第八章§8.6双曲线

§8.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2-y2by2a2-x2b图形性质焦点F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)焦距|F1F2|=2c范围x≤-a或x≥a，y∈Ry≤-a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(-a，0)，A2(a，0)A1(0，-a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b渐近线y=±bay=±ab离心率e=ca∈(1，+∞a，b，c的关系c2=a2+b2(c>a>0，c>b>0)1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)(2)方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.((3)双曲线x2m2-y2n2=1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm±(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)2.记F(2，0)为双曲线E：x2a2-y23A.y=±2x B.y=±3xC.y=±x D.y=±5x答案B解析由于F(2，0)为双曲线E：x2a2-y23=1(a>0)的右焦点，故a2故渐近线方程为y=±3x.3.(2025·全国Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为()A.2 B.2 C.7 D.22答案D解析设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，由题意知b=7a，于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=22a，即e=ca=224.与双曲线x24-y2答案4解析设与双曲线x24-y28=1有共同渐近线的双曲线方程为x24-y28∵双曲线x24-y28=λ经过点(2，4)，∴λ=4∴所求双曲线的方程为y28-x双曲线y28-x24=1的虚半轴长为21.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min=a+c，|PF2|min=c-a.3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知双曲线x2a2-y212=1(a>0)的两个焦点为F1，F2，焦距为8，M为双曲线上一点，|MFA.1 B.1或9 C.9 D.3答案C解析由题意得b2=12，2c=8，即c=4，又a2+b2=c2，即a2=16-12=4⇒a=2，由双曲线的定义可得||MF1|-|MF2||=2a=4，解得|MF1|=1或|MF1|=9，又|MF1|+|MF2|>2c=8，所以|MF1|=9.(2)已知双曲线C：x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M在C上，若|MO|=3，则|MF1|+|MF2|=答案43解析设∠F1MF2=θ，|MF1|=m，|MF2|=n，因为MO=12(M所以|MO|2=14(|MF1|2+2MF1·M所以9=14(m2+2mncosθ+n2即m2+2mncosθ+n2=36，在△MF1F2中，易知|F1F2|=4，由余弦定理得42=m2-2mncosθ+n2，两式联立得m2+n2=26，mncosθ=5，又2(m2+n2)=(m-n)2+(m+n)2，|m-n|=2，所以(m+n)2=48，即|MF1|+|MF2|=43.圆锥曲线的第二定义(链接教材，人教A版选择性必修第一册P113例6，P127习题3.2T10)平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：(1)当0<e<1时，轨迹为椭圆.(2)当e>1时，轨迹为双曲线.①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x=±a2典例(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x=答案x216+解析依题意，右焦点F2(2，0)，右准线x=a2由椭圆第二定义知ca=1∵c=2，故a=4，∴b2=a2-c2=12，∴椭圆方程为x216+(2)已知双曲线x29-y216=1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|+35|MF答案36解析设M到直线x=a2c的距离为d，由双曲线第二定义知，MF2|d=e=53，∴d=3∴|MA|+35|MF2|=|MA|+d如图，可知(|MA|+d)min=xA-95=9-95=思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|-|PF2||=2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.跟踪训练1(1)已知双曲线C：x2-y25=1的右焦点为F，M为C的左支上一点，P为线段MF的中点，O为坐标原点，若|OP|=4，则|A.10 B.9 C.7 D.6答案A解析如图，设C的左焦点为F'，连接MF'，因为P为MF的中点，O为坐标原点，所以|MF'|=2|OP|=8，由双曲线的定义可知，|MF|-|MF'|=2a=2，所以|MF|=|MF'|+2=8+2=10.