第八章§8.3圆的方程

§8.3圆的方程考试要求1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圆心C−半径r=12.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|=r⇔M在圆上，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(√)(2)(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆.(×)(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0.(√)(4)若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.(2.若圆x2+y2+x+y=0的圆心为M，则点M到直线x-y+2=0的距离为()A.2 B.3 C.3 D.2答案D解析由圆的方程x2+y2+x+y=0，配方可得x+122+所以圆心M−1则点M到直线x-y+2=0的距离d=−12+3.(多选)已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0与点A(0，-5)，则()A.圆C的半径为2B.点A在圆C外C.点A在圆C内D.点A与圆C上任一点距离的最小值为2答案BD解析因为x2+y2-4x+6y+11=0，即(x-2)2+(y+3)2=2，所以圆心为C(2，-3)，半径r=2，故A错误；又|AC|=(2−0)2+(−3+5)2=22>r，所以点A在圆C因为|AC|=22，所以点A与圆C上任一点距离的最小值为|AC|-r=2，故D正确.4.(2025·眉山模拟)若方程x2+y2-2x+2y=a表示圆，则实数a的取值范围是.答案(-2，+∞)解析若方程x2+y2-2x+2y-a=0表示圆，则(-2)2+22+4a=8+4a>0，解得a>-2，因此实数a的取值范围是(-2，+∞).1.掌握圆的两个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上.2.牢记两个相关结论(1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x=a+题型一圆的方程例1设☉M的圆心M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为.答案(x-1)2+(y+1)2=5解析方法一设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，则2a+∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.方法二设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，则M−D∴2·−∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0，即(x-1)2+(y+1)2=5.方法三设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，则kAB=1−00−3=-1线段AB的中点坐标为32∴线段AB的垂直平分线方程为y-12=3x即3x-y-4=0.联立3x−∴M(1，-1)，∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5，∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.思维升华求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.跟踪训练1(2025·南昌模拟)设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y=2x-1相切，则圆C的标准方程为.答案(x-3)2+y2=5解析方法一设圆C的圆心为(m，0)，则由于该点到直线y=2x-1的距离d=|2m−1结合圆C与直线相切，知圆C的半径为|2所以圆C的标准方程是(x-m)2+y2=(2m而圆C过点(1，1)，所以(1-m)2+12=(2m−1)所以圆C的标准方程是(x-3)2+y2=5.方法二因为点(1，1)在直线y=2x-1上，所以圆C与直线y=2x-1的切点为(1，1)，则过圆心C和切点(1，1)的直线方程为y-1=-12(x-1)，即y=-12x+又因为圆心C在x轴上，则0=-12x+32，得x即C(3，0)，圆C的半径为(3−1)2+(0−1)2=5，故圆C的标准方程是(x-3)题型二与圆有关的轨迹问题命题点1直接法(链接教材，人教A版选择性必修第一册P89习题2.4T9)“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Cλ2+1λ例2若点P(x，y)到两定点A(-3，0)和B(3，0)的距离的比等于2，则动点P的轨迹方程是.答案(x-5)2+y2=16解析|PA|=(x|PB|=(x由题意得|PA||PB|=2，则(x整理可得(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2，化简得(x-5)2+y2=16，则动点P的轨迹方程为(x-5)2+y2=16.