14.3 角的平分线（第1课时）

14/14第十四章全等三角形14.3角的平分线第1课时一、教学目标【知识与技能】会作一个角的平分线,探索并证明角平分线的性质定理.【过程与方法】经历探索角的平分线的性质,提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题成功体验,逐步培养学生的理性精神.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时四、教学重难点【教学重点】 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用.【教学难点】(1)根据角的平分仪器提炼出角的平分线的尺规画法；(2)角的平分线的性质的探究. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、圆规、角平分仪、剪刀等。学生：三角尺、直尺、圆规、剪刀。六、教学过程（一）导入新课下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？（出示课件2）（二）探索新知1.师生互动，探究角平分线的性质教师问1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？学生回答：用量角器度量，也可用折纸的方法．（出示课件4）教师问2：对这种可以折叠的角能用折叠的方法找到其平分线，对不能折叠的角怎样得到其平分线？如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？学生回答：这样的不能用折叠的方法.教师问3：有一个简易平分角的仪器(如图)，其中AB＝AD，BC＝DC，将A点放在角的顶点，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的平分线，为什么？（出示课件6）学生讨论并回答：其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.

教师让学生小组内完成证明并且重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明射线AE是∠BAD的平分线.教师问4：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？（出示课件7）学生讨论并回答：可以利用尺规作图.请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.

教师提示：

(1)已知什么？求作什么？

(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?

(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？

(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？

教师问5：从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法.已知什么？求作什么？学生回答：如图1，已知∠AOB，用尺规作图的方法作出∠AOB的角平分线OC，写出作法.（出示课件8）图1师生共同解答如下：作法：

（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.

（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.

（3）作射线OC.射线OC即为∠教师问6：半径小于12MN或等于12MN，可以吗？同学们动手作图试一试。

学生作图并且感受后回答：不可以，那样两条弧没有交点，作不出图.图2教师问7：(1)在已画好的角的平分线OC上任意找一点P，过点P分别作OA，OB的垂线交OA，OB于点D(如图2)，PE，PD的长度是∠AOB的平分线上一点到∠AOB两边的距离.量出它们的长度，你发现了什么？学生测量并回答：它们的长度相等。教师讲解：只取一点不好说明问题，我们可以多取几点，然后操作回答.学生操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表：

PD

PE

第一次第二次

第三次

教师问8：你能归纳角的平分线的性质吗？学生作图测量后回答：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（出示课件10）教师问9：我们只是作图得出的结论，需要加以证明，如何证明呢？师生共同解答如下：已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).

∴PD=PE.

总结点拨：（出示课件12）一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即

1.明确命题中的已知和求证；

2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

由此我们可以得到结论：（出示课件13）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE警示：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.

例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.

求证：EB=FC.（出示课件16）师生共同解答如下：证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°.

在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.例2：如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=______cm.（出示课件18）师生共同解答如下：分析：存在两条垂线段——直接应用.

解析：∵AM是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD=PE,∵PD=4cm，∴PE=4cm.故答案为4.总结点拨：（出示课件20）1.应用角平分线性质：存在角平分线条件涉及距离问题

2.联系角平分线性质：面积利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解

周长（三）课堂练习（出示课件22-27）1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=______度，BE=________.

2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是________.

3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）

A.SSS

B.ASA

C.AAS

D.角平分线上的点到角两边的距离相等

4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是()

A.PC＝PDB.OC＝OD

C.∠CPO＝∠DPOD.OC＝PC

5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3

6.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：

(1)哪条线段与DE相等？为什么？

(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.

7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.

8.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.参考答案：1.60BF2.33.A4.D5.D6.解：(1)DC=DE.

理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，

∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，

∴BE＝BC=8.

∴AE＝AB–BE=2.

∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.

7.证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，

∴DE＝DF.

在Rt△CDE和Rt△CDF中，

∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，

∴CE＝CF.

8.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.

∵AD∥BC，

∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.

∵AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，

∴PM=PE.

同理，PN=PE.

∴PM=PN=PE=3.

∴MN=6.即AD与BC之间的距离为6.

（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:角平分线的性质(1)1.用尺规作角的平分线：2.验证猜想：PD＝PE3.角平分线的性质（五）课前预习预习下节课（14.3）教材第51页的相关内容。知道三角形的平分线判定定理七、课后作业1、教材50页练习1和教材52页习题14.3第1题2、直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址共有()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处八、板书设计：九、教学反思：1.本课题设计思路按照操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性.教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出了进一步的猜想.2.尺规作图，以达到复习旧知和再次验证猜想的目的，猜想是否正确还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成.综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