2026秋高中数学课后练（人教A版必修一） 空间向量及其运算的坐标表示分层作业

空间向量及其运算的坐标表示分层作业

基础巩固

（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）

1．点M2,1,2关于平面Oxy对称的点的坐标为（）

A．2,1,2B．2,1,2

C．2,1,2D．2,1,2

（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）

2．已知向量a1,2,0,b1,3,1，则ab（）

A．5B．5C．4D．4

（26-27高三·全国·一轮复习）

3．已知向量a(1,0,1),b(2,2,1),c(3,4,z)，若a,b,c共面，则z等于（）

A．-9B．9C．-5D．5

（26-27高三·全国·一轮复习）

1

4．已知a2,3,4，b4,3,2，若bx2a，则x()

2

A．0,3,6B．0,6,20

C．0,6,6D．6,6,6

（25-26高二下·福建漳州·期末）

5．已知点M在z轴上，且点M到点A1,0,2与到点B1,3,1的距离相等，则点M的坐标为（）

A．0,0,3B．0,0,3

C．0,0,2D．0,0,2

（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）

6．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A4,1,3，B2,5,1，C3,7,5，则顶点D的坐标

为（）

A．1,13,3B．5,1,7C．5,1,7D．1,13,3

（25-26高二下·河南信阳·期末）

7．已知向量ax,2,1，b1,1,1，且ab，则x（）

试卷第1页（共6页）

A．2B．1C．0D．1

（25-26高二下·河南平顶山·期末）

8．已知空间直角坐标系中的ABC满足AB0,2,1，BC1,2,0，则AC（）

A．6B．3C．32D．5

（25-26高一下·广东深圳·期末）

9．已知空间向量a1,2,1,b3,2,1,c4,4,1，则（）

A．a6B．向量a,b,c不是共面向量

C．abD．ab·c10

（25-26高二下·福建龙岩·期中）

10．下面四个结论中，正确的是（）

A．点A1,1,2关于xOz平面对称的点的坐标是1,1,2

B．若ab0，则向量a,b的夹角是钝角

C．已知a0,1,1,b0,0,1，则a在b上的投影向量的模为1

D．设a,b,c是空间的一个基底，则ab,abc,c也是空间的一个基底

（25-26高二上·广西桂林·期末）

11．已知空间中的两点A3,1,1，B5,4,3，则（）

3

A．AB33B．线段AB的中点坐标为4,,2

2

5

C．点A到x轴的距离为2D．直线AB的一个方向向量为1,,1

2

（25-26高二上·四川广安·阶段检测）

12．已知点A(1,0,2)，B(1,3,1)，M在y轴上，且MAMB，则点M的坐标为____________．

（25-26高二下·江苏苏州·期末）

13．在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量PA=(1,2,0)，PB=(0,2,3)，PC=(k,1,3)，若点C在平面PAB

内，则实数k的值为______．

（25-26高二上·安徽阜阳·期末）

14．已知向量a2,4,1,b4,m,n,c2,1,k,a//b,bc.

(1)求向量b,c的坐标；

试卷第2页（共6页）

(2)求ac与b3a夹角的正弦值.

