2026秋高中数学课后练（人教A版必修一） 集合的基本关系分层作业

1.2集合的基本关系分层作业

基础巩固

（26-27高一上·全国·课堂例题）

1．设集合A{x|1x2}，B{x|1x1}，则（）

A．ABB．BA

C．ABD．

（26-27高一上·全国·课堂例题）�⫋�

2．下列关系式正确的是（）

A．00B．00

C．00D．00

（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）

3．设集合Ax1x2，Bxxa．若AB，则实数a的取值范围为（）

A．aa2B．aa1C．aa1D．aa2

（25-26高二下·河南·期末）

4．已知集合A{a1,0},B{1,a}，若AB，则实数a（）

A．0B．1C．0或1D．2

（25-26高二下·河南商丘·期末）

5．集合AxZ1x4的真子集个数为（）

A．2B．3C．7D．15

（2026·湖南常德·一模）

6．集合Ay∣yx28，xN，yN的真子集的个数为（）

A．9B．8C．7D．6

（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）

7．下列关系式正确的是（）

A．22QB．2Z

C．N*RD．N

（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）

8．下列命题中，是真命题的有（）

试卷第1页（共4页）

q

A．有理数集可以表示为Qxx,p,qN,p0

p

B．若{1,a}{2,b}（其中a,bR），则ab3

C．x∣x210

D．x∣x3k,kNx∣x6z,zN

（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）

9．下列结论错误的是（）

A．任何一个集合至少有两个子集

B．空集是任何集合的真子集

C．若aA且AB，则aB

D．若AB且AC，则BC

（26-27高一上·全国·课堂例题）

10．设A{x|x25xm0},B{x|x30}，且BA，则m________.

（25-26高二·全国·暑假作业）

11．设A2,4，B{x|a1xa}，若B是A的真子集，则实数a的取值范围是_________．

（2026高一·全国·专题练习）

12．已知集合Axx2axb0，若A2,3，则a__，b__.

（26-27高一上·全国·课堂例题）

13．已知集合A＝x|1x2，B＝{x|1xa,a1}．

(1)若,求a的取值范围；

(2)若�B⫋�A,求a的取值范围．

能力提升

（25-26高二下·安徽合肥·期末）

14．已知集合Ax∣ax2,aR，B1,1，若AB，则所有a的取值构成的集合为（）

A．2B．2,2C．0,2D．{-2,0,2}

（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）

15．满足条件a,bMÜa,b,c,d,e的集合M的个数为（）

A．10个B．9个C．8个D．7个

试卷第2页（共4页）

（2026·江苏徐州·模拟预测）

2

16．已知集合A1,0，Bxxaxb0，若AB，则ab（）

A．2B．1C．0D．1

（2026高一·全国·专题练习）

17．下列关系中正确的是（）

A．0B．0C．0D．0

（25-26高一上·江苏徐州·期末）

18．下面关于集合的表示正确的是（）

A．2,33,2B．x,yxy1xxy1.

C．xx1yy1D．0.

