广西壮族自治区南宁市部分高中2025~2026学年高二下册期末联考数学试卷【附解析】

数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.的虚部为（）A. B. C. D.3.设向量，则（）.A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（）A. B. C. D.5.已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.6.某学校组织了名师帮扶活动，将参加帮扶活动的甲､乙､丙3位名师与6个不同的班级分成三组，每组1位名师与2个班级，不同的分法共有（）A.360种 B.180种 C.90种 D.60种7.设则有（）A. B.C. D.8.已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，则（）A.2024 B.2025 C.2026 D.2027二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.记为等比数列的前项和，为的公比，，若，下列说法正确的是（）A. B.C.数列是递增数列 D.10.已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最大值为C.直线与圆相切时，D.圆心到直线的距离最大为11.已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于的直线与交于、两点（在第一象限），为原点，直线、分别交于、两点，则（）A.面积的最小值为B.若，则直线的斜率为C.若过点的抛物线的切线与交于点，则D.若的面积为，则三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等差数列的前项和为，，，则____．13.已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是_________.14.已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点都在球的球面上，则球的表面积为_________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.记的内角的对边分别是，已知，为锐角.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.16.如图，在三棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.根据统计数据，某会员店的本地会员占，外地会员占.现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为.每个会员对该店商品质量满意与否相互独立.（1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；（2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望.18.已知椭圆的一个顶点为，焦距为.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）已知点，与椭圆上的点的距离的最小值为1，求点的坐标.（3）设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由.19.已知函数.（1）求当时，在点处的切线方程；（2）证明：；（其中为自然常数）（3）若函数有两个零点，求的取值范围.

