江苏省南京市2025-2026学年高一下学期期末数学试卷-附解析

数学满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.3.已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，则（）A. B. C. D.5.在中，角的对边分别为，若，则（）A. B. C. D.6.在边长为3的正方形中，，则（）A.-5 B.5 C.6 D.97.一组样本数据，，，…，的平均数为，标准差为2.另一组样本数据，，，…，，的平均数为，标准差为，则（）A.， B.，C.， D.，8.用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，为边的中点，则（）A. B.C. D.10.同时抛掷两枚均匀硬币，记“出现两个正面”为事件，“出现一正一反”为事件，则（）A. B.C.与为互斥事件 D.为必然事件11.如图，在直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（）A.平面B.C.直线与平面所成角的正弦值为D.三棱柱的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则______.13.某学生8次素养测试的成绩统计如下：，则该组数据的第80百分位数为__________．14.海上A，B两个小岛相距海里，从A岛望B岛和C岛所成的视角为，从B岛望A岛和C岛所成的视角为，则B，C两岛之间相距______海里.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，求：（1）；（2）向量与的夹角的余弦值.16.已知，.（1）求和的值；（2）若，，求证：.17.某校知识竞赛分初赛、复赛两轮.某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人5次模拟测试的成绩，统计结果如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲的成绩（分）90959210098乙的成绩（分）95941009690（1）试根据以上数据比较两名同学的平均水平和稳定性，并确定参加初赛的对象；（2）初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）.（i）写出参赛者抽到的题号构成的样本空间Ω；（ii）规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率.18.如图，在三棱锥中，平面.（1）若，求证：平面平面；（2）已知为的中点，，F是棱上的一点.（i）若平面，求；（ii）若平面，试判断的形状，并给出证明.19.在中，内角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若，.（i）试判断的形状，并说明理由；（ii）设点在边上，连接并延长至点，且.求面积的最大值及此时点的位置.

数学满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：复平面内，对应的点的坐标为，在第二象限.2.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，，若，则，所以.3.已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：以正方体为例，举例可说明充分性不成立，根据线面垂直的性质定理可说明必要性成立，即可得.解答过程：如图，正方体中，，，平面为平面，其中，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；若，且，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件.所以，“”是“”的必要不充分条件.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据二倍角的正切公式计算.解答过程：已知，则.5.在中，角的对边分别为，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正弦定理可以得到三边的比值关系，再根据余弦定理代入即可计算得到的值解答过程：因为所以令所以6.在边长为3的正方形中，，则（）A.-5 B.5 C.6 D.9答案：C解析：解答过程：如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA为x轴，y轴建立平面直角坐标系，边长为3的正方形中，，则,,,所以，，所以.7.一组样本数据，，，…，的平均数为，标准差为2.另一组样本数据，，，…，，的平均数为，标准差为，则（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：思路：根据平均数、方差公式判断数据添加平均数后新的平均数、标准差变化情况即可.解答过程：因为，所以，所以，，，所以，解得，所以.8.用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意可知圆锥的底面周长等于半圆的弧长，从而可求出圆锥的底面半径，进而可求出圆锥的高，然后可求出圆锥的体积解答过程：设圆锥的底面半径为，则，得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，为边的中点，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：解答过程：对于A，因为，而，所以，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D正确．10.同时抛掷两枚均匀硬币，记“出现两个正面”为事件，“出现一正一反”为事件，则（）A. B.C.与为互斥事件 D.为必然事件答案：AC解析：思路：根据实验的所有结果，判断事件与事件的关系.解答过程：同时抛掷两枚质地均匀的硬币结果有：正正，正反，反正，反反，共4个基本事件，，，A对，B错，与为互斥事件，C对，包含正正，正反，反正，不是必然事件，D错.11.如图，在直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（）A.平面B.C.直线与平面所成角的正弦值为D.三棱柱的外接球的表面积为答案：ABC解析：思路：应用线面平行判定定理判断A，证明出，再结合可判断B选项；求出的外接圆直径，可求得三棱柱的外接球的直径为，结合球体的表面积公式可判断D选项；应用线面角定义计算可判断C选项.解答过程：对于A选项，因为，则四边形为平行四边形，所以，因为M，N分别为棱，的中点，则，所以平面，平面，故平面，A正确；对于B选项，连接、，