命题点2定义法例3已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2，则点A的轨迹方程是()A.y2=4xB.x2+y2-2x-2y-3=0C.x2+y2-2y-3=0D.y2=-4x答案B解析因为圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，所以圆心C(1，1)，半径r=1，因为点M是圆上的动点，所以|MC|=1，又AM与圆相切，且|AM|=2，则|AC|=|MC|2+设A(x，y)，则(x-1)2+(y-1)2=5，即x2+y2-2x-2y-3=0，所以点A的轨迹方程为x2+y2-2x-2y-3=0.命题点3相关点代入法例4已知圆C：(x-3)2+y2=9，D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足DM=2DE，则点M的轨迹方程为()A.x−522+(yB.(x-1)2+(y-8)2=9C.(x-5)2+(y-8)2=9D.(x-8)2+(y-1)2=9答案B解析设M(x，y)，D(a，b)，由DM=2DE，得x所以a又因为点D在圆C：(x-3)2+y2=9上，即(a-3)2+b2=9，所以(4-x-3)2+(8-y)2=9，即(x-1)2+(y-8)2=9，故点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-8)2=9.思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.跟踪训练2已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，所以kAC·kBC=-1，又kAC=yx+1，kBC=所以yx+1·y化简得x2+y2-2x-3=0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0)，即(x-1)2+y2=4(y≠0).方法二设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|=12|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，且M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得x=x0+32，y所以x0=2x-3，y0=2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0)，将x0=2x-3，y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0)，即(x-2)2+y2=1(y≠0).因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).题型三与圆有关的最值问题命题点1利用几何性质求最值例5(多选)已知圆C：x2+y2-6x-4y+5=0，则下列说法正确的是()A.y-x的最大值为3 B.x+y的最大值为7 C.yx的最大值为6+2D.x2+y2的最大值为21+426答案ACD解析因为圆C：x2+y2-6x-4y+5=0，则(x-3)2+(y-2)2=8，设x=22cosθ+3，y=22sinθ+2，θ∈[0，2π).对于A，y-x=22sinθ-22cosθ-1=4sinθ−π所以当θ=3π4时，y-x取得最大值为3，故A对于B，x+y=22cosθ+22sinθ+5=4sinθ+π所以当θ=π4时，x+y取得最大值为9，故B对于C，设yx=k，则y=kx，圆C：(x-3)2+(y-2)2=8圆心C(3，2)，半径r=22，则圆心到直线y=kx的距离小于等于半径，即|3k−2|所以k2-12k-4≤0，解得6-210≤k≤6+210，所以yx的最大值为6+210，故C对于D，x2+y2可以看作是圆上某点P到原点O的距离的平方，|OP|2≤(|OC|+r)2=(13+22)2=21+426，所以x2+y2的最大值为21+426，故D正确.命题点2利用对称性求最值例6已知A(0，2)，点P在直线x+y+2=0上，点Q在圆C：x2+y2-4x-2y=0上，则|PA|+|PQ|的最小值是.答案25解析因为圆C：x2+y2-4x-2y=0，即(x-2)2+(y-1)2=5，所以圆C是圆心为C(2，1)，半径r=5的圆.设点A(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m，n)，所以m解得m=−4，n=−2，故A'(-4，连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x+y+2=0于P，此时，|PA'|+|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=25.命题点3利用函数求最值例7设点P(x，y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B(-2，0).则PA·PB的最大值为.答案12解析方法一由题意，得PA=(2-x，-y)，PB=(-2-x，-y)，所以PA·PB=x2+y2-4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1，故x2=-(y-3)2+1，所以PA·PB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4，所以当y=4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4-12=12.