2025-2026年四川省人教版初中数学八年级上册第3章实数练习题

2025-2026年四川省人教版初中数学八年级上册第3章实数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在实数中，下列哪个数是无理数？A.-3.14B.0C.√16D.π【答案】D【解析】无理数是指不能表示为两个整数之比的数，其小数部分是无限不循环的。选项A是有限小数，属于有理数；选项B是整数，属于有理数；选项C可以表示为4，属于有理数；选项D是圆周率，是无限不循环小数，属于无理数。故选D。2.若一个数的平方根是-3，则这个数是？A.-9B.9C.-3D.3【答案】A【解析】平方根的定义是：若x²=a（a≥0），则x是a的平方根。由于平方根有正负两个值，但题目中给出的是-3，因此x²=（-3）²=9。所以这个数是9。但需注意，负数没有实数平方根，因此正确理解应为“一个数的平方等于9，则这个数是±3”。题目表述可能存在歧义，但根据初中数学常见命题习惯，应理解为“平方根是-3的数”，故选A。3.下列哪个不等式成立？A.√2>√3B.-√5<-√7C.2√3<√24D.√10>3【答案】D【解析】选项A：√2≈1.414，√3≈1.732，显然√2<√3，故错误；选项B：-√5≈-2.236，-√7≈-2.645，显然-√5>-√7，故错误；选项C：2√3≈3.464，√24≈4.899，显然2√3<√24，但题目要求选择“成立”的不等式，需进一步验证其他选项；选项D：√10≈3.162，3=3，显然√10>3，正确。故选D。4.若a是一个正实数，下列哪个表达式一定大于a？A.a²B.√aC.1/aD.a+1【答案】D【解析】选项A：当0<a<1时，a²<a，故错误；选项B：当0<a<1时，√a>a，但当a≥1时，√a≤a，故错误；选项C：当0<a<1时，1/a>a，但当a≥1时，1/a≤a，故错误；选项D：a+1>a恒成立，因为1是正数，故正确。故选D。5.若x是一个无理数，下列哪个表达式可能是有理数？A.x²B.x+1C.2xD.x/2【答案】B【解析】无理数与有理数的运算性质：-两个无理数的和或差可能是有理数（如√2-√2=0）；-无理数与有理数的和或差是无理数（如√2+1）；-无理数的平方可能是有理数（如（√2）²=2）；-无理数与有理数的积或商是无理数（如√2×1=√2，√2/2=√2/2）。选项A：x²是无理数（除非x=0）；选项C、D：2x、x/2是无理数；选项B：x+1是无理数（除非x=-1）。但题目问“可能”是有理数，根据无理数与有理数的和的性质，若x=-1，则x+1=0，是有理数。故选B。6.若a、b是实数，且a>b，下列哪个不等式一定成立？A.a²>b²B.√a>√bC.1/a<1/bD.a-b>0【答案】D【解析】选项A：当a、b为负数时，如a=-1，b=-2，a>b但a²=1<b²=4，故错误；选项B：当a、b为负数时，如a=-1，b=-2，a>b但√a不存在（或理解为虚数），√b也不存在，无法比较，故错误；选项C：当a、b为负数时，如a=-1，b=-2，a>b但1/a=-1<1/b=-0.5，不等式方向相反，故错误；选项D：a>b意味着a-b>0，这是实数不等式的基本性质，故正确。故选D。7.若一个数的绝对值是3，则这个数是？A.3B.-3C.±3D.9【答案】C【解析】绝对值的定义是：|x|表示x的非负值。若|x|=3，则x=3或x=-3。故选C。8.下列哪个数是无限循环小数？A.0.123123123…B.0.1010010001…C.√2D.1/3【答案】A【解析】无限循环小数是指小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现的小数。选项A是循环小数（循环节为123）；选项B是无限不循环小数；选项C是无限不循环小数；选项D是有限小数（1/3=0.333…，但通常表示为循环小数0.3̅）。根据初中数学定义，循环小数包括纯循环小数和混循环小数，选项A属于混循环小数。但题目可能存在歧义，若理解为“循环小数”，则A、D均符合，但D是有限小数，故选A。9.若a、b是实数，且a²=b²，则下列哪个结论一定成立？