广西壮族自治区南宁市第四中学五象凤凰校区高中部2025~2026学年高二上册开学考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间为120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.若．则=（）A. B. C. D.2.为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A.3 B.4 C.5 D.63.2020-2024年我国居民人均可支配收入（单位：元）分别为32189，35128，36883，39218，41314，则这组数据的75%分位数是（）A.36883 B.38050.5 C.39218 D.413144.设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（）A. B. C. D.且5.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（）A.1 B. C.2 D.6.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为，则的周长为（）A.6 B.8 C. D.7.如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（）（其中的值取3）A.11280cm3 B.12380cm3 C.12680cm3 D.12280cm38.在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）A.若实数m，n使，则B.平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C.对于m，，不一定在该平面内D.对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使10.已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（）A. B.C.若，则 D.若，则是直角三角形11.如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（）A.A，C，，四点共面 B.D，E，G，F四点共面C.A，E，F，四点共面 D.G，E，，四点共面三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量向量则在上的投影向量坐标是_______.13.如图，在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于____________．14.设，是不重合的两个平面，，是不重合的两条直线，给出下列命题：①若，，，则与是异面直线；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则；其中所有正确命题的序号是___________.四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数；（3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数．16.如图，已知中，，点D是边BC上一点，且．（1）求AD的长；（2）求的面积．17.如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面ABCD，，，，M，E分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）若，求点M到平面ADE的距离．18.某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．（1）求产品需要进行第2个过程的概率；（2）求产品不可以出厂的概率．19.在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）．（1）证明：平面平面AMN；（2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值；（3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间为120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.若．则=（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先计算，再用复数模公式即可算出的值.解答过程：因为，所以,所以.故选：D．2.为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：A解析：思路：求出高三年级学生所占比例，由此可求得答案.解答过程：由题意知高三年级学生所占比例为，故应在高三年级招募的志愿者数目为.故选：A3.2020-2024年我国居民人均可支配收入（单位：元）分别为32189，35128，36883，39218，41314，则这组数据的75%分位数是（）A.36883 B.38050.5 C.39218 D.41314答案：C解析：思路：利用百分位数即可解题.解答过程：因为，所以这组数据的75%分位数是39218，故选：4.设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（）A. B. C. D.且答案：C解析：解答过程：若使成立，则选项中只有C能保证，故选C[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.5.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（）A.1 B. C.2 D.答案：A解析：思路：由向量共线定理的推论知，当三点共线时，有，将分别代入，得方程组，即可解得的值.解答过程：由三点共线，得，故解得．故选：A.方法提示：本题考查了平面向量共线定理的推论，向量的运算，平面向量基本定理，属于中档题.6.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为，则的周长为（）A.6 B.8 C. D.答案：C解析：思路：根据三角形面积可得，结合余弦定理求得，继而求得，可得答案.解答过程：因为△ABC的面积为，，故，即，由于，故，故，所以，所以的周长为，故选：C7.如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（）（其中的值取3）A.11280cm3 B.12380cm3 C.12680cm3 D.12280cm3答案：D解析：思路：根据圆柱和圆台的体积公式即可求解.解答过程：由题意得圆柱的高约为（cm），则何尊的体积（cm3）故选：D．8.在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面所在的圆的半径，结合勾股定理求得外接球的半径，即可求出其表面积．解答过程：如图所示，设点G为的外心，则平面，由，∴，则三棱锥的外接球的球心O在直线上．设其外接球的半径为R，由正弦定理得，在中，，由勾股定理得，即，解得．正三棱锥外接球的表面积是，故选：C．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）A.若实数m，n使，则B.平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C.对于m，，不一定在该平面内D.对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使答案：AB解析：思路：根据基底的定义逐项判断即可.解答过程：解：根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.10.已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（）A. B.C.若，则 D.若，则是直角三角形答案：BC解析：思路：利用三角形内角和定理，诱导公式即可计算可判断AB；利用正弦定理角化边计臬可判断C；取，，，可判断D．解答过程：对于A，因为，所以，A错误；对于B，因为，所以，B正确；对于C，设的外接圆半径为，，可得，即，所以，C正确；对于D，如在中，，，，符合，但该三角形不是直角三角形，D错误；故选：BC.11.如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（）A.A，C，，四点共面 B.D，E，G，F四点共面C.A，E，F，四点共面 D.G，E，，四点共面答案：ACD解析：思路：根据平面的性质的公理及推论逐个进行判断.解答过程：对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面内，故A正确；对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；对于C：因为分别为的中点，所以∥因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确；对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥，因为分别为的中点，所以∥，因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确．故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量向量则在上的投影向量坐标是_______.答案：解析：思路：根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.解答过程：由，得，∴向量在向量上的投影向量为.故答案为：.13.如图，在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于____________．答案：解析：思路：取中点，作的平行线即可找到异面直线是所成角，在三角形中用余弦定理即可解决.解答过程：取的中点，连接，如图所示，在正方体中，，因为为的中点，所以，所以，则即为异面直线是所成角，设正方体的棱长为2，则，，在中，，在中，，在中，.所以异面直线与所成角的余弦值.故答案为：14.设，是不重合的两个平面，，是不重合的两条直线，给出下列命题：①若，，，则与是异面直线；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则；其中所有正确命题的序号是___________.答案：②③④解析：思路：根据线线，线面，面面的位置关系，分别判断选项.解答过程：①若，，，则与没有交点，是异面直线或是平行直线，故错误；②若，，，则，正确；③根据面面垂直的判断定理，可知若，，，则，正确；④若，，，则，正确.故答案为：②③④四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数；（3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数．答案：（1）（2）（3）15.3125解析：思路：（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值.（2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数.（3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数.（1）由频率分布直方图可知，解得．（2）由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为，则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为．（3）因为，所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内．设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则，解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125．16.如图，已知中，，点D是边BC上一点，且．（1）求AD的长；（2）求的面积．答案：（1）6（2）解析：思路：（1）在中，利用正弦定理求AD的长；（2）在中，利用余弦定理可得，进而可得面积.（1）在中，可知，，可得，由正弦定理可得.（2）在中，可知，由余弦定理可得，即，可得，解得或，所以的面积为.17.如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面ABCD，，，，M，E分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）若，求点M到平面ADE的距离．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE，即可得到，，从而得到四边形为平行四边形，则，又，所以，即可得证．（2）由面面垂直的性质得到平面，则，再由得到平面，从而得到平面，最后根据利用等体积法求出点到平面的距离；（1）证明：如图，分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE，则，，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又．所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解：因为四边形为矩形，所以，因为平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，，所以，，平面，所以平面，因为，所以平面．因为，，所以平面MHPE，所以，故设点M到平面ADE的距离为d，则，解得．所以点M到平面ADE的距离为．18.某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．（1）求产品需要进行第2个过程的概率；（2）求产品不可以出厂的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的