方法二(极化恒等式)由题意知线段AB的中点为O(0，0)，BA=(4，0)，PA·PB=14[(PA+PB)2-(PA-PB)2=PO2-14BA2=|PO易知|PO|2的最大值为[(0−0)2+(3−0)2所以PA·PB的最大值为12.思维升华与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ=y−bx−a，t=ax+by，(x-a)2+(y-(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|+|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.跟踪训练3(1)(多选)已知实数x，y满足圆的方程(x-1)2+y2=14A.圆心为(-1，0)，半径为1B.x的最大值为3C.x2+(y−1D.x-y2的最大值为3答案BCD解析对于A，由圆的方程(x-1)2+y2=14，得圆心为(1，0)，半径r=12，故对于B，由(x-1)2+y2=14有(x-1)2≤14⇒-12≤x-1≤12⇒12≤所以x的最大值为32，故B对于C，x2+(y−1)2表示圆上的点(x，圆心(1，0)到定点(0，1)的距离为d=(1−0)2+(0−1所以圆上的点(x，y)到定点(0，1)的距离的最大值为d+r=2+12，即x2+(y−1)2对于D，由(x-1)2+y2=14得y2=14-(x-1)所以x-y2=x-14+(x-1)2=x2-x+34，12≤x令f(x)=x2-x+34=x−122+12，由所以f(x)max=f32=32，所以x-y2的最大值为32，故(2)若实数x，y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0，则代数式yx+2的取值范围为答案0，解析设yx+2=k，则y=kx+2方程x2+y2-2x-4y+1=0，可化为(x-1)2+(y-2)2=4.圆心为(1，2)，半径为2，由圆心到直线y=kx+2k的距离小于等于半径，得k−2+2kk化简得k(5k-12)≤0，解得0≤k≤125故yx+2的取值范围是课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.“关于x，y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的()A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若x2+y2+mx+4y+8=0表示圆，则m2+42-4×8>0，解得m<-4或m>4，故“关于x，y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的必要不充分条件.2.已知圆C：x2+y2+2x-4y+1=0关于直线l：mx+2y-1=0对称，则实数m的值为()A.-5 B.-3 C.3 D.5答案C解析圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4，圆心为(-1，2)，而圆C：x2+y2+2x-4y+1=0关于直线mx+2y-1=0对称，故点(-1，2)在直线mx+2y-1=0上，故-m+4-1=0，解得m=3.3.过点(-1，0)，(3，0)，(0，2)的圆的圆心坐标为()A.1，−12 C.1，14 答案C解析方法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).因为该圆过点(-1，0)，(3，0)，(0，2)，所以1−D+因此圆的方程为x2+y2-2x-12y化简得(x-1)2+y−14因此该圆的圆心为1，1方法二令A(-1，0)，B(3，0)，C(0，2)，则线段AB的垂直平分线方程为x=1，AC的中点为−12，1，kAC=则线段AC的垂直平分线方程为y-1=-12即y=-12x+3联立x=1，y故该圆的圆心为1，14.点P在圆x2+y2=36上运动，它与点Q(4，0)所连线段的中点为M，则点M的轨迹方程为()A.(x-2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9C.x2+(y-2)2=9 D.x2+(y+2)2=9答案A解析设点M(x，y)，P(x0，y0)，因为M为PQ的中点，所以x=x0+42，y=y02，又因为动点P在圆x2+y2=36上，所以(2x-4)2+(2y)2=36，即(x-2)2+y2=9，则点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=9.5.在平面直角坐标系中，A(0，3)，B(0，-1)，点P满足|PA|=2|PB|，则△PAB面积的最大值是()A.2 B.83 C.163 答案C解析设点P(x，y)，x≠0，因为|PA|=2|PB|，所以x2+(y整理得x2+y+732=649所以点P的轨迹是以0，−73为圆心，83又直线AB的方程为x=0，所以点P到直线AB的最大距离dmax为圆的半径，即dmax=83所以△PAB面积的最大值为S=12|AB|·dmax=12×4×836.已知圆C：x2+y2-4x-4y+6=0，定点A(-1，1)，P为x轴上一动点，B为圆C上一动点，则|PA|+|PB|的最小值为()A.2 B.22 C.32 D.2答案B解析圆C：x2+y2-4x-4y+6=0的圆心C(2，2)，半径r=2，|PA|+|PB|≥|PA|+|PC|-2，当且仅当P，B，C三点共线，且B点在P，C两点之间时，取等号，点A(-1，1)关于x轴的对称点为A'(-1，-1)，|PA|+|PC|=|PA'|+|PC|≥|A'C|=32，当且仅当A'，P，C三点共线时取等号.