专题2.2函数的概念及其表示（举一反三专项训练）（教师版）

专题2.2函数的概念及其表示（举一反三专项训练）【全国通用】目录第一部分题型专练TOC\o"1-3"\h\u【题型1求函数值】 1【题型2具体函数的定义域】 3【题型3抽象函数、复合函数的定义域】 4【题型4函数值域的求解】 5【题型5同一函数的判断】 7【题型6求函数的解析式】 9【题型7分段函数及其应用】 10第二部分分层突破A组基础跟踪练B组培优提升练C组真题·实战演练【题型1\o"求函数值"\t"/gzsx/zj145205/_blank"求函数值】1．（2026·河北·模拟预测）已知函数fx的定义域为0,+∞，∀x>0，y>0，都有fxy=fx+fyA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解题思路】赋值法得到f12=−12，f1【解答过程】因为f14=f12又f1=f1又由f1=f12+ff64故选：A．2．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数f(x)满足对于任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)f(y)，且f(4)=16，则f(3)=（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【解题思路】根据给定条件，利用赋值法计算即可.【解答过程】由对于任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)f(y)，得f(x)=f(又[f(2)]2=f(4)=16，则f(2)=4，而[f(1)]2所以f(3)=f(1)f(2)=[f(1)]故选：D.3．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知函数fx满足∀x，y∈R，yfx−xfy=x−y，且fA．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可.【解答过程】对于yfx−xfy=x−y，且令x=0，可得yf0=−y，解得因为f0+f1=0，所以令y=1，可得fx−x=x−1，得到则f2故选：D.4．（2026·湖北·三模）已知定义在正整数集上的函数fx满足fx+fy=fxA．f2024>2024 C．f2025<2024 【答案】D【解题思路】根据新定义函数，直接赋值即可求解.【解答过程】取x=y=1，得f1+f又f1+f1=2取y=1，得fx+f1=f对正整数x，fx+1累加，得fx=x，故选：D．【题型2具体函数的定义域】5．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数y=x2−2x−3A．−1,3 B．−1,3 C．−∞,−1【答案】C【解题思路】根据二次根式有意义的条件得出被开方数大于或等于0，再解一元二次不等式即可.【解答过程】要使y=x2−2x−3有意义，只需x解得x≥3或x≤−1，所以函数y=x2−2x−3故选：C.6．（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数fx=2x−3A．32,+∞C．32,3∪【答案】C【解题思路】根据根号和分式定义去求解.【解答过程】由2x−3得，2x−3≥0，解得x≥3由1x−3得，x−3≠0，解得x≠3综合两个条件，函数的定义域为32故选：C.7．（25-26高一上·河北沧州·期末）函数f(x)=(2x−1)02−xA．(−∞,2] B．(−∞,2) C．【答案】D【解题思路】根据零次幂底数不为0，分母不为0，二次根式被开方数非负列不等式求解即可.【解答过程】由题意知，2x−1≠02−x>0，解得x<2且x≠所以函数fx的定义域为−故选：D.8．（25-26高一上·天津·期末）已知函数fx=x−12−x+A．（1,3） C．−∞,1∪【答案】B【解题思路】根据使式子有意义得到不等式组，求解即可.【解答过程】要使函数有意义，则x−1≥02−x≠03−x>0，解得1≤x<3且所以fx的定义域为1,2故选：B.【题型3抽象函数、复合函数的定义域】9．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数fx的定义域为4,11，则函数gx=A．3,10 B．10,12C．5,10 D．5,10【答案】A【解题思路】先由f(x)的定义域求出f(x+1)的定义域，再结合分母不为0，即可得解.【解答过程】由4≤x+1≤11x−10≠0，得3≤x<10，所以gx的定义域为故选：A.10．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知fx=x+1+3−xA．0,2 B．0,4 C．−2,2 D．−1,3【答案】C【解题思路】先求得fx的定义域，进而求得g【解答过程】对于fx由x+1≥03−x≥0解得−1≤x≤3所以fx的定义域为−1,3对于gx=fx+1解得−2≤x≤2，所以gx的定义域是−2,2故选：C.11．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知函数fx的定义域为−1,5，则函数gx=A．0,3 B．−3,9 C．0,1∪1,3 【答案】C【解题思路】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得.【解答过程】由题意得−1≤2x−1≤5x−1≠0，解得0≤x<1或1<x≤3故函数gx=f故选：C.12．（25-26高一上·山东德州·期中）若函数fx的定义域为0,6，则函数gx=A．1,2 B．1,2 C．1,18 D．1,18【答案】B【解题思路】根据抽象函数定义域以及分式有意义求解即可.【解答过程】因为函数fx的定义域为0,6令0≤3x≤6x−1>0，解得1<x≤2所以函数gx=f故选：B.【题型4函数值域的求解】13．（25-26高一上·江苏苏州·期中）函数y=1−x+1−2x的值域为（