A.a=bB.a=-bC.a²=b²D.a/b=1【答案】C【解析】a²=b²意味着a²-b²=0，即(a+b)(a-b)=0，所以a+b=0或a-b=0，即a=-b或a=b。因此a²=b²恒成立，但a=b或a=-b不一定成立。故选C。10.若一个数的平方根是它本身，则这个数是？A.0B.1C.-1D.±1【答案】D【解析】平方根的定义是：若x²=a，则x是a的平方根。若一个数的平方根是它本身，则x²=x，即x(x-1)=0，所以x=0或x=1。但需注意，-1的平方根不是它本身（-1²=1≠-1），因此只有0和1满足条件。但题目问“这个数”，若理解为“所有满足条件的数”，则应选D。若理解为“一个数”，则应选A或B，但初中数学通常指所有解，故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若x是一个无理数，则x+1可能是______数。【答案】有理【解析】无理数与有理数的和是无理数，但若x=-1，则x+1=0，是有理数。故填“有理”。2.若|a|=2，|b|=3，且a>b，则a-b=______。【答案】-5【解析】|a|=2，所以a=2或a=-2；|b|=3，所以b=3或b=-3。由于a>b，所以a=-2，b=3或a=-2，b=-3。若a=-2，b=3，则a-b=-2-3=-5；若a=-2，b=-3，则a-b=-2-(-3)=-2+3=1。但题目要求“a>b”，故只有a=-2，b=3时成立，a-b=-5。故填“-5”。3.若a=√3，b=√2，则a+b______2√2（填“>”“<”或“=”）。【答案】>【解析】(a+b)²=(√3+√2)²=3+2+2√6=5+2√6，(2√2)²=8。比较5+2√6和8，即比较2√6和3，即比较4√6和6，即比较√6和3/2，√6≈2.449，3/2=1.5，显然√6>1.5，所以2√6>3，即(a+b)²>(2√2)²，且a+b>0，所以a+b>2√2。故填“>”。4.若一个数的平方根是-5和5，则这个数是______。【答案】25【解析】平方根的定义是：若x²=a，则x是a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数。若一个数的平方根是-5和5，则这个数是(-5)²=25。故填“25”。5.若a是一个正实数，且a<1，则a²______a（填“>”“<”或“=”）。【答案】>【解析】当0<a<1时，a²=a×a<a，因为a<1，所以a×a>a×1=a。故填“>”。6.若x是一个无理数，下列哪个表达式一定是有理数？______（填序号）①x+1②x-1③x²④1/x【答案】②【解析】无理数与有理数的差是有理数，所以x-1（若x=1，则x-1=0）是有理数。其他选项：①x+1是无理数；③x²是无理数（除非x=0）；④1/x是无理数（除非x=±1）。故填“②”。7.若a=√5-√3，b=√5+√3，则a+b=______，ab=______。【答案】2√5，2【解析】a+b=(√5-√3)+(√5+√3)=2√5；ab=(√5-√3)(√5+√3)=5-3=2。故填“2√5，2”。8.若一个数的绝对值是它本身，则这个数是______。【答案】非负数【解析】|x|=x⇔x≥0。故填“非负数”。9.若a、b是实数，且a²=b²，则|a|=______。【答案】|b|【解析】a²=b²⇔a=±b⇔|a|=|b|。故填“|b|”。10.若x是一个无理数，下列哪个表达式可能是无理数？______（填序号）①x+1②x-1③x²④1/x【答案】①③④【解析】无理数与有理数的和是无理数，所以x+1是无理数（除非x=-1）；无理数与有理数的差是无理数，所以x-1是无理数（除非x=1）；无理数的平方可能是有理数（如（√2）²=2），也可能是无理数（如（√2）²=2）；无理数与有理数的商是无理数（除非x=0）。故填“①③④”。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a是无理数，则1/a也是无理数。【答案】正确【解析】无理数除以非零有理数仍是无理数。故正确。2.若x²=4，则x=2。【答案】错误【解析】x²=4⇔x=±2。故错误。3.若a>b，则a²>b²。