（25-26高二上·福建厦门·期中）

15．已知a(2,2,2)，ab(6,3,2)．

(1)求向量b的坐标及b；

(2)若(kab)(a2b)，求k的值．

能力提升

（25-26高二下·江苏宿迁·期末）

16．已知空间向量a2,1,2，b1,2,1，则向量b在向量a上的投影向量是（）

424424

A．,,B．2,1,2C．,,D．1,2,1

999333

（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）

17．已知向量a1,1,3，b1,4,2，c1,5,x，若a，b，c共面，则（）

A．存在无数个实数x符合题意B．存在唯一的正整数x符合题意

C．不存在正整数x符合题意D．不存在任何实数x符合题意

（25-26高一下·福建三明·期末）

18．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确

的有（）

A．直线AM与直线CC1是相交直线B．直线A1M与直线BN共面

C．直线AM与直线BN平行D．直线BN与直线MB1垂直

（25-26高一下·浙江宁波·期末）

19．在空间直角坐标系Oxyz中，A2,0,0，B0,2,2，点P满足PAPB1，则点P到x轴距离的最大

值为（）

A．23B．4C．32D．22

试卷第3页（共6页）

（25-26高一下·湖南岳阳·期中）

1

．如图，在正方体中，点满足，则向量与夹角的余弦值为（）

20ABCDA1B1C1D1PDPDD1APD1B

3

2302303030

A．B．C．D．

15151520

（25-26高二上·广东中山·阶段检测）

2

21．已知AB2,3,23，AC在AB的投影向量为AB，且BC5，则cosAB,AC（）

5

52543

A．B．C．D．

5555

（25-26高一下·宁夏银川·期末）

22．下列命题为真命题的是（）

A．已知a(1,1,1),b(2,2,0),c(2,1,3)，则(ab)(ac)6

314

B．已知空间三点A1,1,1，B2,2,2，C3,2,4，则向量AB与AC的夹角余弦值为

14

C．“存在实数x,y，使cxayb”是“c与a,b共面”的充分不必要条件

111

D．已知OA,OB,OC是空间的一个基底，且ODOAOBOC，则点D在平面ABC内，且D为ABC

333

的重心

（25-26高二下·福建福州·期中）

23．已知空间中三点A0,1,1,B2,2,1,C2,1,0，则（）

A．AC5

13

B．CB方向上的单位向量是0,,

22

C．n1,2,2是平面ABC的一个法向量

5

D．BC在AC上的投影向量的模为

5

（25-26高二下·福建龙岩·期末）

24．已知A0,1,1，B1,2,2，C1,a,2三点，若BAC是锐角，则实数a的取值范围为__________．

试卷第4页（共6页）

（2026·上海浦东新·三模）

25．已知圆锥PO的半径为3，点A为底面圆周上任意一点，点B为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，

则OAOB的取值范围为___________．

（25-26高二下·江苏苏州·期中）

26．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，

且3B1PPD1.

(1)求PE的长度；

(2)若PQAE，BDDQ，求的值.

（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）

27．（1）已知空间直角坐标系中，A1,1,2,B3,0,4，若c3,c//AB，求向量c；

π

（2）在平行六面体ABCDABCD中，四边形ABCD是边长为1的正方形，AA2，AABAAD，

11111113

求A1C的长．

探索创新

（2026·江西南昌·三模）

28．注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学

中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量q（表示我在寻找什么？）､键向量k（表示我有什么

可提供？）和值向量v（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用q与各个kii1,2,,n

s

i

in

计算相似度siqki，然后求权重，记a1,2,3,,n，则注意力输出向量为

si

i1

av1,av2,av3,,avn.现有

q1,2,3,k10,1,1,v112,6,8;k21,0,1,v212,3,4;k31,1,0,v312,6,4，则注意力输出向量为

（）

A．(8,7,6)B．(10,7,6)C．9,7,8D．8,9,10

试卷第5页（共6页）

（26-27高二上·云南昭通·开学考试）

29．如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA平面ABCD，PA2，AB1，动点M在线段PC上，

则（）

A．四棱锥PABCD的外接球表面积为6π

B．存在点M，使得ACBM

30

C．MBMD的最小值为

4

25

D．点M到直线AB的距离的最小值为

5

试卷第6页（共6页）

《空间向量及其运算的坐标表示分层作业》参考答案：

1．D

【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标

【分析】根据点关于平面Oxy对称的性质判断即可.

【详解】点关于平面Oxy对称时，x坐标不变，y坐标不变，z坐标变为相反数，

所以点M2,1,2关于平面Oxy对称的点的坐标为点2,1,2.

2．A

【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算

【详解】向量a1,2,0,b1,3,1，则ab1,2,01,3,11123015.

3．B

【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算

【分析】利用平面向量基本定理，由于a,b,c共面，所以存在,R，使得abc，然后利用

(1,0,1)(23,24,z)建立方程求解得到z即可.

【详解】向量a(1,0,1),b(2,2,1),c(3,4,z)，

由于a,b,c共面，所以存在,R，使得abc，

即(1,0,1)(2,2,)(3,4,z)(23,24,z)

2

1-237

1

所以024解得

7

1z

z9

4．B

【知识点】空间向量的坐标运算

1

【详解】由bx2a，得x4a2b8,12,168,6,40,6,20．

2

5．B

【知识点】空间中点的位置及坐标特征、空间距离公式的应用

【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可.

