2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题15 排列组合、二项式定理、计数原理（学生版）

专题15排列组合、二项式定理、计数原理

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础题核心考查分类加法、分步乘法计

2017-2026年连续考查，题型覆盖单选数原理的直接应用、分步方案数求解，

考点01计数原理题、填空题、解答题；2024-2026年均难度较低，为必拿分考点；核心变化为

（分类加法、分步有基础填空/单选题，2023年考查解2023年起结合新定义概念、几何图形场

乘法）答题基础问，2017-2022年年均有高频景、概率统计综合考查，2026年创新结

考查合空间几何体中点的路径问题考查，对

分类讨论与逻辑建模能力要求提升

基础题考查排列数、组合数公式应用、

简单排队/分组问题求解，难度较低；

2018-2026年连续考查，题型以填空

核心变化为2025年起大量结合概率统

题、解答题为主；2026年考查填空压

考点02排列组合计、数列通项、不等式求解综合考查，

轴题，2025年考查3问概率综合解答

2026年首次以本考点为核心命制新定

题，2018-2024年均有高频基础题

义填空压轴题，从基础计算转向多知识

点融合的综合推理，难度显著提升

基础题考查二项式展开式通项公式、指

定项系数、二项式系数性质，难度较低；

2017-2026年高频考查，题型覆盖单选核心变化极为显著：2026年新增新定义

题、填空题、解答题；2026年首次考“二项式系数列”，融合不等式恒成立、

考点03二项式定

查3问新定义解答题，2025、2023、系数最值、充要条件证明综合考查，近

理

2020、2019、2018年均有填空题，2026年大量结合函数单调性、数列求和、概

年同时考查填空与解答压轴题率分布综合考查，从基础公式应用转向

多知识点融合的逻辑推理，综合性与难

度大幅提升

考点01排列组合

1．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.

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2．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为

偶数，求集合中元素个数的最大值为__________．

3．（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的

概率为_____________．

4．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项

项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；

5．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所

示，问有几种运动方式组合________

A运动B运动C运动D运动E运动

7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点

30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟

6．（2018·上海·高考真题）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，

从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）

m

7．（2017·上海·高考真题）若排列数P6654，则m________

8．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），

以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；

(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；

(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、

乙两组的平均身高都增大？

9．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．

(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，

单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．

考点02二项式定理

1．（2026·上海·高考真题）已知(x2x)5，则展开式中x7的系数为__________．

61

．（上海高考真题）12的二项展开式中，的系数为

22026··3x3____________.

xx

3．（2025·上海·高考真题）在二项式(2x1)5的展开式中，x3的系数为_________．

6

m

4．（2025·上海·高考真题）已知x的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．

x

n

5．（2024·上海·高考真题）在x1的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为_________．

6

6．（2024·上海·高考真题）x1展开式中x4的系数为______.

100100299100

7．（2023·上海·高考真题）已知12023x2023xa0a1xa2xa99xa100x，若存在k{0，

1，2，…，100}使得ak0，则k的最大值为______.

4234

8．（2023·上海·高考真题）设(12x)a0a1xa2xa3xa4x，则a0a4________________．

n

9．（2022·上海·高考真题）二项式3x的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n___________；

121

．（上海高考真题）在31的展开式中，含项的系数为

102022··x4________

xx

n

11．（2021·上海·高考真题）x1的二项展开式中有且仅有x3的系数为最大值，则x3的系数为______.

6

1

12．（2019·上海·高考真题）在x的二项展开式中，常数项的值为__________

x

13．（2018·上海·高考真题）在(1x)7的二项展开式中，x2项的系数为________（结果用数值表示）

考点03计数原理

1．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是

家长，则不同的排列个数有_________种．

2．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足ABACBC1，在空间内取不同两点（不

计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．

3．（2019·上海·高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者

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活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）

4．（2020·上海·高考真题）从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1

个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况.

一、填空题

3

3

1．（2026·上海·三模）若x的展开式中的常数项是________．

x2

2．（2026·上海·三模）在(x2xy)5的展开式中，x5y2项的系数为________．

3．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，5557被8除所得的余数为________．

28

4．（2026·上海·三模）已知n为正整数且CnCn，则n的值为___________

x5,x1

5．（2026·上海虹口·三模）设函数fx，当x1时，ffx表达式的二项展开式中x3的

x2,x1

系数是______．

6．（2026·上海·三模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）

班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级

的概率为________．

7．（2026·上海黄浦·三模）某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默

认每年天数均为365天，结果精确到0.001）

8．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每

个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________．

9．（2026·上海·三模）二项式(x1)7的展开式中，x4系数为______．

10．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量X，Y相互独立，且X服从N3,3，Y服从B6,0.5，若ZXY，

11

则PZi______

i1

11．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________．

56n2

12．（2026·上海·三模）若CnCn，则(2x1)的展开式中含x项的系数为__________.

13．（2026·上海长宁·二模）将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______

（用分数表示）.

14．（2026·上海黄浦·二模）某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成

代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______．

n

1

15．（2026·上海徐汇·二模）若x的二项展开式中，第5项为常数项，则n__________.

x

4432

16．（2026·上海黄浦·三模）已知2x1a4xa3xa2xa1xa0，则a4a3a2a1________.

6

1

17．（2026·上海普陀·二模）设tR，若tx的展开式中的常数项是540，则该展开式中所有项的系

x

数和为______.（结果用数值表达）

6

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