第1课时　旋转的概念及性质

第二十八章旋转28．1图形的旋转第1课时旋转的概念及性质教师备课素材示例●情景导入向学生展示有关的图片，思考共同点是什么？eq\o(\s\up7(),\s\do5(表盘上秒针的转动))eq\o(\s\up7(),\s\do5(电扇扇叶的转动))eq\o(\s\up7(),\s\do5(钟表钟摆的运动))eq\o(\s\up7(),\s\do5(摩天轮的转动))【教学与建议】教学：让学生切身感受转动现象，从而产生对这种图形变换进一步探究的强烈欲望．建议：把班级学生分为几组，通过小组竞赛的形式举例生活中的平移、轴对称和旋转现象，辨别平移、轴对称和旋转的区别，从而真正理解旋转的概念．●悬念激趣(1)手工制作一个小风车；(2)欣赏部分物体旋转现象；(3)观察：时钟上分针的运动．(动画演示)问题：时钟上分针的转动是绕哪一个点转动？沿着什么方向转动？从5分到15分转动了多少角度？学生在观察后，回答问题，然后教师讲解：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角．【教学与建议】教学：欣赏旋转图片，体验旋转实物，为后面学习旋转的性质作铺垫．建议：小组合作，提前准备小风车模型．命题角度1分析旋转现象考查方式有①识别旋转变换；②求旋转角度．【例1】(1)下列运动形式属于旋转的是(C)A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪(2)如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则旋转中心是点__A__，旋转角度是__60°__，△ADP是__等边__三角形．命题角度2利用旋转的性质进行计算或证明此类考题一般要利用旋转的性质求一些边长、角的度数或进行证明.【例2】(1)如图，△ABC绕点B逆时针旋转到△EBD的位置，若∠A＝20°，∠C＝15°，E，B，C在同一直线上，则旋转角度是__35°__，∠EBD＝__145°__．(2)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，将△ADE顺时针旋转，使AD与AB重合，点E落在CB的延长线上的F处．①求旋转中心及旋转角的度数；②若CE＝3cm，BF＝2cm，求四边形AFCE的面积．解：①旋转中心是点A，旋转角的度数为90°.②∵将△ADE顺时针旋转，使AD与AB重合，∴△ADE≌△ABF，∴DE＝BF＝2cm，S△ADE＝S△ABF.∴CD＝CE＋DE＝3＋2＝5(cm).∴S四边形AFCE＝S△ABF＋S四边形ABCE＝S△ADE＋S四边形ABCE＝S正方形ABCD＝5×5＝25(cm2).高效课堂教学设计1．掌握旋转的有关概念，理解旋转变换是图形的一种基本变换．2．理解旋转的性质．3．能综合运用旋转的性质解决有关代数、几何类问题．▲重点理解旋转的基本性质．▲难点1．探索旋转的基本性质．2．综合运用旋转的性质解决有关代数、几何类问题．◆活动1新课导入同学们，请欣赏下面几幅图案，并思考下列问题：在以前的学习中，我们已经学习了图形的平移和图形的轴对称，对于上述各图案，你能说出它们分别是由怎样的基本图形经过怎样的变换得到的吗？请同学们进入本章内容的学习．◆活动2探究新知1．教材P92思考．提出问题：(1)钟表的指针在不停地转动，指针都是绕着哪一点转动的？从3时到5时，时针由点P转到了哪一点？转动了多少度？旋转方向呢？(2)图中的风车的每一个叶片都是绕着哪一点转动的？若风车按顺时针方向转动一定的角度与自身重合，需要旋转多少度？(3)生活中还有类似的物体运动吗？观察这些现象？有什么共同特征？学生完成并交流展示．2．教材P93探究．根据探究内容，在横线上填上恰当的符号：OA__＝__OA′，AB__＝__A′B′，∠AOC__＝__∠A′OC′，∠AOA′__＝__∠BOB′，△ABC__≌__△A′B′C′.学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转．点O叫作__旋转中心__，转动的角叫作__旋转角__．2．旋转的三要素：__旋转中心__、__旋转方向__、__旋转角__．3．旋转的性质：一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离__相等__；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于__旋转角__；旋转前、后的图形全等．◆活动4例题与练习例1在下列现象中，不属于旋转现象的是(C)A．方向盘的转动B．水龙头开关的转动C．电梯的上下移动D．钟摆的运动例2如图，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是(C)例3如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AF的长度是多少？(4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？解：(1)旋转中心是点A.(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点．又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°.(3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，∴AF＝AE＝eq\r(17).(4)∵∠EAF＝90°(旋转角相等)且AF＝AE，∴△EAF是等腰直角三角形．练习1．教材P93练习1，2，3题．2．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C.若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是(B)A．110°B．80°C．40°D．30°◆活动5课堂小结(1)旋转及旋转中心、旋转角的概念；(2)旋转的对应点及其应用；(3)旋转的基本性质；(4)旋转变换与平移、轴对称两种变换的共性与区别．1．作业布置(1)教材P96习题28.1第1，2题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列图标中是中心对称图形的是()2.在平面直角坐标系中,线段OP的两个端点坐标分别为O(0,0),P(4,3),将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP'位置,则点P'的坐标为()A.(3,4) B.(-4,3)C.(-3,4) D.(4,-3)3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B,D两点间的距离为()A.10 B.22 C.3 D.254.如图,点A,B,C的坐标分别为(0,-1),(0,2),(3,0).从下面四个点M(3,3),N(3,-3),P(-3,0),Q(-3,1)中选择一个点,以A,B,C及该点为顶点的四边形是中心对称图形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.45.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论不正确的是()A.S△ABC=S△A'B'C'B.AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'C.AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'D.S△A'B'O=S△ACO6.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B'处,此时,点A的对应点A'恰好落在BC边的延长线上,下列结论错误的是()A.∠BCB'=∠ACA' B.∠ACB=2∠BC.∠B'CA=∠B'AC D.B'C平分∠BB'A'7.把一副三角板按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D'E'B,则点A在△D'E'B的()A.内部 B.外部C.边上 D.以上都有可能8.如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的对称中心,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为()A.14cm2 B.n4C.n-14cm2 D.二、填空题9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,△AB'C'可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B'与点B是对应点,点C'与点C是对应点),连接CC',则∠CC'B'的度数是.