【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为0,0,a，

因为点M到点A1,0,2与到点B1,3,1的距离相等，

222222

所以0100a20103a1，

答案第1页（共13页）

两边同时平方，解得a3，所以点M的坐标为0,0,3.

6．D

【知识点】空间向量的坐标运算

【分析】先设点D的坐标为x,y,z，再根据向量相等坐标计算求解.

【详解】平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A4,1,3，B2,5,1，C3,7,5，设顶点D的坐

标为x,y,z，

因为BACD，所以2,6,2x3,y7,z5，所以x1,y13,z3，

所以D的坐标为1,13,3.

7．B

【知识点】利用向量垂直求参数

【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】已知向量ax,2,1，b1,1,1，且ab，

则x121110，解得x1，故B正确.

8．C

【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示

【详解】由向量加法得ACABBC(0,2,1)(1,2,0)(1,4,1)，

所以AC(1)2421232.

9．AC

【知识点】判定空间向量共面、求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表

示

222

【详解】a1216，A正确；

13m4n

m3

设ambnc，即22m4n，解得，

n2

1mn

即a3b2c，所以a,b,c是共面向量，B错误；

a·b3410，所以ab，C正确；

abc4,0,24,4,118，D错误.

10．AC

答案第2页（共13页）

【知识点】向量夹角的计算、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量基底概念及辨析、

求投影向量

【详解】对于A，点A1,1,2关于xOz平面对称的点的坐标是1,1,2，故A正确；

对于B，若ab0，则向量a，b的夹角是钝角或a，b共线且反向，故B错误；

|ab|1

对于C，a在b上的投影向量的模为1，故C正确；

b1

对于D，因为abcabc，即ab,abc,c共面，不能作为空间的一个基底，故D错误.

11．ABC

【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量模长的坐标表示、求平面两点间的距离、根据直线的方向向

量求直线方程

【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公

式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D.

2

【详解】由题意得：AB2,5,2，AB22+52+233，故A正确；

3+514133

线段AB的中点为，,4,,2，故B正确；

2222

22

点A到x轴的距离为112，故C正确；

25

5

由AB2,5,2为直线AB的一个方向向量，因为15，所以1,,1与AB2,5,2不共线，所以

2

2

5

1,,1不是直线AB的一个方向向量，故D错误；

2

故选：ABC.

12．0,1,0

【知识点】空间距离公式的应用

【详解】设M0,t,0，由MAMB知，点M到A、B两点距离相等.

由两点之间距离公式可得：12t22212(t3)212，

解之得t1，所以点M的坐标为(0,1,0).

1

13．##0.5

2

【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算

【分析】根据共面向量定理，点C在平面PAB内，等价于向量PC可由不共线的向量PA,PB线性表示，通

过坐标对应相等，列方程组求解.

答案第3页（共13页）

【详解】因为点C在平面PAB内，所以PA,PB，PC共面，且PA,PB不共线，

根据共面向量定理，存在实数x,yR，使得PC=xPA+yPB，

将各向量坐标代入，得(k,1,3)=x(1,2,0)+y(0,2,3)=(x,2x+2y,3y)，

根据向量相等，对应坐标相等，

ì1

ìïx=-

k=xï2

ïï

得í2x+2y=1，解得íy=1.

ïï

îï3y=3ï1

ïk=-

î2

14．(1)b4,8,2，c2,1,0

130

(2)

26

【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余

弦的坐标表示

【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得b坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k

值，即可得c坐标.

（2）由（1）得ac与b3a坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案.

【详解】（1）因为a//b，且a2,4,1,b4,m,n，

4mn

所以，解得m8,n2，所以b(4,8,2)；

241

因为bc，所以bc(4)2(8)(1)(2)k0，

解得k0，所以c2,1,0.

（2）由（1）得b3a(2,4,1),ac(4,3,1)，

则b3a22421221,ac42321226，

acb3a42341121，

acb3a2121

所以cosac,b3a，

acb3a262126

21130

所以sinac,b3a1.