A．−∞,12 B．0,+∞ 【答案】C【解题思路】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域.【解答过程】令t=1−2x≥0，可得t2所以y=1−x+1−2x因为函数y=12t2+t+即函数y=1−x+1−2x的值域为1故选：C.14．（25-26高一上·浙江·阶段检测）函数y=3x2A．−∞,133 B．3,133【答案】B【解题思路】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解.【解答过程】由y=3x2由于函数fx=x故y=3+1故选：B.15．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）取整函数（也叫高斯函数）fx=[x]的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2，[3]=3，[−2]=−2，则函数gx=x−[x]，其中A．0,1 B．0,1C．−1,0 D．−1,1【答案】A【解题思路】由题可知x≤x<x+1，从而得到函数g【解答过程】根据取整函数的定义，对任意实数x，有x≤x<x+1故函数gx的值域为0,1故选：A.16．（25-26高一上·辽宁朝阳·期末）函数fx=x−1A．−∞,−52 B．−∞【答案】D【解题思路】换元法，令x−1=t≥0，得到y=−2【解答过程】令x−1=t≥0，则x=则y=t−2t故当t=14时，fx所以fx=x−1故选：D.【题型5同一函数的判断】17．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（

）A．fx=B．fx=C．fx=2D．fx=【答案】D【解题思路】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可.【解答过程】对于A，当n为奇数时，nx所以fx=3对于B，n为偶数时，nxn=与fx对于C，fx=2x0与且定义域均为x∣x≠0，故是同一个函数；对于D，fx=x2−2ax−1fx是关于x的二次函数，而ga是关于当x≠0时为一次函数，当x=0时为常数函数，两函数对应关系不相同，故不是同一个函数.故选：D.18．（25-26高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（

）A．f(x)=1，g(x)=x0 B．f(x)=|x+1|C．f(x)=x2，g(x)=x D．f(x)=x+1【答案】B【解题思路】利用相同函数的定义逐项判断得解.【解答过程】对于A，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x0的定义域为对于B，函数f(x)=|x+1|与g(t)=|t+1|的定义域都为R，且对应法则相同，B是；对于C，函数f(x)=x2的值域为[0,+∞对于D，函数f(x)=x+1的定义域为R，函数g(x)=x2−1故选：B.19．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数y=x是同一个函数的是（

）A．y=3x3 B．y=x2 【答案】A【解题思路】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可.【解答过程】函数y=x的定义域为R，值域为R，对于A，y=3x3=x，定义域为即与函数y=x是同一个函数，故A正确；对于B，y=x2=对于C，y=x3x对于D，y=x2，定义域为故选：A．20．（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（

）A．fx=x，gx=xC．fx=2，gx=x【答案】B【解题思路】根据函数的三要素判断即可.【解答过程】对于A，函数fx的定义域为R，函数gx的定义域为对于B，根据绝对值的含义，fx=x对于C，函数gx=x0+1=2，其定义域为x|x≠0对于D，函数fx与g故选：B.【题型6求函数的解析式】21．（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数f(x)满足f(2x−1)+f(x+1)=2(x−3)，则（

