初二【数学(北京版)】无理数与实数(1) 教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级初二学期第一学期课题无理数与实数（1）教科书书名：义务教育教科书出版社：北京出版社出版日期：2014年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师指导教师教学目标教学目标：了解无理数的概念，会判断一个数是否是无理数，了解无理数可以用数轴上的点表示；经历无理数的发现过程，体会无理数引入的必要性;通过对比与类比有理数概念和数轴表示学习无理数，加强新旧知识间的联系.教学重点：了解无理数的概念，会判断一个数是否是无理数.教学难点：对无理数的理解和如何在数轴上表示无理数.教学过程时间教学环节主要师生活动1′新课引入（一）新课引入数的范围我们已经认识到了有理数，整数和分数统称为有理数.在现实世界中，还有别的数吗?古希腊的毕达哥拉斯学派曾断言：“世界上只有整数和分数，除此之外，就再也没有别的什么数了.”这个断言对吗?今天我们就共同探究一下.6′新课初探（二）提出问题1.面积等于2的正方形的边长是多少？2.体积等于5的正方形的棱长是多少？由学过的平方根和立方根的知识可以得出面积等于2的正方形的边长是，体积等于5的正方体的棱长是.教师提问:和是有理数吗？ （三）探究:和是什么数？活动1：探究是什么数.（1）用计算器计算:=.学生用计算器计算根号2，会发现计算器屏幕上显示出的结果是一个有限小数，不同计算器显示的小数点后的位数不同，那么计算器上显示出的有限小数是不是根号2的准确值吗？教师引导学生用算术平方根的知识进行检验.（2）用计算器计算:①1.4142132=；②1.4142135622=；③1.4142135623732=.学生用计算器分别计算1.4142132、1.4142135622，1.4142135623732的平方，发现小数点后面的位数越多，结果越接近于2，但都不等于2，说明这三个有限小数都是根号2的近似值，不是它的准确值.用计算机编的程序算一下根号2，如图，小数点后面显示出了400位.把根号2写成小数形式，根号=1.414213562…，它的小数点后面的位数是无限的，而且是不循环的，根号2是一个无限不循环小数.活动2：探究是什么数.用计算器计算:=.1.7099759463=.学生用计算器计算，显示结果是1.709975946，反过来计算1.7099759463的结果不是5，说明1.709975946只是的一个近似值，也是一个无限不循环小数.总结:和都是无限不循环小数.教师再次提问:和是有理数吗？有理数能表示成什么样的小数？(四)探究有理数能表示成什么样的小数.请把下列有理数写成小数形式，观察它们的小数部分各有什么特点？整数6=6.0，−4=−4.0整数都可化为小数点后是0的有限小数；分数，，分数有的可化为有限小数，有的可化为无限循环小数.教师请同学们再举一些其它的有理数进行尝试，最后归纳总结出：任意有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，有限小数或无限循环小数也都是有理数.由此可见，无限不循环小数不是有理数，解决了和不是有理数的问题.和是无限不循环小数，无限不循环小数还有很多，类似的还有：=1.732050807…,=2.236067977…,=−7.280109889…,……π=3.141592653…. 以上都是无限不循环小数，我们把具有这种特征的数归为一类，称之为无理数. 5′概念讲解(五)无理数讲解1.给出定义无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数.无理数的本质特征:①无限，②不循环.二者缺一不可.2.概念理解下列各数中，哪些是无理数？−0.1212212221…（两个1之间依次多一个2）分析:3.14159，是一个有限小数，不满足无限的特征，不是无理数；是一个无限循环小数，不满足不循环的特征，不是无理数；是一个带有根号且开方开不尽的数，是无理数；表示16的算术平方根，结果等于4，因为4是一个有理数，所以它是有理数，不是无理数；是无理数，因为π是无限不循环小数，除以2还是无限不循环小数；−0.1212212221…（两个1之间依次多一个2），它后面有省略号，说明是无限小数，每两个1之间依次多一个2，虽然有一定的规律，但并不循环，所以满足无理数的两个本质特征，它是无理数.所以−0.1212212221…是无理数.教师提问:观察这三个无理数的形式，再联系前面学过的一些无理数，你有什么发现？师生共同总结无理数的三种常见形式.3.无理数的三种常见形式①带根号且开方开不尽的数，如；②π以及含π的代数式，如：，π+1；③特殊的无限不循环小数，如：0.1212212221…（两个1之间依次多一个2）4.概念辨析判断正误：无限小数一定是无理数；错误无理数是无限小数；正确带根号的数一定是无理数；错误无理数是带根号的数.错误5.知识对比教师总结并提问:前面我们通过探究有理数可以表示成有限小数或无限循环小数，与无限不循环小数形成对比，发现无限不循环小数不是有理数，从而引入了无理数，得到了无理数的概念.类比有理数的知识，我们也可以研究无理数的其它知识.比如：在数轴上表示.我们知道，任意一个有理数都能用数轴上的点表示，那么无理数也能用数轴上的点表示吗？如果能又如何表示呢？6′新课再探(六)探究无理数在数轴上的表示方法活动:在数轴上找到表示的点.从如图所示的折纸活动中(正方形纸片边长为2)，你能不能得到启发？启发:可以表示边长为1的正方形的对角线的长.作法:在数轴Ox上以1个单位长度的线段OA为一边作正方形OABC，连接OB；在Ox轴上截取线段OD=OB，所以OD=.点D所对应的数便是.教师总结:事实上，每个无理数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数.我们能不能把这两种数合在一起呢？下节课再继续探究.1′课堂小结本节课学习了无理数的概念和数轴表示.通过与有理数对比知道了无限不循环小数不是有理数，而是一种新数——无理数，与有理数能用数轴上的点表示类似，无理数也能用数轴上的点表示.现在，我们可以回答毕达哥拉斯学派的断言是错误的，世界上除了整数和分数，还存在别的数.这个学派的一个门徒希帕索斯最早发现了不是有理数，并由此引发了第一次数学危机，有关希帕索斯和无理数的故事请大家课后查阅.1′布置作