第八章§8.1直线的方程

第八章直线和圆、圆锥曲线§8.1直线的方程考试要求1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).1.直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量.2.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3.直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.(α≠90°)

(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k=y24.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)不含直线x=x0斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式y−y1y2−y1=x−x1x2不含直线x=x1和直线y=y1截距式xa+y不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线与x轴的夹角就是倾斜角.(×)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.(×)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(×)(4)截距一定是正数.(×)2.直线3x-y+2026=0的倾斜角是()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C解析根据题意，设直线3x-y+2026=0的倾斜角为α，因为其斜率k=tanα=3，又由0°≤α<180°，所以α=60°.3.(多选)设直线l的方程为y=3x+2，则下列说法正确的有()A.直线l的斜率为3B.直线l在y轴上的截距为2C.直线l在x轴上的截距为2D.直线l与坐标轴围成的三角形的面积为2答案ABD解析由直线l的斜截式方程为y=3x+2，得直线l的斜率为3，在y轴上的截距为2，故A，B正确；在方程y=3x+2中，令y=0，解得x=-233，即直线l在x轴上的截距为-23设直线l与x轴、y轴的交点分别为A，B，坐标原点为O(0，0)，则A−233，0，B(直线l与坐标轴围成的三角形为△OAB.因为|OA|=233，|OB|=2，所以S△OAB=12|OA||OB|=234.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.答案3x-2y=0或x+y-5=0解析当截距为0时，直线方程为3x-2y=0；当截距不为0时，设直线方程为xa+ya则2a+3a解得a=5，直线方程为x+y-5=0.所以直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.1.掌握倾斜角与斜率的关系(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.(2)当直线l的倾斜角α∈0，π2时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈π2，π时，(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.2.直线的方向向量当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k).3.谨记以下两个关键点(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.(2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=kx+b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x=ty+b.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)下列叙述正确的是()A.若一条直线的斜率为k=tanα，则此直线的倾斜角为αB.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°C.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率D.若直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为α答案B解析当α=240°时，直线斜率k=tan240°=3，但直线倾斜角为60°，故A错误；与x轴垂直的直线的倾斜角为90°，与y轴垂直的直线的倾斜角为0°，故B正确；平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为90°的直线的斜率不存在，故C错误；如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为α+90°；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°-α，故D错误.(2)已知直线l的方程为xsinα+3y-1=0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0，π3∪2π3，π C.0，π3∪5π6，π 答案B解析由题意知直线l的方程为xsinα+3y-1=0，α∈R，即y=-3sinα3x+33，即直线l的斜率由α∈R，-1≤sinα≤1，得-33≤k≤3又直线l的倾斜角θ的取值范围为[0，π)，-33≤tanθ≤3由正切函数的性质可得，直线l的倾斜角θ的取值范围为0，π6∪思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π跟踪训练1(1)(多选)已知直线l：3x+y-2=0，则下列选项中正确的有()A.