）A．f(x)=23x−3C．f(x)=23x+3【答案】A【解题思路】设出函数解析式，利用待定系数法求解.【解答过程】由f(x)为一次函数，设f(x)=ax+b(a≠0)，依题意，a(2x−1)+b+a(x+1)+b=2x−6，整理得3ax+2b=2x−6，因此3a=22b=−6，解得a=23故选：A.22．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知f(x−1)=x2+x−2，则函数f(x+1)A．f(x+1)=x2+5x+1C．f(x+1)=x2+5x+4【答案】C【解题思路】利用换元法求出f(t)，进而求出f(x+1).【解答过程】令x−1=t，则x=t+1，f(t)=(t+1)所以f(x+1)=(x+1)故选：C.23．（25-26高一上·全国·课后作业）若f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5，2f(0)−f(−1)=1，则f(x)=（

）A．3x+2 B．3x−2 C．2x+3 D．2x−3【答案】B【解题思路】设出函数f(x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.【解答过程】设f(x)=ax+b(a≠0)，由题设有2(2a+b)−3(a+b)=52(0⋅a+b)−(−a+b)=1解得a=3b=−2，所以f(x)=3x−2故选：B．24．（25-26高一上·浙江·期中）已知fx+1=x−1，则函数fA．fx=x2−2x C．fx=x2−2x+2（x≥1） 【答案】D【解题思路】通过配凑，得fx+1=x−1=x+1【解答过程】因为fx设t=x+1≥1所以fx所以函数fx的解析式为fx=故选：D.【题型7分段函数及其应用】25．（25-26高一上·江西吉安·期末）已知函数fx=2x−3,x≥1x2A．−1 B．1 C．2 D．3【答案】B【解题思路】根据分段函数的解析式，先根据0满足的条件选择正确的解析式求出f(0)，根据其值，代入符合要求的解析式计算，求出结果即可.【解答过程】可知f0=0故选：B.26．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数f(x)=0,x<1x+1,1≤x<2−x2+5,x≥2，若A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解题思路】设f(a)=t，则f(t)=1，根据分段函数分类讨论计算推得t=2，再由f(a)=2，同法讨论计算即得a的值.【解答过程】设f(a)=t，则f(f(a))=f(t)=1，当t<1时，f(t)=0≠1，不合题意；当1≤t<2时，由f(t)=t+1=1，解得t=0，不合题意；当t≥2时，由f(t)=−t2+5=1，解得t=±2，因t≥2即f(a)=2，若a<1，则f(a)=0≠2，不合题意；若1≤a<2，则f(a)=a+1=2，解得a=1，符合题意；若a≥2，则f(a)=−a2+5=2综上，可得a=1.故选：D.27．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知fx=x2−3x,x≥0.5A．−15 B．−2 C．1【答案】A【解题思路】先求f1，再代入求出f【解答过程】由题意可得，f1=1−3=−2，则故选：A.28．（2026·天津和平·二模）已知函数fx+1=−x,x<−1x,A．xx≤1 B．C．xx≤2−1【答案】A【解题思路】先求出函数fx的解析式，再分x<0、x≥0【解答过程】解：由fx+1=−x,∴x<0x+xfxx≥0x+xfx=x+x综上，不等式x+xfx≤1的解集是故选：A.A组基础跟踪练一、单选题1．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数fx=3A．1,4 B．−C．1,4 D．1,4【答案】B【解题思路】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可.【解答过程】由x−1≠0,4−x≥0，解得x<1或1<x≤4，故fx的定义域是−故选：B.2．（25-26高一上·陕西西安·期末）设集合P={x∣0≤x≤4},Q={y∣0≤y≤4}，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解题思路】根据函数关系的定义逐个判断即可.【解答过程】A选项，集合P中的{x|2<x≤4}这部分在集合Q中没有元素对应，故A选项错误；B选项，∀x∈P，均存在唯一y∈Q与其对应，故B选项正确；C选项，存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素，故C选项错误；D选项，集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素，故D选项错误；故选：B.3．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数fx=x+2,x≤0,x+1x,x>0,A．−2或1 B．−1或0 C．−2或0 D．−2或−1【答案】D【解题思路】令f(a)=t，可得t=0或t=1，结合fx【解答过程】令f(a)=t，则f(t)=2，若t≤0，则t+2=2，解得t=0，若t>0，则t+1t=2故fa=0或当a>0时，fa=a+1a≥2故a≤0，所以fa所以a+2=0或a+2=1，解得a=−2或−1.故选：D.4．（2026·北京东城·一模）下列函数中，定义域为(0,+∞)的函数是（A．