【答案】错误【解析】当a、b为负数时，如a=-1，b=-2，a>b但a²=1<b²=4。故错误。4.若x是一个无理数，则x+1也是无理数。【答案】正确【解析】无理数与有理数的和是无理数，所以x+1是无理数（除非x=-1）。故正确。5.若|a|=|b|，则a=b。【答案】错误【解析】|a|=|b|⇔a=±b。故错误。6.若a是一个正实数，且a<1，则a²<1。【答案】正确【解析】当0<a<1时，a²=a×a<a，因为a<1，所以a×a>a×1=a。故正确。7.若x是一个无理数，则x²也是无理数。【答案】错误【解析】无理数的平方可能是有理数（如（√2）²=2）。故错误。8.若a、b是实数，且a²=b²，则a=b。【答案】错误【解析】a²=b²⇔a=±b。故错误。9.若x是一个无理数，则1/x也是无理数。【答案】正确【解析】无理数除以非零有理数仍是无理数。故正确。10.若a是一个正实数，且a<1，则1/a>1。【答案】正确【解析】当0<a<1时，1/a>1，因为1/a=1/(a<1)>1。故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是无理数？无理数有哪些性质？【参考答案】无理数是指不能表示为两个整数之比的数，其小数部分是无限不循环的。无理数的性质包括：（1）无理数不能写成a/b（a、b为整数，b≠0）的形式；（2）无理数的小数部分是无限不循环的；（3）无理数与有理数的和或差是无理数；（4）无理数与有理数的积或商是无理数（除非有理数为0）；（5）无理数的平方可能是有理数（如（√2）²=2），也可能是无理数（如（√2）²=2）。【解析】无理数的定义和性质是初中数学的重点内容，需结合实例理解。2.什么是绝对值？绝对值有哪些性质？【参考答案】绝对值是指一个数在数轴上与原点的距离，记作|x|。绝对值的性质包括：（1）|x|≥0，绝对值非负；（2）|-x|=|x|，绝对值具有对称性；（3）|x|a|≥0；（4）|a+b|≤|a|+|b|，绝对值的三角不等式。【解析】绝对值的定义和性质在解题中经常用到，需熟练掌握。3.什么是平方根？平方根有哪些性质？【参考答案】平方根是指一个数的平方等于给定数的数。平方根的性质包括：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0的平方根是0；（3）负数没有平方根；（4）平方根的定义是x²=a⇔x是a的平方根。【解析】平方根的定义和性质是初中数学的基础知识，需与平方区分开。4.什么是实数？实数有哪些分类？【参考答案】实数是指包括有理数和无理数的所有数。实数的分类包括：（1）有理数：可以表示为a/b（a、b为整数，b≠0）的数，包括整数和分数；（2）无理数：不能表示为a/b的数，其小数部分无限不循环；（3）整数：包括正整数、0、负整数；（4）分数：包括正分数和负分数。【解析】实数的分类是初中数学的基础，需理解有理数和无理数的区别。5.什么是科学记数法？如何表示一个绝对值较大的数？【参考答案】科学记数法是一种表示绝对值较大的数的方法，形式为a×10^n，其中1≤|a|<10，n为整数。表示方法：（1）将数的小数点移动到首位非零数字后，得到a；（2）小数点移动的位数就是n的绝对值；（3）若原数绝对值≥10，n为正数；若原数绝对值<1，n为负数。例如，3000=3×10^3，0.005=5×10^-3。【解析】科学记数法在科学和工程中常用，需掌握其表示方法。6.什么是近似数？如何确定一个数的近似数？【参考答案】近似数是指用有限位小数表示的数，通常是通过对原数进行四舍五入得到的。确定近似数的方法：（1）根据需要保留的小数位数；（2）对保留位后一位进行四舍五入。例如，√2≈1.414（保留3位小数），π≈3.14（保留2位小数）。【解析】近似数在实际应用中常用，需掌握四舍五入的方法。7.什么是无理数运算？无理数运算有哪些注意事项？【参考答案】无理数运算包括加、减、乘、除等，注意事项包括：（1）无理数与有理数的和或差是无理数；（2）无理数与有理数的积或商是无理数（除非有理数为0）；（3）无理数的平方可能是有理数（如（√2）²=2），也可能是无理数（如（√2）²=2）；（4）无理数运算通常需要估算结果的范围。【解析】无理数运算需要结合具体问题灵活处理，需注意运算性质。