江苏省淮安市淮安区2025-2026学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷-附解析

数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（）A.至少摸出个白球 B.至少摸出个红球C.摸出个白球 D.摸出个白球或摸出个红球2.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是A.63、64、66 B.65、65、67C.65、64、66 D.64、65、643.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B.或 C. D.或4.已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A. B. C. D.5.为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（）A. B. C. D.6.已知在中，，则的形状为（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（）A. B. C. D.8.在中，角，，所对的边分别为，，，，.是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（）A.若时，三棱锥的体积为定值B.若时，周长的最小值为C.若时，三棱锥外接球体积为D.若M为中点，则的最小值为10.已知正方体的棱长为，点是的中点，点是侧面内的动点，且满足，下列选项正确的是（）A.动点轨迹的长度是B.三角形在正方体内运动形成几何体的体积是C.直线与所成的角为，则的最小值是D.存在某个位置，使得直线与平面所成的角为11.下列说法中错误的为（）A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.向量不能作为平面内所有向量的一组基底C.若，则在方向上投影的数量为D.三个不共线的向量，满足，则是的内心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学在公路、两点处测得基站顶部处的仰角分别为、，且.该同学沿着公路的边缘从处走至处一共走了.则山高为__________m.（该同学的身高忽略不计）13.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________.14.在长方体中，，E，F分别为棱上一点，且，则过点C，E，F的平面截该长方体所得的面面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱台中，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积.16.在中,内角所对的边分别为,已知,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求的周长17.记的内角的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，是中线，求的长.18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A．（1）求的值；（2）若，，求的面积；（3）若，求实数k的取值范围．19.如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．（1）证明：；（2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．①求三棱锥B-ADE的体积；②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．

数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（）A.至少摸出个白球 B.至少摸出个红球C.摸出个白球 D.摸出个白球或摸出个红球答案：C解析：思路：根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项．解答过程：对于A，至少摸出个白球与摸出个白球个红球不是互斥事件；对于B，至少摸出个红球与摸出个白球个红球不是互斥事件；对于C，摸出个白球与摸出个白球个红球是互斥而不对立事件；对于D，摸出个白球或摸出个红球与摸出个白球个红球是互斥也是对立事件.故选：C．2.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是A.63、64、66 B.65、65、67C.65、64、66 D.64、65、64答案：B解析：思路：①在频率直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值；②中位数是所有小长方形的面积和相等的分界线；③平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和．解答过程：解：由频率直方图可知，众数=；由，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65；平均数=．故选B．方法提示：本题主要考查频率直方图的众数、中位数、平均数，需理解并牢记公式．3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B.或 C. D.或答案：A解析：思路：利用正弦定理，结合三角形内角和定理可得.解答过程：因为，，，由正弦定理可得，即，因为，所以或，当时，，不满足，所以.故选：A4.已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.解答过程：设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A