f(x)=x B．f(x)=lnx C．f(x)=【答案】B【解题思路】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.【解答过程】对于A，要使得根号下有意义，则x≥0，即定义域为[0,+∞)，故A错误；对于B，要使得对数有意义，则真数x>0，即定义域为0,+∞，故B正确；对于C，由指数函数的定义可知其定义域为R，故C错误；对于D，要使得正切函数有意义，则x≠kπ+π故选：B.5．（2026·山西·模拟预测）已知函数fx=11−xA．92 B．5 C．9 【答案】C【解题思路】用1n2代换x得【解答过程】由题设f1n2故选：C.6．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数f(x)=1−kx2−2kx+3A．−3<k<0 B．−3≤k<0 C．−3≤k≤0 D．−3<k≤0【答案】D【解题思路】将函数的定义域转化为kx【解答过程】因为函数f(x)=1−kx所以kx当k=0时，−3<0符合题意；当k≠0时，k<0Δ=4k综上，实数k的取值范围是−3,0；故选：D.二、填空题7．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数fx−2=x−4x+5【答案】fx【解题思路】用配凑法求函数fx解析式，注意x【解答过程】因为函数fx−2=x−4所以fx故答案为：fx8．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=1−x1+x，且f【答案】−【解题思路】由已知可得1−a1+a【解答过程】因为函数fx=1−x1+x，且fa故答案为：−19．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知函数y=f(x)的定义域为[−3,2]，则函数y=f(2x+1)x+1的定义域为【答案】−2,−1【解题思路】根据复合函数定义域的定义可知，−3≤2x+1≤2且x+1≠0，即可求解.【解答过程】由题意得：−3≤2x+1≤2，解得：−2≤x≤1由x+1≠0，解得：x≠−1，故函数的定义域是−2,−1∪故答案为：−2,−1∪10．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数f(x)=−x2+2,x≤1【答案】37【解题思路】利用分段函数解析式先求f12，再求【解答过程】因为f(x)=−所以f1所以ff故答案为：372811．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数fx=2kx2+kx+3【答案】0,6【解题思路】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解.【解答过程】要使fx有意义，则有2k∵函数fx的定义域为实数集R，∴2kx2当k=0时，34当k≠0时，则有2k>0Δ=k综上，实数k的取值范围为0,6.故答案为：0,6.12．（2026·广东梅州·模拟预测）函数f:R→R满足∀x,y∈R,fx+fy=ffx+y【答案】4051【解题思路】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可.【解答过程】令x=0可得f0+f将y赋值为fy，代入①得：f根据题设及①有：ff由①②③得：ff即fy令y=1可得f1=1+f0因此f2026故答案为：4051.B组培优提升练一、单选题1．（2026·河北·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足：fx+2−fA．f20>181 C．f21>200 【答案】C【解题思路】由已知可得fx+4−fx−2≤6x，进而可得fx+2【解答过程】由fx+2−fxfx+4即fx+4−fx−2≤6x，又fx+4所以f=2×18+16+14+⋯+2f21=2×10×故选：C．2．（2026·四川自贡·三模）已知函数fx的定义域为R，∀x，y∈R，fx=fx−yA．f0=0 C．fx+1<fx【答案】D【解题思路】令x=1,y=0判断A；令x=0,y=1，判断B；利用y=1得fx+1=2fx，令x=0判断fx≠0，令y=−x判断f【解答过程】对A，令x=1,y=0，则f1=f1f0对B，令x=0,y=1，则f0=f−1f1对C，令y=1，得fx=fx−1令x=0，则f0=f−yf令y=−x，则fx=f2xf−x所以fx+1对D，因为fx+1=2fx又fx>0，所以故选：D．3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知x表示不小于x的最小整数，如3.2=4，−3.2=−3，已知定义在R上的函数fx满足∀x，y∈R，fx+fy=ffA．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】C【解题思路】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果.