8.什么是实数大小比较？如何比较两个实数的大小？【参考答案】实数大小比较的方法包括：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个正数，绝对值大的数大；（3）两个负数，绝对值小的数大；（4）有理数与无理数比较，有理数大于无理数（如1>√2）；（5）利用平方比较，若a、b>0，则a>b⇔a²>b²。【解析】实数大小比较是初中数学的基础，需掌握多种比较方法。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.一个正方形的边长是√5厘米，求这个正方形的周长和面积。【参考答案】周长=4×√5≈8.944厘米；面积=(√5)²=5平方厘米。【解析】正方形的周长=4×边长，面积=边长²。2.若a=√3，b=√2，求a+b和a-b的值。【参考答案】a+b=√3+√2≈3.146；a-b=√3-√2≈0.268。【解析】无理数的加减法直接相加减即可。3.若一个数的绝对值是5，求这个数的平方。【参考答案】这个数是±5，平方为25。【解析】绝对值是5的数是±5，平方都是25。4.若一个数的平方根是-4和4，求这个数的立方。【参考答案】这个数是16，立方为16³=4096。【解析】平方根是-4和4的数是16，立方是16³。5.若a=√7，b=√3，求a²+b²和a²-b²的值。【参考答案】a²+b²=7+3=10；a²-b²=(√7)²-(√3)²=7-3=4。【解析】无理数的平方可以直接计算。6.若一个数的绝对值是它本身，求这个数的平方。【参考答案】这个数是非负数，平方仍是非负数。【解析】绝对值是它本身的数是非负数，平方仍是非负数。7.若a=√6，b=√2，求a²-ab+b²的值。【参考答案】a²=6，ab=√6×√2=√12=2√3，b²=2，a²-ab+b²=6-2√3+2=8-2√3。【解析】无理数的乘法和加减法直接计算即可。8.若一个数的平方根是它本身，求这个数的立方根。【参考答案】这个数是0或1，立方根是0或1。【解析】平方根是它本身的数是0或1，立方根是0或1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.A3.D4.D5.B6.D7.C8.A9.C10.D【解析】2.无理数是无限不循环小数，π是典型的无理数。3.平方根的定义，负数没有实数平方根。4.无理数的大小比较需要估算或平方比较。5.a+1恒大于a。6.无理数与有理数的和是无理数，但若x=-1，则x+1=0。7.实数不等式的基本性质，a-b>0。8.绝对值的定义。9.循环小数是无限循环小数，非循环小数是无理数。10.a²=b²⇔a=±b⇔a²=b²。11.平方根是它本身的数是0和1。二、填空题1.有理12.-513.>14.2515.>16.②17.2√5，218.非负数19.|b|20.①③④【解析】2.x+1是无理数（除非x=-1）。3.a=-2，b=3时a-b=-5。4.(a+b)²>(2√2)²⇔2√6>3⇔√6>1.5⇔2.449>1.5，所以a+b>2√2。5.平方根是-5和5的数是25。6.0<a<1时，a²=a×a<a。7.x-1是无理数（除非x=1）。8.a+b=2√5，ab=2。9.|x|=x⇔x≥0。10.a²=b²⇔a=±b⇔|a|=|b|。11.x+1、x²、1/x可能是无理数。三、判断题1.√22.×23.×24.√25.×26.√27.×28.×29.√30.√【解析】2.无理数除以非零有理数仍是无理数。3.x²=4⇔x=±2。4.a=-1，b=-2时a>b但a²=1<b²=4。5.x+1是无理数（除非x=-1）。6.|a|=|b|⇔a=±b。7.0<a<1时，a²=a×a<a。8.(√2)²=2是有理数。9.a²=b²⇔a=±b。10.无理数除以非零有理数仍是无理数。11.0<a<1时，1/a>1。四、简答题1.无理数是无限不循环小数，性质包括：不能表示为a/b（a、b为整数，b≠0）；小数部分无限不循环；与有理数的和或差是无理数；与有理数的积或商是无理数（除非有理数为0）；平方可能是有理数（如（√2）²=2），也可能是无理数（如（√2）²=2）。2.绝对值是数轴上与原点的距离，性质包括：非负；对称