第五章§5.3平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.1.向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.

3.平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB=a，CD=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b=|a||b|cosθa·b=x1x2+y1y2模|a|=a|a|=x夹角cosθ=acosθ=xa⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤(1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×(2)若a，b共线，则a·b=|a||b|.(×)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(√)(4)若a·b=a·c，则b=c.(×)2.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是()A.(a+b)·c=a·c+b·cB.(a·b)·c=a·(b·c)C.a·b≤|a||b|D.|a-b|≤|a|+|b|答案ACD解析根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，等式不一定成立，故B不正确；C中，根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；D中，|a-b|2-(|a|+|b|)2=-2a·b-2|a||b|=-2|a||b|(cos〈a，b〉+1)≤0，故|a-b|2≤(|a|+|b|)2，即|a-b|≤|a|+|b|，故D正确.3.(2025·青岛检测)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且a⊥b，则cos〈a-b，a〉等于()A.25 B.105 C.510答案D解析因为a=(x，1)，b=(1，-2)，又a⊥b，所以x-2=0，x=2，所以a=(2，1)，a-b=(1，3)，所以cos〈a-b，a〉=(a−b)·4.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为2π3，且a+b+c=0，则|c|=.答案7解析因为a+b+c=0，所以c=-a-b，所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3×cos2π3+32=4-6+9=7，所以|c|=7熟记以下常用结论(1)平面向量数量积运算的常用公式①(a+b)·(a-b)=a2-b2.②(a±b)2=a2±2a·b+b2.③a2+b2=0⇒a=b=0.(2)有关向量夹角的两个结论①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.(3)a在b上的投影向量为a·b|b|·b|b题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2025·齐齐哈尔模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，建立如图所示的平面直角坐标系，且A(0，3)，C(3，0)，B(0，0)，AM=12MC，BM=MD，则DA·A.3 B.1 C.2 D.4答案C解析由题意知A(0，3)，C(3，0)，B(0，0)，设M(x，y)，因为AM=12MC，所以(x，y-3)=12(3-x，则x=12(3−x),y−3=−1又BM=MD=(1，2)，所以D(2，4)，所以DC=(1，-4)，DA=(-2，-1)，所以DA·DC=(-2)×1+(-1)×(-4)=2.(2)(2025·天津)在△ABC中，D为AB边的中点，CE=13CD，AB=a，AC=b，则AE=(用a，b表示)，若|AE|=5，AE⊥CB，则AE·CD=答案16a+23解析如图，因为CE=13CD，所以AE-AC=13所以AE=13AD+因为D为线段AB的中点，所以AE=16AB+23AC=16因为|AE|=5，AE⊥CB，CB=a-b，所以AE2=16a+23b2=136a2+29aAE·CB=16a+23b·(a-b)=16a2+12a·b-23b2=0，所以a2+3a由①②得a2+4a·b=180，又CD=AD-AC=12AB-AC=12a所以AE·CD=16a+23b·12a−b=112a2=112(a2+2a·b-2a2-6a·b)=112(-a2-4a·b)=112×(思维升华计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b=|a||b|cos〈a，b〉.(2)利用坐标运算，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用基底法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.跟踪训练1(1)(2026·合肥模拟)在△ABC中，已知AB=4，点O是△ABC的外心，则AO·AB等于()A.16 B.8 C.4 D.-8答案B解析如图，过点O作OD⊥AB于D，可知AD=12AB=2则AO·AB=(AD+DO)·AB=AD·AB+DO·AB=2×4+0=8.(2)(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为13，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)·b=.答案11解析由题意可得a·b=1×3×13=1，b2=9则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.极化恒等式1.极化恒等式在平面向量中：(a+b)2=a2+b2+2a·b，(a-b)2=a2+b2-2a·b，两式相减可得极化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]2.极化恒等式的几何解释(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14，即a·b=14[(a+b)2-(a-b)2(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即AB·AC=AM2-MB2(M为BC极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.典例(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA=4，BF·CF=-1，则BE·CE的值是.