数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：，，故.2.的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，所以.所以.故Z的虚部为.3.设向量，则（）.A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件答案：C解析：思路：根据给定条件，分别求出与成立的的取值，再利用充分条件、必要条件的定义逐项判断.解答过程：对于AC，由，得，解得或，因此“”是“”的充分条件，“”是“”的充分条件，A错误，C正确；对于BD，由，得，解得，因此“”是“”的充分条件，“”是“”的非充分非必要条件，BD错误.4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的一条渐近线方程为，则，所以双曲线的离心率为.5.已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设母线长为，底面半径，高，则，侧面积为，底面积，故该圆锥的表面积为．6.某学校组织了名师帮扶活动，将参加帮扶活动的甲､乙､丙3位名师与6个不同的班级分成三组，每组1位名师与2个班级，不同的分法共有（）A.360种 B.180种 C.90种 D.60种答案：C解析：思路：利用分步乘法计数原理，依次为每位不同的名师分配2个不同班级，将各步选法数相乘得到总分法数.解答过程：为第一位名师选择2个班级，共有种选法；从剩余4个班级中为第二位名师选择2个班级，共有种选法；剩余2个班级分配给第三位名师，共有种选法。因此总方法数为种.7.设则有（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用三角恒等变换得到，由正弦函数单调性比较出大小解答过程：，，，由于在上单调递增，故，故.8.已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，则（）A.2024 B.2025 C.2026 D.2027答案：B解析：思路：先根据已知条件推出函数的周期，再结合为偶函数，求出一个周期内的函数值，最后根据周期计算的值.解答过程：由题意，已知，用代替，代入可得①，再用代替，代入①可得②，用②①，可得，即，所以函数的周期为4，又，，则当时，可得，解得，当时，可得，又函数的周期为4，所以，又为偶函数，则，所以当时，，所以，所以函数一个周期内的和为，所以，又，，所以.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.记为等比数列的前项和，为的公比，，若，下列说法正确的是（）A. B.C.数列是递增数列 D.答案：ACD解析：解答过程：由等比数列的性质，已知，故，故A正确；，解得，故B错误；，增大时，递减，故递增，故单调递增，故C正确；，，故D正确．10.已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最大值为C.直线与圆相切时，D.圆心到直线的距离最大为答案：BC解析：思路：先将圆方程化为标准式确定圆心和半径，再结合几何意义、直线与圆的位置关系、点到直线距离公式逐一分析选项．解答过程：由圆：，得圆心，半径，对于A，表示点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离为，所以到原点的最大距离为，的最大值为，A错误；对于B，是直线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值，由圆心到直线距离等于半径得，解得，所以最大值为，B正确；对于C，直线的方程为，相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，C正确；对于D，直线过定点，，但距离取时直线为，斜率不存在，不符合题干“存在斜率”的要求，故距离的最大值小于，D错误．11.已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于的直线与交于、两点（在第一象限），为原点，直线、分别交于、两点，则（）A.面积的最小值为B.若，则直线的斜率为C.若过点的抛物线的切线与交于点，则D.若的面积为，则答案：BCD解析：思路：根据题意先求，进而得抛物线方程，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理、三角形的面积公式以及基本不等式可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用直线的斜率公式可判断B选项；求出切线方程，进而可求出点的坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用三角形的面积公式、韦达定理、平面内两点间的距离公式可判断D选项.解答过程：由题意得，所以抛物线，所以，根据题意，不妨设直线的方程为，设点、，对于A选项，联立可得，，由韦达定理可得，，则，且，，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，，此时点、，则点、关于轴对称，即轴，与直线的斜率大于矛盾，故等号不成立，即，故A错误；对于B选项，由抛物线的定义可得，可得，由且，可得，即点，此时直线的斜率为，故B正确；对于C选项，由，所以，又点位于第一象限，所以，，所以，所以，所以过点的切线方程为：，即，令，，所以，所以，所以，所以，故C正确；对于D选项，由A选项可知，又到直线的距离为，所以，解得，所以直线的直线方程为，令得，所以，同理得，所以，故D正确.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等差数列的前项和为，，，则____．答案：解析：思路：由相邻两项差直接得公差，结合算出首项，代入等差数列前项和公式求出．解答过程：设等差数列的公差为，，，所以．13.已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是_________.答案：解析：思路：由函数在区间上单调递增，结合零点存在定理即可求解.解答过程：因为和在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，要使在区间上有零点，则，解得：,则实数的取值范围是14.已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点都在球的球面上，则球的表面积为_________.答案：解析：解答过程：底面边长，，正三角形外接圆半径公式，棱锥体积公式，已知，则，设底面的外心为，则，外接球球心在直线上，设，外接球半径为，不妨设球心在、之间，同时，则，所以球心落在底面远离的一侧，此时，所以，所以，.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.记的内角的对边分别是，已知，为锐角.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意结合三角恒等变换可得，即可得锐角；（2）根据面积可得，利用余弦定理可得，即可得和三角形周长.（1）因为，可得，又因为，则，可得，即，且为锐角，故.（2）因为的面积为，即，可得，由余弦定理可得，即，可得，则，即（负值舍去），所以的周长为.16.如图，在三棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）在中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，所以，所以，因为平面，平面，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解析：思路：（1）利用余弦定理结合勾股定理证得，由平面得出，再利用线面垂直的判定定理和性质可证得结论成立；（2）连接，推导出平面，于是得出与平面所成角为，求出的长，即可求得结果.（1）略（2）因为平面，平面，所以，因为，，由勾股定理可得，连接，如下图所示：因为，为的中点，所以，由（1）可知，因为，、平面，所以平面，所以与平面所成角为，因为平面，平面，所以，由勾股定理可得，故，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.17.根据统计数据，某会员店的本地会员占，外地会员占.现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为.每个会员对该店商品质量满意与否相互独立.（1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；（2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望.答案：（1）（2）的分布列为：0123数学期望解析：思路：（1）运用全概率公式，将“抽取1名会员满意”拆分为本地会员满意、外地会员满意两个互斥事件，分别计算概率后求和；（2）先判断服从二项分布，再依据二项分布的概率公式计算分布列，利用二项分布期望公式求期望.（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员为本地会员”，事件表示“抽取的会员为外地会员”，由题意得，，，则.（2）从所有会员中随机抽取3名，每名会员满意的概率均为，且各会员满意与否相互独立，因此随机变量，的可能取值为，由二项分布概率公式，可得：，

，

，

，所以的分布列为根据二项分布的期望公式，代入得：.18.已知椭圆的一个顶点为，焦距为.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）已知点，与椭圆上的点的距离的最小值为1，求点的坐标.（3）设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由.答案：（1）,（2）（3）光线经过轴反射后经过点解析：思路：（1）据椭圆的顶点和焦距，利用椭圆的基本性质求出的值，进而得到椭圆方程和离心率.（2）设椭圆上任意一点，根据两点间距离公式表示出，再结合椭圆方程消去，根据二次函数的性质求出最小值，进而得到的值.（3）设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再根据光线反射的性质判断光线经过轴反射后是否经过点.（1）已知椭圆的一个顶点为，则，又因为焦距为.，所以，即，根据椭圆的性质，可得，即，所以椭圆的方程为，椭圆的离心率为.（2）设椭圆上任意一点，已知，根据两点间距离公式，因为点在椭圆上，所以，则，，令，