直线l的斜率为-3B.直线l的倾斜角为5πC.直线l不经过第四象限D.直线l的一个方向向量为v=(-3，3)答案AD解析由l：3x+y-2=0，可得y=-3x+2，故其斜率为k=-3，倾斜角为2π3，故A项正确，B由直线y=-3x+2知其斜率k<0，纵截距b=2>0，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误；取直线l上两点A(0，2)，B(3，-1)，可得BA=(-3，3)，即直线l的一个方向向量为v=(-3，3)，故D项正确.(2)已知点A(3，4)，B(-2，-1)，若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交，则k的取值范围是()A.12B.−∞，12C.(-∞，0]∪12D.1答案B解析直线l：y=k(x-2)+1过定点P(2，1)，而kPA=1−42−3=3，kPB=1+12+2=由图可知，要使直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交，则k≤12或k≥3，即k的取值范围是−∞，12∪[3题型二求直线的方程例2(1)下列说法一定正确的是()A.过点(0，1)的直线方程为y=kx+1B.斜率是-4，在y轴上的截距是7的直线方程是y=-4x-7C.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa+yD.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)答案D解析对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0，故A错误；对于B，斜率是-4，在y轴上的截距是7的直线方程是y=-4x+7，故B错误；对于C，当截距为0时，直线方程不能表示为xa+yb=1，故对于D，当过点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率存在且不为零时，该直线的两点式方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1，可化为(y-y1)(x2-当直线与x轴垂直时，方程为x=x1，满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)；当直线与y轴垂直时，方程为y=y1，满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1).综上所述，过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，故D正确.(2)过点A(2，1)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为.答案x-2y=0或x-y-1=0解析设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则a+b=0.若a=b=0，则直线过原点，又过点A(2，1)，则直线方程为x-2y=0；若a≠0，b≠0，则b=-a，可设直线方程为xa+y−代入点A(2，1)，可得2a+1−a=1，解得a=1，则直线方程为x综上，所求直线方程为x-2y=0或x-y-1=0.思维升华求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.跟踪训练2(1)(多选)下列说法正确的有()A.点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线B.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限C.过点(2，-1)，且倾斜角为120°的直线的点斜式方程为y+1=-3(x-2)D.直线y=5x-3在y轴上的截距为3答案BC解析对于选项A，点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线x=x0，故选项A错误；对于选项B，由直线y=kx+b经过第一、二、四象限可得k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，故选项B正确；对于选项C，直线的倾斜角为120°，则斜率k=tan120°=-3，又过点(2，-1)，则直线的点斜式方程为y+1=-3(x-2)，故选项C正确；对于选项D，直线y=5x-3在y轴上的截距为-3，故选项D错误.(2)经过点P(1，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线的方程是.答案2x-y=0或x+2y-5=0解析若直线经过原点，设直线方程为y=kx，将P(1，2)代入可得k=2，所以直线方程为y=2x，即2x-y=0；若直线不经过原点，设直线方程为x2a+ya=1，将P(1，2)代入可得a=52，所以直线方程为x5+y5综上，所求直线方程为2x-y=0或x+2y-5=0.题型三直线方程的综合应用例3已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.解方法一设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0)，则A2−1k，0，B(0，S△AOB=12(1-2k)·=1≥124+2(−4k)·−1当且仅当-4k=-1k且k<0即k=-12时，等号成立故直线l的方程为y-1=-12(x-2即x+2y-4=0.方法二设直线l的方程为xa+yb且a>2，b>1，因为直线l过点M(2，1)，所以2a+1b则1=2a+1b≥22ab，故ab故S△AOB=12ab≥12×当且仅当2a=1b，即a=4，b故直线l的方程为x4+y2即x+2y-4=0.延伸探究1.在本例条件下，当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程.