答案7解析方法一(极化恒等式法)设BD=DC=m，AE=EF=FD=n，则AD=3n.由向量的极化恒等式，知AB·AC=|AD|2-|DB|2=9n2-m2=4， ①FB·FC=|FD|2-|DB|2=n2-m2=-1， ②联立①②解得n2=58，m2=13因此EB·EC=|ED|2-|DB|2=4n2-m2=78即BE·CE=78方法二(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a，3b)，B(-c，0)，C(c，0)，则E(2a，2b)，F(a，b)，所以BA·CA=(3a+c，3b)·(3a-c，3b)=9a2-c2+9b2=4，BF·CF=(a+c，b)·(a-c，b)=a2-c2+b2=-1，则a2+b2=58，c2=13所以BE·CE=(2a+c，2b)·(2a-c，2b)=4a2-c2+4b2=78方法三(基向量法)BA·CA=(DA-DB)·(DA-DC)=4|AD|2BF·CF=(DF-DB)·(DF-DC)=4|FD因此|FD|2=58，|BC|2=13所以BE·CE=(DE-DB)·(DE-DC)=4|ED|2−(2)在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA·PB的取值范围是()A.[-5，3] B.[-3，5]C.[-6，4] D.[-4，6]答案D解析方法一(极化恒等式)记AB的中点为M，连接CM(图略)，则|CM|=52由极化恒等式可得PA·PB=|PM|2-14|∵|PM|max=|CM|+1=72∴(PA·PB)max=|PM|max2∵|PM|min=|CM|-1=32∴(PA·PB)min=|PM|min2即PA·PB的取值范围是[-4，6].方法二(建系法)依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，因为PC=1，所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，所以PA=(3-cosθ，-sinθ)，PB=(-cosθ，4-sinθ)，所以PA·PB=(-cosθ)×(3-cosθ)+(4-sinθ)×(-sinθ)=cos2θ-3cosθ-4sinθ+sin2θ=1-3cosθ-4sinθ=1-5sin(θ+φ)，其中sinφ=35，cosφ=4因为-1≤sin(θ+φ)≤1，所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6，即PA·PB的取值范围是[-4，6].题型二平面向量数量积的应用命题点1向量的模例2(1)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=.

答案2解析a-b=(1，1-2x)，因为a⊥(a-b)，则a·(a-b)=0，则x+1-2x=0，解得x=1.则a=(1，1)，则|a|=2.(2)(2025·北京)已知平面直角坐标系xOy中，|OA|=|OB|=2，|AB|=2，设C(3，4)，则|2CA+AB|的取值范围是()A.[6，14] B.[6，12]C.[8，14] D.[8，12]答案D解析方法一因为|OA|=|OB|=2，|AB|=2，所以|OA|2+|OB|2=|AB|2，则OA⊥OB，即OA·OB=0，所以|OA+OB|=OA2+OB2CA+AB=2(OA-OC)+OB-OA=OA+OB-2OC，因为OC=(3，4)，所以|OC|=32+所以|2CA+AB|2=OA2+OB2+4OC2-4(OA+OB=2+2+4×25-4(OA+OB)·OC=104-4(OA+OB)·OC，又|(OA+OB)·OC|≤|OA+OB||OC|=2×5=10，即-10≤(OA+OB)·OC≤10，所以64≤|2CA+AB|2≤144，即8≤|2故|2CA+AB|的取值范围为[8，12].方法二因为|OA|=|OB|=2，|AB|=2，所以|OA|2+|OB|2=|AB|2，即OA⊥OB.取AB的中点M，则|OM|=12|AB|=1，所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上2CA+AB=CA+CA+AB=CA+CB=2CM，又|OC|-1≤|CM|≤|OC|+1，|OC|=32+所以4≤|CM|≤6，所以8≤|2CA+AB|≤12，即|2CA+AB|的取值范围是[8，12].命题点2向量的夹角例3(1)(2025·汉中模拟)向量|a|=|b|=1，|c|=3，且a+b-c=0，则cos〈a，c〉等于()A.-12 B.-32 C.12答案D解析因为a+b-c=0，则b=c-a，则b2=c2-2a·c+a2，即1=3-2a·c+1，解得a·c=32所以cos〈a，c〉=a·c|a||(2)若向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，已知2a-3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是.

