，因为，，所以，，又因为平面，所以平面；（3）连接交于点，连接，因为点分别为的中点，所以，所以平面，所以为在平面中的射影，所以与平面所成角为，由已知得所以，因为为锐角，所以，所以与平面所成角为.18.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若是边长为1的等边三角形﹐点在棱上，，且三棱锥的体积为，求侧面与底面所成二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）依题意可得，再由面面垂直的