方法提示：本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5.为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.解答过程：依题意，在中，，，则，；在中，，，则;又中，，则.故塔尖之间的距离为.故选：B.6.已知在中，，则的形状为（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案：D解析：思路：利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可解答过程：由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形故选：D7.某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而恰有一人是由感染的，由此可计算出概率．解答过程：设直接受感染分别为事件，则事件是相互独立的，，，，由题意可知，除了外，二人中恰有一人是由感染的，由于二人中恰有一人是由感染的事件是，并且，，所以，所以中恰有两人直接受感染的概率是，故C正确.8.在中，角，，所对的边分别为，，，，.是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据题设，结合辅助角公式求出，由余弦定理得到，由题干条件结合余弦定理表示出，对转化成，然后三角代换后即可求解.解答过程：根据，由辅助角公式，，即，又，则，即，在中，由余弦定理可得，如图可知，，在中，由余弦定理，，由可得，设，则，不妨取，由图可知，又，进而解得，由代入的表达式中可得，.当时，，则故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（）A.若时，三棱锥的体积为定值B.若时，周长的最小值为C.若时，三棱锥外接球体积为D.若M为中点，则的最小值为答案：ACD解析：思路：A由在线段上运动，结合正方体的结构特征有平面，应用等体积法及体积公式判断；B由在线段上运动，且，，根据周长最小有最小，求出最小值判断；C由为的中点，进而确定三棱锥外接球的球心在直线上，再求出其半径，即可判断；D由在平面内，若关于平面的对称点为，则即可得.解答过程：A：由，易知在线段上运动，由正方体的结构特征知平面，所以平面，故到平面的距离为定值，又，为定值，故三棱锥的体积为定值，对；B：当，则在线段上运动，且，，由正方体的结构特征知，平面，平面，平面，平面，则，，要使的周长最小，即最小，显然，所以周长的最小值为，错；C：若，则为的中点，即为上底面的中心，若为下底面的中心，所以平面，且为等腰直角三角形，如下图示，所以三棱锥外接球的球心在直线上，设其半径为，则，所以，故外接球体积为，对；D：由题设在平面内，若关于平面的对称点为，易知为的中点，则，故，又，则，故的最小值为，对.故选：ACD10.已知正方体的棱长为，点是的中点，点是侧面内的动点，且满足，下列选项正确的是（）A.动点轨迹的长度是B.三角形在正方体内运动形成几何体的体积是C.直线与所成的角为，则的最小值是D.存在某个位置，使得直线与平面所成的角为答案：ABC解析：思路：建立坐标系，由可得出动点动点轨迹为线段，然后结合勾股定理，异面直线所成角，线面角，体积公式等逐一判断即可解答过程：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，即，取得中点，则动点轨迹为线段，对于A：动点轨迹为线段，且，故A正确；对于B：三角形在正方体内运动形成几何体为三棱锥，且，故B正确；对于C：，直线与所成的角为，又，则的最小值是，故C正确；对于D：易知与重合时，直线与平面所成的角最大，且为，，，所以不存在某个位置，使得直线与平面所成的角为，故D错误；故选：ABC11.下列说法中错误的为（）A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.向量不能作为平面内所有向量的一组基底C.若，则在方向上投影的数量为D.三个不共线的向量，满足，则是的内心答案：AC解析：思路：对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，得，根据全等三角形得，同理可得，即点到三边的距离相等，进而得出点是的内心.解答过程：解：对于A：，与的夹角为锐角，可得，且与不共线，，即有，且，解得且，则实数的取值范围是且，故A错误；对于B：向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；对于C：若，则在方向上的投影的数量为，故C错误；对于D：过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，如图，三个不共线的向量，满足，，即，即，易得≌，则，同理可得，即点到三边的距离相等，则是的内心，故D正确．故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学在公路、两点处测得基站顶部处的仰角分别为、，且.该同学沿着公路的边缘从处走至处一共走了.则山高为__________m.（该同学的身高忽略不计）答案：解析：思路：设，则，然后利用直角三角形，直角三角形，结合三角函数的定义表示出，，最后在三角形中，利用余弦定理列出关于的方程求解即可．解答过程：如图，设，则，又由已知得，为直角三角形，且，，所以由，为直角三角形得：，，解得，，在中，又，，由余弦定理得：，即，解得．故答案为：．13.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________.答案：解析：思路：利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.解答过程：因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，由可得，所以，又，则，所以，两式相加可得，化简可得，又，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以.故答案为：.方法提示：关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值.14.在长方体中，，E，F分别为棱上一点，且，则过点C，E，F的平面截该长方体所得的面面积为______．答案：解析：思路：连接，取，连接，易得截面即为且是平行四边形求解.解答过程：解：如图所示：连接，取，连接，则由长方体的特征知：，，所以，且，所以四边形是平行四边形，即为所求截面，因为，所以，则，所以截面的面积为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱台中，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）连接交于点，连接，，证明四边形为平行四边形，得出，即可得证．（2）根据棱台的体积公式计算即可．（1）连接交于点，连接，，因为为三棱台，，所以，又为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2）设的面积为，则由题意知的面积为，的面积为，设三棱台的高为，则，所以．16.在中,内角所对的边分别为,已知,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求的周长答案：(1)；(2)解析：思路：（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；（2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.解答过程：（1）由正弦定理得：即：（2）由余弦定理得：的周长方法提示：本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.17.记的内角的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，是中线，求的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值；（2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理.（1）因为，由正弦定理可知：，由，故，∴∴，∴，又，所以；（2）根据数量积的定义，由，得，又，在中由余弦定理得：∵，∴，所以18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A．（1）求的值；（2）若，，求的面积；（3）若，求实数k的取值范围．答案：（1）（2）6（3）解析：思路：（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，可求的值；（2）由内角平分线性质可求得，进而在，中，利用余弦定理可求得，进而可求的面积；（3）设，由，可求得，进而可求实数k的取值范围.（1）由，结合正弦定理可得，所以，所以，所以，由正弦定理可得，所以；（2）因为平分内角A，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，又，所以，所以，所以，，又，所以是直角三角形，且，所以，又，所以；（3）设，因为，所以，若，则，又，即所以，又，所以，所以.所以实数k的取