答案−∞，−解析因为2a-3b与c的夹角为钝角，所以(2a-3b)·c<0，即(2k-3，-6)·(2，1)<0，所以4k-6-6<0，所以k<3.若2a-3b与c反向共线，则2k−3解得k=-92综上所述，实数k的取值范围是−∞，−9命题点3向量的垂直例4(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于()A.-2 B.-1 C.1 D.2答案D解析因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，所以b2-4a·b=0，即4+x2-4x=0，解得x=2.(2)(2026·青岛模拟)已知在△ABC中，A=120°，且AB=3，AC=4，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为()A.2215 B.103 C.6 答案A解析因为AP=λAB+AC，且AP⊥BC，所以AP·BC=(λAB+AC)·(AC-AB)=λAB·AC-λAB2+AC2-AB=(λ-1)AB·AC-λAB2+AC2整理可得(λ-1)×3×4×cos120°-9λ+16=0，解得λ=2215命题点4向量的投影例5(1)(2025·西安模拟)已知向量a，b满足a=(1，1)，b=(0，-1)，则(b-2a)在b上的投影向量为()A.(-3，0) B.(0，-3)C.(3，0) D.(0，3)答案B解析因为向量a，b满足a=(1，1)，b=(0，-1)，所以b-2a=(0，-1)-2(1，1)=(-2，-3)，所以(b-2a)·b=-2×0+(-3)×(-1)=3，|b|=(−1)2则(b-2a)在b上的投影向量为(b−2a)·b|b|·b|b|=31b(2)(2025·毕节模拟)在△ABC中，点O是BC的中点，且AO=12BC，则BC在ABA.12AB C.-AB D.AB答案C解析由题意知在△ABC中，点O是BC的中点，且AO=12BC故∠BAC=π2则BC在AB上的投影向量为|BC|cos(π-B)AB|AB|=-|BC|cos=-|BC|·|AB||BC|思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|②几何法：利用向量的几何意义.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ=a·②坐标法.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0，b≠0).(4)求投影向量的方法向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉b|b|=a跟踪训练2(1)(多选)(2025·宝鸡模拟)已知向量a=(3，1)，b=(cosα，sinα)，则下列结论正确的有()A.若a∥b，则tanα=3B.若a⊥b，则tanα=-3C.若a与b的夹角是π3，则|a-b|=D.若a与b的方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是−答案ABC解析因为向量a=(3，1)，b=(cosα，sinα)，若a∥b，则3sinα-cosα=0，解得tanα=33，A若a⊥b，则3cosα+sinα=0，解得tanα=-3，B正确；若a与b的夹角是π3，因为|a|=(3)2+12=2所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cosπ3+|b|2=3所以|a-b|=3，C正确；若a与b的方向相反，所以a·b=|a||b|cosπ=-2，所以b在a上的投影向量为a·b|a|2a=-12(2)(2026·长沙模拟)已知向量a，b满足|a|=3，|b|=23，且a⊥(a+b)，则a与b的夹角为()A.π6 B.π3 C.2π3答案D解析∵a⊥(a+b)，|a|=3，∴a·(a+b)=|a|2+a·b=0，∴a·b=-|a|2=-9，∴cos〈a，b〉=a·b|a||b|=-3题型三平面向量的实际应用例6(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|=|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是()A.|F1|的最小值为12|GB.θ的范围为[0，π]C.当θ=π2时，|F1|=22|D.当θ=2π3时，|F1|=|G答案ACD解析由题意知，F1+F2+G=0，可得F1+F2=-G，两边同时平方得|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cosθ=2|F1|2+2|F1|2cosθ，所以|F1|2=|G当θ=0时，|F1|min=12|G|当θ=π2时，|F1|=22|G当θ=2π3时，|F1|=|G|，故A，C，D当θ=π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误.思维升华用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力F=(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(-1，-1)移动到点B(1，-1)，则F对冰球所做的功为()A.-18 B.18 C.-12 D.12答案D解析因为A(-1，-1)，B(1，-1)，所以AB=(2，0)，又F=(6，24)，故力F对冰球所做的功为W=F·AB=12.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2025·山西联考)已知向量a，b满足a=(1，-1)，|b|=2，且a与b的夹角为π4，则a·(a-bA.-1 B.0 C.1 D.2答案B解析因为|a|=12+(−1)2=2，|b|=2，且a与故a·(a-b)=|a|2-|a||b|cosπ4=(2)2-2×2×22.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则()A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件D.