(2)(2026·哈尔滨模拟)已知F是双曲线y24-x25=1的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点A(3，1)，则|A.11 B.9 C.13 D.5答案B解析由y24-x25=1，得a=2，b=5，所以c所以上焦点F(0，3)，则下焦点为F1(0，-3)，又A(3，1)，由双曲线的定义得|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|=4+32+(1+3由图知，当A，P，F1三点共线(P在线段AF1上)时，|PF|+|PA|取得最小值9.题型二双曲线的标准方程例2(1)过点(2，3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为()A.x2-y23=1 B.x29C.x22-y29=1 D.答案A解析椭圆的标准方程为x29+y故c=9−5=2，可得焦点坐标为(±2，0).设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(故4a2故双曲线的标准方程为x2-y2(2)(2026·重庆模拟)已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N：x24-y23=1有共同的渐近线，且点P(2，1)在双曲线M上，则双曲线答案3x28解析设双曲线M的方程为x24λ-y23将点P(2，1)代入得44λ-13λ=1，得所以双曲线M的方程为3x28思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2-y2n2=λ(λ≠0)，与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为x2a2+λ-y2b2−λ=1(-a2跟踪训练2(1)已知双曲线C：y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为2π3A.y26-x22=1 B.C.y224-x28=1 D.答案A解析由一条渐近线的倾斜角为2π3可知-ab=tan2π3，故ab又2c=42，c=a2解得c=22，a=6，b=2，故双曲线C的方程为y26-(2)(2026·西安模拟)已知点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，则动点M的轨迹方程为答案x225-9y2解析设点M(x，y)，则直线AM，BM的斜率分别为yx+5，yx−5(因为它们的斜率之积是49，则yx+5×yx−5=49，x≠±5，化简得x225则动点M的轨迹方程为x225-9y2100题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3已知双曲线x2a2-y2b2=1(A.12 B.32 C.32答案B解析对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，其渐近线方程为双曲线的任一顶点到任一渐近线的距离都相等，不妨取顶点(a，0)和渐近线y=bax，即bx-ay=0，则双曲线的顶点到渐近线的距离为|ab−a由题意得渐近线y=bax的倾斜角为π6或所以ba=tanπ6=33或ba=tan又c=2，c2=a2+b2=4，联立解得a=3故所求距离为abc=3思维升华(1)渐近线方程的求法：令x2a2-y2b2=0，即得两渐近线方程(2)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±ba命题点2离心率例4已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上第一象限内一点，若直线y=-bax垂直平分线段PFA.5 B.3 C.52 D.答案A解析F1(-c，0)，一条渐近线方程为y=-bax，即bx+ay=0点F1到渐近线的距离为d=bcb2+又直线y=-bax垂直平分线段PF1，|PF1|=4a，所以b=2a故离心率为e=ca=a2+b2思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2=a2+b2和e=ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)命题点3与双曲线有关的范围(最值)例5(多选)(2025·白银模拟)已知双曲线E：x2a2-y23=1(a>0)的渐近线与圆C：x2+(y-2)2=1相切，F1，F2分别为E的左、右焦点，C为圆CA.a=1B.△CF1F2为等腰直角三角形C.△CF2P周长的最小值为42D.|CP|的最小值为2答案ABD解析双曲线E：x2a2-y23=1(a>0)的渐近线方程为y=±3ax，即由圆C：x2+(y-2)2=1，圆心为C(0，2)，半径r=1，因为渐近线与圆C相切，所以|2a3+a2=1，解得而b2=3，则c2=a2+b2=4，即c=2，所以F1(-2，0)，F2(2，0)，则|CF1|=|CF2|=22，|F1F2|=4，故|CF1|2+|CF2|2=|F1F2|2，即CF1⊥CF2，所以△CF1F2为等腰直角三角形，故B正确；△CF2P的周长为|CF2|+|PC|+|PF2|=22+|PC|+2a+|PF1|=22+2+|PC|+|PF1|≥22+2+|CF1|=42+2，当且仅当P，C，F1三点共线且P在C，F1之间时等号成立，则△CF2P的周长的最小值为42+2，故C不正确；设P(x0，y0)，x0≤-1，y0∈R，则x02-y即x02=1+所以|CP|=x=1+y02则当y0=32时，|CP|取得最小值2，故D正确思维升华与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质.(2)利用函数，尤其是二次函数.(3)利用不等式，尤其是基本不等式.跟踪训练3(1)(多选)(2026·驻马店模拟)已知双曲线C：y24-A.双曲线C的焦点坐标为(±5，0)B.双曲线C的实轴长为4C.双曲线C的离心率为5D.