2025-2026年考研数学一线性代数相似矩阵与二次型习题

2025-2026年考研数学一线性代数相似矩阵与二次型习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，则矩阵AB的特征值与矩阵BA的特征值（）A.一定相同B.一定不同C.与B是否对称有关D.与A是否可逆有关2.若n阶矩阵A满足A²-A=0，则A的特征值可能为（）A.0B.1C.-1D.以上均可能3.设矩阵A与B相似，A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则矩阵B的特征多项式f(λ)等于（）A.|λI-A|B.|λI-B|C.|λI-A|的n次方D.|λI-B|的n次方4.二次型f(x₁,x₂,...,xn)=xᵀAx（A为实对称矩阵）正定的充分必要条件是（）A.A的特征值均大于0B.A的行列式大于0C.A的秩为nD.A的所有顺序主子式均大于05.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2λx₁x₂+2μx₁x₃+2tx₂x₃正定，则λ,μ,t应满足（）A.λ²+μ²+t²>0B.λ+μ+t>0C.λ²+μ²-t²>0D.λ²-μ²+t²>06.矩阵A=diag(λ₁,λ₂,...,λₙ)与B=diag(λ₁,λ₂,...,λₙ)相似，则（）A.A与B一定合同B.A与B一定不等价C.A与B的特征值完全相同D.A与B的秩一定相同7.将二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃通过正交变换化为标准形，其标准形可能为（）A.x₁²+x₂²-x₃²B.2x₁²+x₂²+x₃²C.x₁²-2x₂²+x₃²D.以上均可能8.若矩阵A的特征值互异，则A一定可对角化，该结论的逆命题为（）A.若A可对角化，则A的特征值互异B.若A不可对角化，则A的特征值不互异C.若A的特征值不互异，则A不可对角化D.若A可对角化，则A一定为实对称矩阵9.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正，则下列结论错误的是（）A.A的行列式大于0B.A的逆矩阵仍为实对称矩阵C.A的任意特征向量正交D.A的秩小于n10.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃通过正交变换化为f=y₁²+y₂²-2y₃²，则原二次型的矩阵A的惯性指数为（）A.(2,0,1)B.(1,1,1)C.(1,0,2)D.(0,2,1)二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若n阶矩阵A满足A⁴=I，且A的特征值均为1，则A=__________。2.设矩阵A=begin{pmatrix}1&2&0\3&2&0\0&0&3end{pmatrix}，则A的特征值为__________。3.若矩阵A与B相似，且A=begin{pmatrix}1&0\0&2end{pmatrix}，B=begin{pmatrix}3&0\0&4end{pmatrix}，则det(AB)=__________。4.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A为__________。5.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2λx₁x₂+2μx₁x₃+2tx₂x₃正定，则λ²+μ²-t²>__________。6.矩阵A=begin{pmatrix}1&1\1&1end{pmatrix}的特征值为__________。7.若矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则det(A)=__________。8.将二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃通过正交变换化为标准形，其标准形可能为__________。9.若矩阵A的特征值互异，则A一定可对角化，该结论的逆命题为__________。10.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正，则A的秩__________。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若矩阵A与B相似，则A与B的特征值完全相同。2.若n阶矩阵A满足A²=I，则A的特征值只能是1或-1。3.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃正定。4.矩阵A=begin{pmatrix}1&2\2&1end{pmatrix}的特征值为1和3。5.若矩阵A的特征值互异，则A一定可对角化。6.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A为begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}。7.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2λx₁x₂+2μx₁x₃+2tx₂x₃正定，则λ²+μ²-t²>0。8.矩阵A=begin{pmatrix}1&1\1&1end{pmatrix}的特征值不互异。9.若矩阵A的特征值互异，则A一定为实对称矩阵。10.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正，则A的秩小于n。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.证明：若n阶矩阵A满足A²-A=0，则A的特征值只能是0或1。2.证明：若n阶矩阵A与B相似，则A与B的行列式相等。3.证明：若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃正定，则其矩阵A的行列式大于0。4.证明：若矩阵A的特征值互异，则A一定可对角化。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.设矩阵A=begin{pmatrix}1&2\2&1end{pmatrix}，求A的特征值与特征向量，并判断A是否可对角化。2.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，求其矩阵A，并判断f是否正定。3.设矩阵A=begin{pmatrix}1&1\1&1end{pmatrix}，求A的特征值与特征向量，并求A的相似对角矩阵。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2λx₁x₂+2μx₁x₃+2tx₂x₃正定，求λ,μ,t应满足的条件。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：AB与BA的特征多项式相同，因此特征值相同。2.D解析：A²-A=0可化为A(A-I)=0，特征值可能为0,1。3.B解析：相似矩阵有相同的特征多项式。4.A解析：二次型正定的充分必要条件是特征值均大于0。5.C解析：正定二次型的矩阵的顺序主子式均大于0。6.C解析：相似矩阵有相同的特征值。7.D解析：标准形取决于特征值正负号的分布。8.C解析：特征值不互异的矩阵不可对角化。9.D解析：特征值均为正的实对称矩阵的秩等于阶数。10.A解析：惯性指数为正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数的个数。二、填空题1.I解析：A⁴=I且特征值为1，则A=I或A=-I。2.1,1,3解析：det(λI-A)=0可解得特征值。3.24解析：det(AB)=det(A)det(B)。4.begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}解析：二次型的矩阵为系数矩阵。5.0解析：正定二次型的矩阵的顺序主子式均大于0。6.0,2解析：det(λI-A)=0可解得特征值。7.λ₁λ₂...λₙ解析：det(A)等于特征值的乘积。8.x₁²+x₂²-x₃²解析：标准形取决于特征值正负号的分布。9.若A可对角化，则A的特征值互异解析：逆命题为原命题的否定。10.等于n解析：实对称矩阵的秩等于正特征值的个数。三、判断题1.正确解析：相似矩阵有相同的特征多项式。2.正确解析：A²=I可化为A(A-I)=0，特征值可能为1或-1。3.错误解析：原二次型的矩阵为begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}，秩为1，不正定。4.正确解析：det(λI-A)=0可解得特征值。5.正确解析：特征值不互异的矩阵不可对角化。6.错误解析：原二次型的矩阵为begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}。7.正确解析：正定二次型的矩阵的顺序主子式均大于0。8.正确解析：det(λI-A)=0可解得特征值。9.错误解析：特征值不互异的矩阵不可对角化。10.错误解析：特征值均为正的实对称矩阵的秩等于阶数。四、简答题1.证明：设λ为A的特征值，x为对应特征向量，则Ax=λx。A²x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ²x。又A²x=A²x，所以λ²x=λx。若λ≠0，则λ=1；若λ=0，则λ=0。因此A的特征值只能是0或1。2.证明：设A与B相似，则存在可逆矩阵P，使B=P⁻¹AP。det(AB)=det(A)det(B)=det(A)det(P⁻¹AP)=det(A)det(P⁻¹)det(A)det(P)=det(A)²det(I)=det(A)²。因此det(A)=det(B)。3.证明：原二次型的矩阵为A=begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}，秩为1，小于3，不正定。4.证明：设A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，若λᵢ=λⱼ（i≠j），则(A-λᵢI)x=0与(A-λⱼI)x=0有非零解x，矛盾。因此A的特征值互异，一定可对角化。五、应用题1.解：det(λI-A)=det(λ-1)²=0，特征值为1（重根）。(A-I)x=0的通解为kbegin{pmatrix}1\-1end{pmatrix}，因此A不可对角化。