“x=-1+3”是“a∥b”的充分条件答案C解析对A，当a⊥b时，则a·b=0，所以x(x+1)+2x=0，解得x=0或x=-3，即必要性不成立，故A错误；对C，当x=0时，a=(1，0)，b=(0，2)，故a·b=0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对B，当a∥b时，2(x+1)=x2，解得x=1±3，即必要性不成立，故B错误；对D，当x=-1+3时，不满足2(x+1)=x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于()A.12 B.22 C.3答案B解析因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b，又因为|a|=1，|a+2b|=2，所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，从而|b|=224.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小|v2|=6km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于()A.-25 B.-35 C.-45答案B解析由题意知(v1+v2)·v2=0，则v1·v2+v22=|v1||v2|·cosθ=60cosθ+36=0，所以cosθ=-355.(2025·武汉模拟)已知向量a=(1，0)，b=(0，1)，a·c=b·c=1，则向量a在向量c上的投影向量为()A.12，1C.−12，答案A解析设c=(x，y)，因为a=(1，0)，b=(0，1)，a·c=b·c=1，所以1×x所以c=(1，1)，则向量a在向量c上的投影向量为a·c|c|·c|c6.(2025·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC，CD=(2-1)BC，AC·AD=62，则AC等于()A.6 B.6 C.23 D.32答案A解析由AB⊥AC，得AB·AC=0，由CD=BD-BC=(2-1)BC，得BD=2BC由AC·AD=AC·(AB+BD)=AC·BD=2AC·BC=2AC·(AC-=2|AC|所以|AC|=6，即AC=6.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知向量a=(1，-2)，b=(1，3)，则下列结论正确的是()A.b在a上的投影向量是(1，-2)B.|2a+b|=|b|C.a与b的夹角为πD.(a+b)⊥a答案BD解析因为|a|=5，|b|=10，a·b=1-6=-5，所以cos〈a，b〉=a·b|a||b|=-22，所以〈a所以b在a上的投影向量是|b|·cos〈a，b〉·a|a|=10×−22×a5=-a=(因为a=(1，-2)，b=(1，3)，所以2a+b=(3，-1)，所以|2a+b|=9+1=10=|b|，故B正确；a+b=(2，1)，所以(a+b)·a=2-2=0，故D正确.8.(2025·泉州期末)已知向量a=(2，1)，b=(cosθ，sinθ)，则下列命题正确的是()A.若a⊥b，则tanθ=2B.若b在a上的投影向量为-36a，则向量a与b的夹角为C.存在θ，使得|a+b|=|a|+|b|D.a·b的最大值为3答案BCD解析因为向量a=(2，1)，b=(cosθ，sinθ)，对于A选项，若a⊥b，则a·b=2cosθ+sinθ=0，可得sinθ=-2cosθ，故tanθ=-2，A错误；对于B选项，因为|a|=3，|b|=cos2θ+sin2θ=1，b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉a|a|=cos〈a，b因为0≤〈a，b〉≤π，则〈a，b〉=2π3，即向量a与b的夹角为2π3，对于C选项，若|a+b|=|a|+|b|，则a，b方向相同，所以cosθ=故当b=63，33时，|a+b|=|a|+|b对于D选项，a·b=sinθ+2cosθ=3sin(θ+φ)≤3，其中φ为锐角，且tanφ=2，故a·b的最大值为3，D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2025·天津检测)已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，与AB方向相同的单位向量为e，若向量CD在AB方向上的投影向量为λe(λ∈R)，则实数λ=.

答案35解析由题意知AB=(2，1)，CD=(5，5)，则AB·CD=15，|AB|=5，向量CD在AB方向上的投影向量为AB·CD|所以λ=AB·CD|AB|10.(2026·徐州模拟)已知AB是圆O的一条直径，且|AB|=4.C，D是圆O上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上，则PA·PB的取值范围是.

答案[-1，0]解析如图，O为圆心，连接OP，则PA·PB=(PO+OA)·(PO+OB)=(PO+OA)·(PO-OA)=|PO|2-|OA因为点P在线段CD上且|CD|=2，则圆心O到弦CD的中点的距离d=22−12=3所以3≤|PO|≤2，所以3≤|PO|2则-1≤|PO|2-4≤0，即PA·PB的取值范围是[-1，四、解答题(共27分)11.(13分)(2025·南京模拟)已知|a|=4，|b|=2，且a与b的夹角为π3(1)求|a+2b|；(6分)(2)若向量(2a-λb)⊥(λa+3b)，求实数λ的值.(7分)解(1)a·b=|a||b|cosπ3=4×2×12∴(a+2b)2=a2+2a·2b+4b2=16+4×4+16=48，∴|a+2b|=48=43.(2)∵(2a-λb)⊥(λa+3b)，则(2a-λb)·(λa+3b)=0，即2λa2+(6-λ2)a·b-3λb2=0，∴32λ+4×(6-λ2)-12λ=0，即λ2-5λ-6=0，∴λ=-1或λ=6.12.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AE=λAD，BC=2AB=2AD=2.(1)若BE⊥AC，求实数λ的值；(7分)(2)若λ=23，求AC与BE的夹角θ解(1)分别以BC，BA的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，所以B(0，0)，A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，所以AC=(2，-1)，BE=(λ，1)，因为BE⊥AC，所以BE·AC=2λ-1=0，所以λ=12(2)当λ=23时，|AC|=22+(−1|BE|=λ2+1=