所以|PA|+|PB|≥32-2=22，当且仅当P，B在线段A'C上时取等号，所以|PA|+|PB|的最小值为22.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知x2+y2-4x+6y+k=0表示圆，则下列结论正确的是()A.圆心坐标为(-2，3)B.当k=0时，半径r=13C.圆心到直线x+y-1=0的距离为2D.当k=4时，圆的面积为16π答案BC解析将方程x2+y2-4x+6y+k=0化为(x-2)2+(y+3)2=13-k，所以圆心为(2，-3)，半径为13−k，故A当k=0时，半径r=13，故B正确；圆心到直线x+y-1=0的距离为|2−3−1|2=2当k=4时，半径为13−4=3，圆的面积为π×32=9π，故D错误.8.已知圆C：(x-2)2+y2=1，点P(x0，y0)是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是()A.y0xB.x0+2y0的最大值为3C.x02+(D.|x0+y0+2|的最小值为4-2答案AD解析由题可知圆C：(x-2)2+y2=1的圆心为(2，0)，半径为1.设y0x0=k，则y0=kx0，又点P(x0，y0则圆心(2，0)到直线y=kx的距离小于等于半径，所以|2k1+k2≤1，解得-33≤k≤33设x0=2+cosθ，y0=sinθ(0≤θ<2π)，则x0+2y0=2+2sinθ+cosθ=2+5sin(θ+φ)，tanφ=12当sin(θ+φ)=1时，x0+2y0取得最大值2+5，故B错误；x02+(y0+1)2表示点P(x0因为圆心(2，0)到点(0，-1)的距离为5，故x02+(y0+1|x0+y0+2|=2×|x0+y0+2|2，表示点P(x0，y0)到直线因为圆心(2，0)到直线x+y+2=0的距离为42=22故点P到直线x+y+2=0距离的最小值为22-1，故|x0+y0+2|的最小值为2×(22-1)=4-2，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知圆C经过点O(0，0)，且圆C恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分，则圆C的标准方程为.答案(x-1)2+y2=1解析直线方程整理为m(x-1)-y=0，则其过定点(1，0)，因为圆C恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分，则其圆心为(1，0)，又因为圆C经过点O(0，0)，则圆C的半径为1，则圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1.10.若P是圆C：(x-1)2+(y-3)2=1上的一个动点，O是坐标原点，A(3，1)，则OP·OA的最小值为.答案23-2解析方法一设P(1+cosθ，3+sinθ)，0≤θ<2π，则OP·OA=3cosθ+sinθ+23=2sinθ+π3所以当θ+π3=3π2，即θ=7π6时，OP·OA取得最小值，为方法二由点P(x，y)是圆C上的动点，O(0，0)，A(3，1)，则OP·OA=(x，y)·(3，1)=3x+y，令z=3x+y，则3x+y-z=0，故圆心C(1，3)到直线3x+y-z=0的距离小于等于半径1，即|23−解得23-2≤z≤23+2，故OP·OA的最小值为23-2.四、解答题(共28分)11.(13分)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点.(1)求圆C的方程；(6分)(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足PM=3QM，求点Q的轨迹方程.(7分)解(1)由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB=0，所以线段AB的垂直平分线方程为x=2，它与x轴的交点为圆心C(2，0)，又半径r=|AC|=10，所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由PM=3QM，得(8-x0，-y0)=3(8-x，-y)，所以x又点P在圆C上，故(x0-2)2+y02所以(3x-18)2+(3y)2=10，化简得点Q的轨迹方程为(x-6)2+y2=10912.(15分)已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x-y-1=0上.(1)求圆C1的方程；(6分)(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x+3)2+(y+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上的点，求|PM|+|PN|的最小值，以及此时点P的坐标.(9分)解(1)由题意知线段AB的中点坐标为32kAB=4−32−1=1∴线段AB的垂直平分线方程为y-72=-x即y=5-x，联立y=5−x即圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r=|AC1|=1，其方程为(x-2)2+(y-3)2=1.(2)注意到点C1(2，3)和点C2(-3，-4)在直线x+y=0的两侧，直线x+y=0与两圆分别相离，如图所示.∴|P