双曲线C的渐近线方程为y=±212答案BC解析双曲线C：y24-x221=1的焦点在y轴上，且a2=4，b2=21，则a=2，所以c2=a2+b2=25，则c=5，所以双曲线C的焦点坐标为(0，±5)，A错误；因为a=2，所以双曲线C的实轴长2a=4，B正确；双曲线C的离心率为e=ca=52，双曲线C的渐近线方程为y=±abx=±22121x，(2)已知双曲线C：x24-y2=1的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，则4k1+kA.3 B.4 C.1 D.2答案D解析∵双曲线C：x24-y2=1的左、右顶点分别为A，B，∴A(-2，0)，B(2，设P(x0，y0)(x0>2，y0>0)，则直线AP的斜率k1=y0直线BP的斜率k2=y0x0−2，∴k1·k又点P在C上，∴x024-y02=1，即∴k1·k2=y02x02又x0>2，y0>0，∴k1>0，k2>0，∴4k1+k2≥24k1·k2=2，当且仅当4k即k1=14，k2=1∴4k1+k2的最小值为2.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2026·温州模拟)已知双曲线C：4x2-y2=16，则双曲线C的实轴长为()A.2 B.4 C.8 D.16答案B解析双曲线C的标准方程为x24-y216=1所以双曲线C的实轴长为2a=4.2.若双曲线C：x2a2-y2=1(aA.y=±2x B.y=±3xC.y=±12x D.y=±1答案C解析双曲线C：x2a2-y2=1(a>0则4=2a，得a=2，所以双曲线C：x24-y2=1的渐近线的方程为y=±13.已知双曲线C经过点(0，3)，离心率为233，则双曲线A.x2-y23=1 B.x23C.y2-x23=1 D.y23答案D解析方法一因为双曲线C经过点(0，3)，所以双曲线C的焦点在y轴上，且a=3，又因为离心率为23即e=ca=c3=233所以b=c2−所以双曲线C的标准方程为y23-x方法二将点(0，3)代入四个选项中，只有D符合.4.已知A(7，3)，双曲线C：x24-y25=1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|A.-1 B.2 C.3 D.1答案D解析如图，设双曲线的右焦点为F'(3，0)，连接PF'，AF'，则|PF|-|PF'|=2a=4，因为|AF'|=(7−3)2而|AF'|≥|PA|-|PF'|，所以|PA|-|PF|=|PA|-|PF'|-4≤|AF'|-4=5-4=1，当P，F'，A三点共线且F'在P，A之间时等号成立，故|PA|-|PF|的最大值是1.5.(2026·昭通模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为15的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若|ABA.43 B.2 C.2 D.答案C解析如图，根据双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，由于|AB|=|AF1|，|AB|=|AF2|+|BF2|，则|AF2|+|BF2|=|AF1|，所以|BF2|=2a，|BF1|=4a.设∠F1F2B=θ，由题可得tanθ=15，则cosθ=14在△BF1F2中，由余弦定理，可得cosθ=4c2+4a2−16a22×2c×即2e2-e-6=0，因为e>1，则可得e=2.6.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如图1)；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出(如图2).封闭曲线E(如图3)是由椭圆C1：x216+y210=1和双曲线C2：x24-y22=1在y轴右侧的一部分(实线)围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过双曲线的右焦点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0与PA.4 B.8 C.12 D.16答案B解析椭圆中，a1=4，b1=10，c=6；双曲线中，a2=2，b2=2，c=6，则双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有|P1F1|-|P1F2|=4，|P3F1|-|P3F2|=4，所以|P1F1|-4=|P1F2|，|P3F1|-4=|P3F2|，根据椭圆的定义有|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|=8，|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|=8，所以路程为|P0F2|+|P1F2|+|P1P2|+|P2F2|+|P3F2|+|P3P0|=|P0F2|+|P1F1|-4+|P1P2|+|P2F2|+|P3F1|-4+|P3P0|=(|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|)+(|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|)-8=8+8-8=8.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2026·桂林模拟)已知F1，F2是双曲线C：x2m+7+y2mA.当m=-3时，双曲线C的实轴长为4B.当|PF1|-|PF2|=4时，m=-3C.无论m取何值，双曲线C的焦距都为23D.