2626

15．(1)b(4,1,0),b17

(2)k3

【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示

答案第4页（共13页）

【分析】（1）由空间向量的坐标表示中加减法的运算即可求得向量b的坐标，再使用模长计算公式即可求

得b；

（2）同（1）中的加减法运算，先分别计算(kab)和(a2b)的坐标，由(kab)(a2b)可得

(kab)(a2b)0，再使用空间向量的坐标表示中数量积的运算即可求得k的值.

【详解】（1）已知a(2,2,2)，ab(6,3,2)．

设b(a,b,c)，则ab(2a,2b,2c)(6,3,2)，

2a6a4

则有2b3，解得b1，即b(4,1,0)，

2c2c0

则b42(1)20217.

故b(4,1,0)，b17.

（2）由（1）得b(4,1,0)，又a(2,2,2)，ka(2k,2k,2k)，

则kab(2k4,2k1,2k)，a2b(6,0,2)，

由(kab)(a2b)得(kab)(a2b)0，

即(2k4)(6)(2k1)02k20，解得k3，

故k的值为3.

16．C

【知识点】空间向量数量积的应用

【分析】根据投影向量的计算方法求解即可.

2

【详解】由题意得ab2112216，a221223，

aba6424

所以向量b在向量a上的投影向量是a,,.

aa33333

17．B

【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算

【详解】因为向量a1,1,3，b1,4,2，c1,5,x，

若a，b，c共面，则存在唯一实数,，使得cab,4,32，

答案第5页（共13页）

13

则45，解得2，

32xx5

所以存在唯一的正整数x符合题意.

18．B

【知识点】异面直线的概念及辨析、异面直线的判定、证明异面直线垂直、求异面直线所成的角

【分析】利用正方体的几何性质，结合空间直线的位置关系（平行、相交、异面）及向量法逐一判断各选

项的真假.

【详解】对于A，直线CC1在平面CDD1C1内，点M在平面CDD1C1内但不在直线CC1上，点A不在平面

CDD1C1内，

所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；

对于B，连接MN,A1B,D1C，因为M,N分别为棱C1D1,C1C的中点，所以在C1D1C中，MN为中位线，所

以MN//D1C.

又因为在正方体中，A1B//D1C，所以MN//A1B。所以A1,B,N,M四点共面，

即直线A1M与BN共面，故B正确；

对于C，取DD1的中点E，连接AE,EN。因为N为C1C的中点，E为DD1的中点，所以EN//CD//AB，

且ENCDAB，

所以四边形ABNE为平行四边形，所以AE//BN。

若AM//BN，则AM//AE，但AMAEA，且M,E不重合，这与过直线外一点有且只有一条直线与

已知直线平行矛盾，

所以AM与BN不平行，故C错误；

对于D，建立空间直角坐标系Dxyz，

答案第6页（共13页）

设正方体棱长为2，则B2,2,0,N0,2,1,M0,1,2,B12,2,2，

BN2,0,1,MB12,1,0。BNMB140040，

所以直线BN与MB1不垂直，故D错误.

19．D

【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量数量积的应用

【分析】先分析点P的轨迹，再求P到x轴距离的最大值.

【详解】设Px,y,z，则PA2x,y,z，PBx,2y,2z，

由PAPB1可得，x2xy2yz2z1，

222

整理得：x1y1z14.

所以P点轨迹是以1,1,1为球心，以2为半径的球面.

因为点1,1,1到x轴的距离为12122，

所以点P到x轴距离的最大值为22.

20．A

【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示

【详解】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标

系.

设正方体的棱长为3，则A(3,0,0)，P(0,0,1)，D1(0,0,3)，B(3,3,0)，

所以AP(3,0,1)，D1B(3,3,3)，

APD1B12230

故cosAP,D1B，

|AP|D1B102715

所以向量与夹角的余弦值为230

APD1B.

15

答案第7页（共13页）

21．A

【知识点】求空间向量的数量积、求投影向量

ACAB2

ABAB

【详解】由题可得：AB49125，因为AC在AB的投影向量为2，

AB5

ACAB2

222222

所以2，即：ACABAB10，且BCACABACAB2ACAB，

AB55

222

代入BC5，ACABAB，化简得：25AC2520，解得：AC25，

5

ACAB105

所以cosAB，AC.