【解答过程】定义在R上的函数f(x)满足∀x,y∈R,f(x+f(y))=f(f(x))+y，取x=0,y∈R，得f(f(y))=f(f(0))+y，则f(f(x))=f(f(0))+x，取y=0,x∈R，得f(x+f(0))=f(f(x))，于是f(x+f(0))=f(f(0))+x，而f(0)=12，则当x=−12时，因此f(12)=1则f(x)=f[(x−1所以f(2025)=2025+12，故选：C.4．（2026·浙江温州·三模）已知函数fx的定义域为R，∀x，y∈R，fxfA．fB．fC．fD．f【答案】C【解题思路】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得fx+1=12fx，又f0=fxf−x【解答过程】对于A，令x=1，y=0，则又f1=12，则对于B，令x=1，y=−1，则又f1=12，f0对于C，令y=1，则fx又f1=1由上可知fxf−x所以fx=fx2f对于D，由fx+1=1所以fx+2fx+1由选项C中分析知fx>0，所以故选：C.二、填空题5．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知定义在区间0,+∞上的函数y=f①对任意的x>0,y>0，总有f(x+y)=f(x⋅f(y))⋅f(y)成立；②f(2)=0；③当0<x<2时，总有f(x)≠0，那么，f(3)+f12【答案】4【解题思路】令x=1，y=2，结合f2=0可求f3；再令x=32,y=12，结合②③可得【解答过程】先求f(3)的值，在①中令x=1,y=2可得，f(3)=f(1+2)=f(1⋅f(2))⋅f(2).由②知，f(2)=0，所以f3=0×f0再求f12的值，在①中令0=f(2)=f3又由③知，f12≠0依题意可得32但是若f12>可得f2注意到2f12所以f1所以f3故答案为：43三、解答题6．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域.(1)已知函数fx=1−x(2)已知函数f3x+1的定义域为−1,6，求f【答案】(1)−3,1(2)3【解题思路】（1）根据函数解析式可知1−x≥0x+3≥0，可得出函数fx的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数（2）根据题意，可知−1<x≤6，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数fx的定义域，从而得出f【解答过程】（1）解：由fx得1−x≥0x+3≥0，解得：−3≤x≤1∴函数fx=1−x（2）解：∵函数f3x+1的定义域为−1,6∴−1<x≤6，则−2<3x+1≤19，即函数fx的定义域为−2,19由−2<2x−5≤19，得32∴f2x−5的定义域为37．（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式：(1)已知函数fx满足：f((2)已知一次函数f(x)在R上满足：f[f(x)]=4x+6；(3)已知函数f(x)满足：2f(x)−f(−x)=x+1.【答案】(1)f(2)fx=2x+2(3)f【解题思路】（1）由配凑法求解即可；（2）由待定系数法求解即可；（3）通过构造方程组求解即可.【解答过程】（1）因为fx因为x+1≥1，所以f（2）设fx则ff所以k2=4kb+b=6，解得k=2所以fx=2x+2或（3）因为定义在R上的函数fx满足2f所以2f−x由①×2+②，得3fx所以fx8．（25-26高一上·陕西·开学考试）对实数x，用x表示“不大于x的最大整数”，用x表示“不小于x的最小整数”．例如2=(1)若x+x=−4(2)若x+2x=14(3)记f(x)=x+x，是否存在实数x，使得f【答案】(1)x=−2(2)4,5(3)存在，x=101.25【解题思路】（1）分类讨论x是否为整数，结合题意运算求解即可；（2）分类讨论x是否为整数，结合题意运算求解即可；（3）分类讨论x是否为整数，整理可得fx结合整数的奇偶性分析可知可知x,2x,3x,4x中只有1个整数，且整数只能3x或4x，进而讨论求解即可.【解答过程】（1）若x∈Z，则x=可得x+x=2x=−4若x∈k,k+1,k∈Z，则可得x+x=2k+1=−4综上所述：x=−2.（2）若x∈Z，则x=可得x+2x=3x=14若x∈k,k+1,k∈Z，则可得x+2x=3k+2=14，解得k=4综上所述：x的取值范围为4,5.（3）若x=k∈Z，则x=x=k若x∈k,k+1,k∈Z，则可得fx综上所述：fx可知当且仅当x∈Z时，fx为偶数，否则f且2025为奇数，可知x,2x,3x,4x中只有1个整数或只有3个整数，若x为整数，则2x,3x,4x均为整数；若2x为整数，则4x必为整数；在x不为整数的前提下，2x,3x不可能同时为整数，3x,4x不可能同时为整数；据此可知x,2x,3x,4x中只有1个整数，且整数只能3x或4x，可设x∈k,k+1（i）若3x为整数，则x=k+1①若x=k+13，则2x=2k+23，可得fx解得k=100.9∉Z，不合题意；②若x=k+23，则2x=2k+43，可得fx解得k=100.6∉Z，不合题意；（ⅱ）若4x为整数，则x=k+1①若x=k+14，则2x=2k+12，可得fx=2k+1+4k+1+6k+1+8k+2=20k+5=2025，解得②若x=k+34，则2x=2k+32，可得fx解得k=100.5∉Z，不合题意；综上所述：k=101，x=k+1所以存在实数x，使得fx+f2xC组真题·实战演练一、单