当m=1时，双曲线C的渐近线方程为y=±12答案AB解析由双曲线C的方程为x2m+7+得(m+7)(m-5)<0，又m+7>m-5，故m+7>0，设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(aA选项，由m=-3，得双曲线C的方程为x24-y28=1，即a2=4则双曲线C的实轴长为2a=4，A正确；B选项，由|PF1|-|PF2|=4=2a，即a=2，a2=4，则m+7=4，解得m=-3，B正确；C选项，a2=m+7，b2=5-m，则c2=a2+b2=12，所以c=23，所以双曲线C的焦距为43，C错误；D选项，由m=1，得双曲线C的方程为x28-y24=1，即a2=8，a=22，b2=4，b=2，则双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±28.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)过点P(b，23a)，A.直线OP的斜率为43B.双曲线C的离心率为5C.双曲线C的两条渐近线的夹角小于πD.若点A(a，5a-a)，Q是双曲线C左支上一点，则|AQ|+|FQ|的最小值为23a+2a答案BCD解析∵双曲线过点P(b，23a)，∴b2a2-12a2b又O(0，0)，∴kOP=23a−0b−0∵离心率e=ca=a2+b2a2∵双曲线的渐近线方程为y=±bax，代入b=2a，则y=±2x设渐近线y=2x的倾斜角为α，则0<α<π2，tanα=2∵tanπ3=3<2∴π3<α<π2，2π3<2∴两渐近线的夹角为π-2α，且0<π-2α<π3，故C∵A(a，5a-a)，左焦点F'(-5a，0)，右焦点F(5a，0)，Q是双曲线C左支上一点，∴|FQ|=|F'Q|+2a，∴|AQ|+|FQ|=|AQ|+|F'Q|+2a≥|AF'|+2a，当且仅当Q在线段AF'上时，等号成立.∵|AF'|=[a−(−5a)∴|AQ|+|FQ|的最小值为23a+2a，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=±2x，焦距为25，则双曲线C的方程为.答案x2-y2解析由题意设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(则渐近线方程为y=±bax，故ba=2，且2c=2所以c=5，则a2+b2=c2=5，可得a2=1，b2=4，故双曲线C的方程为x2-y210.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=π3，|PF1|=2|答案3解析设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2x-x=2a，即x=2a，所以|PF2|=2a，|PF1|=4a，又|F1F2|=2c，∠F1PF2=π3在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=PF即(4a)2+(2a)2−(2c)22·4四、解答题(共26分)11.(12分)求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上，a=25，经过点A(-5，2)；(5分)(2)过点P(-2，2)，且与椭圆x29+解(1)因为a=25，且双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为x220-y2b2将点A(-5，2)代入双曲线的方程得2520-22b2=1，解得因此，双曲线的标准方程为x220-(2)在椭圆x29+yc=9−4=5，所以椭圆的焦点坐标为F1(-5，0)，F2(5，0)，设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(因为双曲线与椭圆有相同焦点，所以a2+b2=c2=5，点P(-2，2)代入双曲线方程，可得2a2-4联立2a2所以双曲线的标准方程为x2-y212.(14分)双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其离心率(1)求双曲线C的方程；(6分)(2)若双曲线上一点P满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积.(8分)解(1)由题意知81解得a故双曲线C的方程为x29-(2)由题意及(1)得||PF1|-|PF2||=6，|F1F2|=10，在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos60°，即102=62+|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|=64，所以S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|sin60°=1所以△PF1F2的面积为163.[每小题6分，共12分]13.(多选)(2026·大庆模拟)某数学兴趣小组的同学经研究发现，函数y=-1x的图象是双曲线.设其焦点分别为F1，F2，若PA.y=x不是它的一条对称轴B.它的离心率为2C.若点P到点(-2，2)的距离为12+22，则点P到点(2，-2)的距离为12或1D.类比以上结论可猜测y=x+1x答案BD解析对于A，由反比例函数的性质可知y=±x是函数y=-1x的对称轴，故A对于B，根据反比例函数的图象知两条坐标轴是其渐近线，两渐近线互相垂直，由双曲线定义知其为等轴双曲线，即a=b，e=1+ba2=2对于C，易知y=-x与y=-1x的交点为(-1，1)，(1，-1即该双曲线的两个顶点为(-1，1)，(1，-1)，所以a=2，所以两焦点坐标为F1(-2，2)和F2(2，-2)，c=2，根据双曲线的定义知，若|PF1|=12+22则|PF2|=|PF1|+2a=12+42或|PF2|=|PF1|-2a=12，而12<c-a=2-2，故舍去，即|