ACAB2555

22．CD

【知识点】判断命题的充分不必要条件、判定空间向量共面、空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运

算、空间向量夹角余弦的坐标表示

【详解】对于A：ac(3,0,4)，ab1,1,1,

所以abac3041，A错误；

对于B：因为AB1,1,1，AC2,1,3，所以向量

ABAC21342

AB与AC的夹角余弦值为，B错误；

ABAC34197

对于C：“存在实数x,y，使cxayb”可以推出“c与a,b共面”，

“c与a,b共面”不一定能推出“存在实数x,y，使cxayb”，

因为当a,b共线但c与a,b不共线时，c与a,b共面成立，

但不存在实数x,y，使cxayb，C正确；

111

对于D：因为ODOAOBOC，所以3ODOAOBOC，

333

即OAODOBODOCOD0，即DADBDC0，

答案第8页（共13页）

所以DA,DB,DC共面且有公共点D，所以点D在平面ABC内，取BC中点E，

则有ADDBDC2DE，同理取AC中点F，则有BDDADC2DF，

所以D为ABC的重心，D正确.

23．CD

【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示

【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念

求解选项D.

【详解】对于选项A，AC(2,0,1)，AC220(1)25，故A错误；

CB(0,1,1)22

对于选项B，CB(0,1,1),CB方向上的单位向量是0,,，故B错误；

CB01122

对于选项C，n1,2,2，由于AC,CB共面且不共线，

nAC2020,nCB0220,

所以，n1,2,2是平面ABC的一个法向量，故C正确；

对于选项D,BC(0,1,1),AC(2,0,1)

BCAC15

BC在AC上的投影向量的模为,故D正确.

AC22015

24．1,22,

【知识点】数量积的坐标表示、空间向量的坐标运算

【详解】由A0,1,1，B1,2,2，C1,a,2，

则AB1,1,1,AC1,a1,1，

因为BAC是锐角，

所以ABAC0，且AB,AC不共线，

1a110

则，解得a1且a2，

a11

则实数a的取值范围为1,22,.

25．9,9

【知识点】空间向量的坐标运算

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求数量积后可得结论.

答案第9页（共13页）

【详解】以OA为y轴，OP为z轴，底面上与OA垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图，

设圆锥的高为h，

则A(0,3,0)，设Bx,y,z，则3x3,3y3,0zh，

OAOB3y，由3y3得93y9，

所以OAOB的取值范围为(9,9)

22

26．(1)

4

(2)4

【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出A,E,B,B1,D1的坐标，设点P的坐标为a,a,1，根据3B1PPD1求

出P点坐标，即可利用向量的模求出PE的长度；

（2）设Q的坐标为b,b,0，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用BDDQ可求出.

【详解】（）以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，

1DDADCDD1xyz

建立空间直角坐标系，如图，

1

则A1,0,0,E0,0,,B1,1,0,B11,1,1,D10,0,1，

2

由题意，可设点P的坐标为a,a,1，因为3B1P＝PD1，

3

所以3(a1,a1,0)(a,a,0)，所以3a3a，解得a，

4

答案第10页（共13页）

33331

所以点P的坐标为(,,1)，所以PE,,，

44442

222

331112222

所以PE，即PE的长度为.

442844

（2）由题意可设点Q的坐标为b,b,0，

因为PQAE，所以PQAE＝0，

331311

所以(b,b,1)·(1,0,)＝0，即(b)0，解得b，

442424

11

所以点Q的坐标为(,,0)，

44

11

因为BDDQ，所以(1,1,0)＝λ(,,0)，

44

所以1，故4.

4

27．（1）c2,1,2或c2,1,2（2）A1C2

【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐

标表示

【分析】（1）由向量共线的基本定理及向量模长的坐标运算求向量；

（2）由A1CABADAA1，应用向量数量积的定义及运算律求A1C的长.

【详解】（1）由题可得AB2,1,2，

由c//AB得：cAB2,,2且0，

222

则c223，解得1，

即c2,1,2或c2,1,2；

（2）由题意得，ABADABADcosBAD0，

π

ABAAABAAcosBAA12cos1，

1113

π

ADAAADAAcosDAA12cos1，

1113

又A1CACAA1ABADAA1，

2222

所以，

A1CABADAA12ABAD2ABAA12ADAA11140222

所以A1C2．

28．C