因为四边形为平行四边形，且，则为菱形，因为，则，且，故为等边三角形，因为为的中点，则，因为且，则四边形为平行四边形，所以，，故，B正确；对于C选项，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，过做，又因为，，所以，又因为为直四棱柱，所以平面，平面，所以平面，所以平面，所以直线与平面所成角为，C选项正确；对于D选项，如下图所示：

圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，且有，可将直三棱柱置于圆柱内，使得、的外接圆分别为圆、圆，如下图所示：

因为，，则为等边三角形，故圆的直径为，所以三棱柱的外接球的直径为，所以三棱柱的外接球的表面积为，D错误；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则______.答案：解析：思路：根据共轭复数的定义以及复数的模的计算公式即可求解.解答过程：已知复数，则其共轭复数为，模.13.某学生8次素养测试的成绩统计如下：，则该组数据的第80百分位数为__________．答案：92解析：思路：根据百分位数的计算即可求解.解答过程：由于,所以该组数据的第80百分位数为第七个数.故答案为：9214.海上A，B两个小岛相距海里，从A岛望B岛和C岛所成的视角为，从B岛望A岛和C岛所成的视角为，则B，C两岛之间相距______海里.答案：15解析：解答过程：由题意可得在中，，，，所以，由正弦定理得：，所以B，C两岛之间相距15海里.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，求：（1）；（2）向量与的夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出的坐标即可求模.（2）分别求出与坐标即可求夹角.（1）因为，所以.（2）因为，，所以，，因为，设向量与的夹角为，所以.16.已知，.（1）求和的值；（2）若，，求证：.答案：（1），（2）由（1）知，因为，因为，，所以，所以.解析：思路：（1）根据题意，结合二倍角的正弦公式以及两角差的余弦公式即可求解；（2）根据题意，结合两角和的正切公式即可求解.（1）因为，，且，所以，所以；所以.（2）略.17.某校知识竞赛分初赛、复赛两轮.某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人5次模拟测试的成绩，统计结果如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲的成绩（分）90959210098乙的成绩（分）95941009690（1）试根据以上数据比较两名同学的平均水平和稳定性，并确定参加初赛的对象；（2）初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）.（i）写出参赛者抽到的题号构成的样本空间Ω；（ii）规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率.答案：（1）乙参加知识竞赛较合适（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）根据表格数据计算平均数和方差，比较即可确定结果；（2）列举总的基本事件得到样本空间，由所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式即可求解.（1）由题意可得，，.，所以，，所以甲、乙的平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，故选乙参加知识竞赛较合适.（2）在5道题中，参赛者会答的3道题分别为1，3，5，另外2道不会答的题分别为2，4.（ⅰ）参赛者从5道题中抽3道题的结果构成的样本空间为，共10种.（ⅱ）记“参赛者进入复赛”为事件，进入复赛，即至少答对2道的情况有，，，，，，，共7种.所以参赛者进入复赛的概率为.18.如图，在三棱锥中，平面.（1）若，求证：平面平面；（2）已知为的中点，，F是棱上的一点.（i）若平面，求；（ii）若平面，试判断的形状，并给出证明.答案：（1）因为平面，平面，所以，因为，所以，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）（i）2；（ii）是等腰三角形，理由如下：因为平面，平面，所以平面平面.因为平面，平面，所以平面平面.法1：在平面内过作，因为平面，平面平面，平面平面，所以平面；同理，过作，可知平面.因为过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，所以，重合，由于，所以，，重合，所以，因为为中点，故，即是等腰三角形.法2：证明结论：设，，是平面，若，，，则.因为，设，在内作，则，同理，可设，，，则，所以，因为，，所以，因为，，所以.所以.因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为为中点，故，即是等腰三角形.解析：思路：（1）使用线面垂直判定定理与面面垂直判定定理证明；（2）（ⅰ）使用线面平行的性质定理与向量共线求解；（ⅱ）使用面面垂直性质定理与三角形三线合一证明.（1）略（2）连接并延长交于点，连接.（ⅰ）因为平面，平面，平面平面，所以.因为，是中点，所以是的重心，是的中点，所以.（ⅱ）略19.在中，内角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若，.（i）试判断的形状，并说明理由；（ii）设点在边上，连接并延长至点，且.求面积的最大值及此时点的位置.答案：（1）（2）（i