10.如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C的坐标分别为A(0,3),B(-1,1),C(3,1).△A'B'C'是△ABC关于x轴的对称图形,将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°,点A'的对应点为M,则点M的坐标为.

11.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE.点C和点E是对应点.若∠CAE=90°,AB=1,则BD=.

12.如图,将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD,连接CD.若AB=4cm,则△BCD的面积为.

三、解答题13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,2),请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出A1的坐标.(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出A2的坐标.(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3,并写出A3的坐标.14.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2;(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标;(3)在x轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.15.为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的圆弧构成图案,种植花草部分用阴影表示.请你运用平移、旋转、轴对称等知识,在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案(温馨提示:在两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种,例如:图①、图②只能算一种).16.如图①,有一张矩形纸片,将它沿对角线AC剪开,得到△ACD和△A'BC'.(1)如图②,将△ACD沿A'C'边向上平移,使点A与点C'重合,连接A'D和BC,则四边形A'BCD是形;

(2)如图③,将△ACD的顶点A与A'点重合,然后绕点A沿逆时针方向旋转,使点D,A,B在同一条直线上,则旋转角为度,连接CC',则四边形CDBC'是形;

(3)如图④,将AC边与A'C'边重合,并使顶点B和D在AC边的同一侧,设AB,CD相交于E点,连接BD,四边形ADBC是什么特殊四边形?请说明你的理由.综合训练一、选择题1.B2.C3.A连接BD.由勾股定理,得AB=AC2+BC2=42+32=5,AE=AC=4,所以BE=1,4.C5.D6.C7.C由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D'E'B,设△D'E'B与直线AB交于点M,可知∠EBE'=45°,∠E'=∠DEB=90°,∵∠DEB=90°,∠D=30°,BD=10,∴BE=5,∴BE'=BE=5,∴BM=52.又∠ABC=90°,∠A=45°,AC=10,∴AB=52,∴BM=AB,∴点A在△D'E'B的D'E'的边上.8.C连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45°角的两个三角形全等,进而求得阴影部分面积等于正方形面积的14,即是14cm2.5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为14×4cm2,n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为14×(n-1)二、填空题9.15°10.(-2,1)11.2因为将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,所以AB=AD,因为∠CAE=90°,所以∠DAB=90°,因为AB=1,所以BD=1212.3cm2过点D作BE的垂线,垂足为F(图略),由∠ABC=30°及旋转角∠ABE=150°可知∠CBE为平角.在Rt△ABC中,AB=4cm,∠ABC=30°,则AC=2cm,BC=23cm.由旋转的性质可知BD=BC=23cm,DE=AC=2cm,BE=AB=4cm.由面积法:12DF·BE=12BD·DE,求得DF=3cm.所以△BCD的面积为12BC·DF=12×23×三、解答题13.解(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,如图所示,此时A1的坐标为(-2,2).(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,如图所示,此时A2的坐标为(4,0).(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3,如图所示,此时A3的坐标为(-4,0).14.解(1)画出△A1B1C如图,画出△A2B2C2如图.(2)旋转中心坐标为32(3)点P的坐标为(-2,0).15.解答案不唯一,如下各图供参考.16.解(1)因为AD=AB,AA'=AC,所以A'