（25-26高一上·全国·课后作业）

19．下列选项中正确的是（）

A．{质数}{奇数}

B．集合1,2,3与集合4,5,6没有相同的子集

C．任何集合都有子集，但不一定有真子集

D．若AB,BC，则AC

（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）

20．下列说法正确的是（）

A．0{xR|x2x}

B．所有的素数都是奇数

C．集合A{x|yx21}与集合B{y|yx21}是相同的集合

D．{xR|x210}

（26-27高一上·山西运城·开学考试）

21．下列说法正确的是（）

A．1,2,33,2,1

B．与0是同一个集合

C．集合x∣yx21与集合y∣yx21是同一个集合

试卷第3页（共4页）

2xy6

D．若用列举法表示集合Ax,y，则集合A可以表示为3,0

xy3

（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）

22．已知非空集合Axx2axb0，且A1,2，则ab的值可以是（）

A．4B．3C．－3D．0

（25-26高一上·广东·期末）

23．已知集合Axx2a3x4，Bxx2b．

(1)若a2，求A；

(2)若1A，且AB，求实数b的取值范围．

探索创新

（理科数学-全国名校2020年高三6月大联考（新课标Ⅰ卷））

24．1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义

了无理数，建立起了完整的实数理论.我们借助划分数轴的思想划分有理数，可以把数轴上的点划分为两类，

使得一类的点在另一类点的左边.同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A和B，使得集合

A中的任意元素都小于集合B中的任意元素，称这样的划分为分割，记为A/B.以下对有理数集的分割不会

出现的类型为（）

A．A中有最大值，B中无最小值B．A中无最大值，B中有最小值

C．A中无最大值，B中无最小值D．A中有最大值，B中有最小值

（2026高三下·湖北·竞赛）

y3y

25．已知x,yR且y0，集合Ax2x1,x,x1，By,,．若AB，则x2y2______．

22

试卷第4页（共4页）

《集合的基本关系分层作业》参考答案：

1．B

【知识点】判断两个集合的包含关系

【详解】因为A{x|1x2}，B{x|1x1}，满足1x1的数x必满足1x2，所以B中的任

何元素都属于A，即BA.

2．B

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系

【分析】根据元素与集合的关系逐项判断即可.

【详解】选项A，包含符号，不能用来描述元素和集合的关系，故错误；

选项B，数字0是集合0中的元素，故正确；

选项C，0是一个单独的元素，0是包含数字0作为唯一元素的集合，二者属性完全不同，因此不相等；

选项D，0属于集合{0}，故错误.

3．A

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【详解】根据子集的定义：若AB，则对任意xA，都有xB，集合Ax1x2，Bxxa,

若a2，则存在x(max{a,1},2)，此时xA但xB，不满足AB；

若a2，则对任意x(1,2)，均有x2a，即xB，满足AB

综上，实数a的取值范围为{a∣a2}.

4．A

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】利用集合相等的知识求解.

【详解】因为集合AB，所以aa1或a0.

显然aa1不成立，当a0时，A1,0,B1,0符合题意.

所以a0.

5．B

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【详解】AxZ1x42,3，集合A有2个元素，故集合A的真子集个数为2213.

6．C

答案第1页（共7页）

【知识点】求集合的子集（真子集）

【分析】先求集合A，进而求解.

【详解】由题意得：yx280，解得22x22，又xN，

所以x0,1,2，所以y4,7,8，所以A4,7,8，

所以集合A的真子集的个数为2317.

7．BCD

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用、常用数集或数集关系

应用

【分析】根据常用数集的含义、空集的性质、元素与集合关系判断各项的正误.

【详解】由22是无理数，2是整数，所有正整数都是实数，空集是任意集合的子集，

所以A错，B、C、D对.

故选：BCD

8．BC

【知识点】描述法表示集合、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、空集的性质及应用

【分析】举反例判断A；根据集合相等求解判断B；根据空集是任何集合的子集判断C；根据数集关系判

断D.

66q

【详解】对于A，是有理数，而xx,p,qN,p0，A为假命题；

77p

对于B，由{1,a}{2,b}，得a2,b1，则ab3，B为真命题；

2

对于C，方程x210的解为x1，集合x∣x101,1是非空集合，

则x∣x210，C为真命题；

对于D，x∣x6z23z,zN，则x∣x6z,zNx∣x3k,kN，D为假命题.

故选：BC

9．ABD

【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、空集

的性质及应用

【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断.

【详解】空集只有一个子集，故A错；

空集时任何非空集合的真子集，故B错；

因为AB，所以集合A中所有元素都属于集合B，则aB，故C正确；

答案第2页（共7页）

例如A1，B1,2，C1,3，满足AB且AC，此时BC，故D错.

故选：ABD.

10．6

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【详解】∵B{x|x30}，∴B{3}.

∵BA，∴3A，即3是方程x25xm0的根.

将x3代入方程x25xm0得3253m0，解得m6.

11．{a|3a4}

【知识点】根据集合的包含关系求参数

a12a12

【详解】因为B是A的真子集且B，所以或，

a4a4

解得3a4，即a的取值范围是{a|3a4}．

12．56

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.

【详解】因为A2,3，

所以一元二次方程x2axb0的两个实数根为2,3，

23a

所以有a5,b6.