解由本例方法二知，2a+1b=1，a>2，b所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·2a+1b=3+ab+当且仅当ab=2即a=2+2，b=1+2时，等号成立，所以当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为x+2y-2-2=0.2.在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.解由本例方法一知A2−1B(0，1-2k)(k<0).所以|MA|·|MB|=1k2=2×1+k2k=2当且仅当-k=-1k且k<0，即k=-1时，等号成立此时直线l的方程为x+y-3=0.思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.跟踪训练3(1)“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-12<k<1”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析要使y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限，则k−1<0，2k+1>0，解得-1因此，“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-12<k<1”的充要条件(2)在平面直角坐标系中，过点P(2，2)作直线AB，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B.当直线AB的斜率为时，△AOB的面积最小(O是坐标原点)，则最小面积是.答案-18解析设A(a，0)，B(0，b)，a>2，b>2，则直线AB的方程为xa+yb将P(2，2)代入得2a+2b因为1=2a+2b≥22a当且仅当2a=2b=12，即a=所以ab≥4，ab≥16，S△AOB=12ab≥12×所以当直线AB的斜率k=-ba=-1△AOB的面积最小，最小面积是8.课时精练[分值：83分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.若向量a=(3，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为()A.π6 B.π3 C.2π3答案A解析设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，若向量a=(3，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的斜率为k=tanα=13=3因为0≤α<π，所以α=π62.直线x-2y-5=0在y轴上的截距为()A.5 B.-5 C.52 D.-答案D解析在x-2y-5=0中，令x=0，得y=-52故直线x-2y-5=0在y轴上的截距为-523.已知直线l过点(1，-2)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为()A.x+y+1=0 B.x+y+1=0或2x+y=0 C.x-y-3=0 D.x-y-3=0或2x+y=0答案D解析方法一当直线过原点时，斜率为k=−21=-2，则直线方程为2x+y=0当直线不过原点时，设直线方程为xa+y−a=1，代入点(1，-2)，得1a+−2−故直线方程为x-y-3=0.综上所述，直线方程为x-y-3=0或2x+y=0.方法二因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线的斜率为1.当直线过原点时，直线的斜率为k=-2，则直线方程为2x+y=0；当直线的斜率为1时，因为直线过点(1，-2)，则直线方程为y-(-2)=x-1，即x-y-3=0.综上所述，直线方程为x-y-3=0或2x+y=0.4.已知直线l1：y=x-1绕点(0，-1)逆时针旋转5π12得到直线l2，则l2A.y=3x-1 B.y=-3x-1C.y=32x-1 D.y=-32答案B解析直线l1：y=x-1，其斜率k1=1，设其倾斜角为α1，则tanα1=1，又因为倾斜角α1∈[0，π)，所以α1=π4.直线l1绕点(0，-1)逆时针旋转5π12，则直线l2的倾斜角α2=π4+5π直线l2的斜率k2=tanα2=tan2π3=-3又因为直线l2过点(0，-1)，所以直线l2的斜截式方程为y=-3x-1.5.已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α<π2<βA.0<k1<k2 B.k1<k2<0C.k1<0<k2 D.k2<0<k1答案D解析依题意得k1=tanα，k2=tanβ，α∈0，π2，β∈而y=tanx在0，π2上单调递增，且在0，π2上，y=tanx在π2，π上，y=tanx所以tanβ<0<tanα，即k2<0<k1.6.已知直线l的方程为kx-y+2k-2=0(k∈R)，若直线l不经过第二象限，则k的取值范围为()A.(-∞，1] B.[0，+∞)C.[0，1] D.[1，+∞)答案C解析方法一方程化为斜截式为y=kx+2k-2，斜率存在，且直线l与y轴的交点为(0，2k-2)，当k=0时，直线l的方程为y=-2，满足题意；当k≠0时，直线l不经过第二象限，点(0，2k-2)需在y轴的非正半轴上，且斜率k>0，即k>0，2k−2≤综上可得，0≤k≤1，故k的取值范围为[0，1].方法二方程化为点斜式为y+2=k(x+2)，所以不论k为何值，直线l都过定点P(-2，-2)，作直线l1经过定点P且平行于x轴，直线l2经过定点P和坐标原点O，如图所示，因为直线l不经过第二象限，所以l1和l2是符合条件的临界位置，即0=kl1≤k≤k所以k的取值范围为[0，1].7.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1，2，3，…，9)均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1，2，3，…，9)均为18m.