23b

13．(1)a2

(2)1a2

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【详解】（1）

若，由图可知a2

�⫋�

（2）

若BA,由图可知,1a2.

14．D

【知识点】根据集合的包含关系求参数

答案第3页（共7页）

【详解】ax2至多一个解，当A时，ax2无解，故a0，

当A1时，a2，解得a2，

当A1时，a2，

故所有a的取值构成的集合为{-2,0,2}.

15．D

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集）

【详解】由题意得，集合M中的元素可能为2，3，4个

当集合M中含有两个元素时，M可为{a,b}；

当集合M中含有三个元素时，M可为{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e}；

当集合M中含有四个元素时，M可为{a,b,c,d},{a,b,d,e},{a,b,c,e}；

综上所述满足条件的集合M的个数为7个．

16．B

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得a1,b0，进而可得所求值.

【详解】已知AB，A1,0，所以一元二次方程x2axb0的两个根就是1和0.

2

设一元二次方程xaxb0的两根为x1,x2​，则：x1x2a，x1x2b，

所以10a,10b，即a1,b0，因此ab1

17．C

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断

【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可.

【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，

所以0，0，0，0不是的子集，故ABD错误，C正确.

18．C

【知识点】判断是否为同一集合、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断

【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定

义判断；对于D，根据集合相等的定义判断.

【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知2,33,2，故错误；

对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误；

对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确；

答案第4页（共7页）

对于D，0不是空集，0是一个元素，故错误；

故选C.

19．CD

【知识点】求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断、空集的性质及应

用

【分析】根据质数奇数的定义即可求解A，根据空集即可求解B，根据集合的性质即可求解CD.

【详解】对于A.2是质数，但是它不是奇数，所以{质数}{奇数}错误，所以A错误；

对于B.集合1,2,3与集合4,5,6有相同的子集，所以B错误；

对于C.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以C正确；

对于D.若AB,BC，则AC，所以D正确.

故选：CD.

20．AD

【知识点】判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用

【分析】对选项A，根据子集概念即可判断A正确，对选项B，根据素数概念即可判断B错误，对选项C，

分别化简集合A,B即可判断C错误，对选项D，根据空集和子集概念即可判断D正确.

【详解】对选项A，{xR|x2x}=0,1，所以0{xR|x2x}，故A正确.

对选项B，2是素数，但2不是奇数，故B错误.

对选项C，A{x|yx21}R，B{y|yx21}=y|y1，故C错误.

对选项D，{xR|x210}，所以{xR|x210}，故D正确.

故选：AD

21．AD

【知识点】判断是否为同一集合、描述法表示集合、列举法表示集合、判断两个集合是否相等、空集的概

念以及判断

【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解.

【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合1,2,33,2,1，所以A正确；

对于B，空集是没有任何元素的集合，集合0是含有元素0的单元素集合，

所以与0不是同一个集合，所以B错误；

对于C，集合x∣yx21R，集合y∣yx21y|y1，

答案第5页（共7页）

所以集合x∣yx21与集合y∣yx21不是同一个集合，所以C错误；

2xy6x3

对于D，由方程组，解得，所以集合A可以表示为3,0，所以D正确.

xy3y0

22．BCD

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据题意，分A1或A2或A1,2，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求

解．

【详解】因为非空集合A1,2，则A1或A2或A1,2，

2

当A1时，可得1ab0且Δa24b0，解得a2,b1，则ab3；

当A2时，可得222ab0且Δa24b0，解得a4,b4，则ab0；

2

1ab0

当A1,2时，可得，解得a1,b2，则，

2ab3

22ab0

综上可得，ab的值可以是3或－3或0．

故选：BCD．

23．(1)A2,4

(2),1

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、列举法表示集合、根据集合的包含关系求参数

【分析】（1）解一元二次方程即可求解；

2

（2）由1A可得1a34，解得a1，进而得到A1,4，再根据包含关系求解即可.

【详解】（1）当a2时，得x26x80，解得x2或x4，

所以A2,4．

2

（2）因为1A，所以1a34，解得a1，

所以Axx23x401,4．

2

1b

因为AB，所以2，解得b1，