最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|=84m，|OA1|=78m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为()A.±13 B.±12 C.±4239 答案B解析由题意知{|OPi|}，{|OAi|}(i=1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列，所以|OP10|=|OP1|+9×4=84+9×4=120，|OA10|=|OB10|=|OA1|+9×18=78+9×18=240，则P10(0，120)，A10(240，0)，B10(-240，0)，所以kB10P10=kA10P10=即最长拉索所在直线的斜率为±128.已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为()A.-33 B.-354 C.-4答案C解析由题意可设直线l：y-8=k(x-6)(k<0)，即y=kx+8-6k(k<0).不妨假设A在x轴上，则A6−8k，0，B(0，8-6k)，易知A记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6-8k，8-6k所以△ABC的面积S=126−8k−4(8-6k)=1264−64k当且仅当-64k=-12k(k<0)，即k=-43二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.下列命题中错误的是()A.若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数B.倾斜角越大，斜率就越大C.直线的一般式方程为Ax+By+C=0D.任何一条直线至少要经过两个象限答案BCD解析若直线的倾斜角α∈π2，π，则其斜率k=tanα<0，当倾斜角为锐角时，斜率为正，当倾斜角为钝角时，斜率为负，B错误；直线的一般式方程为Ax+By+C=0，A2+B2≠0，C错误；当直线与x轴或y轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误.10.下列说法中，正确的有()A.直线y=kx-2在y轴上的截距是2B.直线x-3y-3=0的倾斜角为30°C.若直线l的方向向量是(2，3)，则直线l的斜率是3D.若点P(x0，y0)在直线l：Ax+By+C=0上，则直线l的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0答案BCD解析A选项，取x=0，则y=-2，即直线y=kx-2在y轴上的截距是-2，A选项错误；B选项，直线x-3y-3=0可化为y=33x-3，直线的斜率是3设其倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tanα=33，α=30°，BC选项，根据方向向量的定义可知直线l的斜率是32，CD选项，若点P(x0，y0)在直线l：Ax+By+C=0上，则Ax0+By0+C=0，即C=-Ax0-By0，直线Ax+By+C=0可化为Ax+By-Ax0-By0=A(x-x0)+B(y-y0)=0，D选项正确.11.已知直线l：-kx+y-1+3k=0(k∈R)过定点Q，则下列说法正确的是()A.直线l过定点Q(3，1)B.若直线l不经过第四象限，则k的取值范围为[0，+∞)C.若直线l在x轴上的截距为-3，则k=1D.若直线l分别交x，y轴的正半轴于点A，B，则当AQ·QB取得最小值时，直线l的方程为x+y-4=0答案ACD解析对于A，直线l：-kx+y-1+3k=0，即k(-x+3)+(y-1)=0，令−x+3=0，y−1=0，解得x=3，y=1，故直线l：-kx+y-1+3k=0过定点Q对于B，直线l：-kx+y-1+3k=0，即y=kx+1-3k，∵直线l不经过第四象限，∴k≥0，1−3k≥0，解得0≤k≤13对于C，易知当k≠0时，直线l在x轴上的截距存在，依题意，令y=0，得直线l在x轴上的截距为3k−1k=-3，解得k=1对于D，设A(a，0)，B(0，b)，a>3，b>1，∵A，Q，B三点共线，∴13−a=1−b3，整理得3AQ·QB=(3-a，1)·(-3，b-1)=3a+b-10=(3a+b)3a+1b-10=3ba+当且仅当3ba=3ab，即a∴当AQ·QB取得最小值时，直线l的方程为x4+y4=1，即x+y-4=0，故D三、填空题(每小题5分，共15分)12.若直线l的倾斜角为π3且在x轴上的截距为-1，则直线l的一般式方程是答案3x-y+3=0解析由直线l的倾斜角为π3，可得直线l的斜率为tanπ3=又由直线l在x轴上的截距为-1，所以直线方程为y=3(x+1)，即直线l的一般式方程是3x-y+3=0.13.经过点P(0，-1)作直线l，若直线l与连接点A(1，-2)，B(2，1)的线段没有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是.答案π解析如图所示，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l可从直线PB逆时针旋转到直线PA的位置，包含直线l的倾斜角为π2的情况，但不包含直线PA，PB因为kPA=−1+20−1=-1，kPB=−1−10−2所以斜率k<kPA=-1或k>kPB=1，若α为直线l的倾斜角，从而tanα<-1或tanα>1或α=π2又α∈[0，π)，结合正切曲线可得倾斜角α的取值范围是π414.设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为；(2)若a>-1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，则当△OMN的面积取最小值时，直线l的方程为.答案(1)x-y=0或x+y-2=0(2)x+y-2=0解析(1)①当直线