2026秋高中数学课后练（人教A版必修一） 集合的概念分层作业

1.1集合的概念分层作业

基础巩固

（26-27高一上·全国·课堂例题）

1．下列关系中正确的个数为（）

①2Q；②0N；③πR；④4Z

A．1B．2C．3D．4

（26-27高三上·湖北·阶段检测）

2．已知集合U{1x,1}，xU，则x（）

A．1B．0C．1D．2

（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）

3．集合Ayyx21，集合Bx,yyx21（A，B中xR，yR）．则下列选项中元素与集合

的关系都正确的是（）

A．2A，且1,2BB．1A，且1,2B

C．2A，且3,10BD．2A，且3,10B

（25-26高二下·吉林·期末）

4．已知集合A={-2,0,1,3}，Bx,y|xA,yA，则B的元素个数为（）

A．16B．12C．8D．4

x2y5

5．方程组的解集为（）

2xy0

A．1,2B．1,2C．x1,y2D．1,2

6．设集合Px∣x2k,kZ，（偶数集），Qx∣x2k1,kZ，（奇数集），Rx∣x4k1,kZ，

若a挝P,bQ，则（）

A．abPB．abQC．abRD．均不属于

（2026高一·全国·专题练习）

7．已知2,3,m22m32,3,5，则实数m的值为（）

A．0B．2C．2或4D．4

（25-26高二下·江西南昌·期末）

8．若{x22x∣x{m1,m1}}为单元素集合，则m=（）

试卷第1页（共4页）

A．-1B．0C．1D．2

（26-27高一上·全国·课堂例题）

9．(多选)下列说法正确的是（）

A．中国的所有直辖市可以组成一个集合

B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合

C．正偶数的全体可以组成一个集合

D．大于2014且小于2026的所有整数不能组成集合

10．直线yx1与yx3的交点构成的集合为（）

A．1,2B．x1,y2C．x,y∣x1,y2D．1,2

（26-27高一上·全国·课堂例题）

11．由实数x,x,x,x2,3x3所组成的集合里面元素最多有________个.

（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）

xkx

12．关于x的方程的解集中只含有一个元素，则k的可能取值构成的集合为________．

x1x2x

（26-27高一上·全国·课堂例题）

13．用适当的方法表示下列集合：

(1)比5大3的数组成的集合；

(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集；

(3)不等式x32的解的集合；

(4)二次函数yx210图象上的所有点组成的集合．

（2026高一上·全国·专题练习）

14．已知集合Aa2，2a25a．

(1)求a满足的条件；

(2)若3A，求a的值.

能力提升

a4a

15．若集合xx中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（）

43

182421

A．aaB．aa6

554

2022

C．aaD．a4a8

33

（26-27高一上·山东聊城·开学考试）

试卷第2页（共4页）

xyz|xyz|

16．已知x,y,z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）

|x||y||z|xyz

A．0MB．2MC．4MD．4ÎM

（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）

17．已知集合A{x(x2)(x2a)0}内的元素个数为2，则a（）

A．0或1B．1或2C．0或4D．1或8

（25-26高三下·河南周口·阶段检测）

18．设集合M{xR|x1且xQ}，则（）

2

A．MB．52MC．21MD．33M

3

（25-26高一下·广东江门·阶段检测）

19．已知集合A{1,2,3}，B{3,5}，则Cxx2ab,aA,bB的元素个数为（）

A．4B．5C．6D．7

（25-26高一上·湖北·阶段检测）

20．下列四个命题中正确的是（）

A．方程x2(y3)20的解集为{2,3}

2x40,

B．满足的整数解的集合为{1,0,1,2}

1x2x1

C．由实数x，x，|x|，x2，3x3所组成的集合最多含2个元素

6

D．AaN,aZ中含有3个元素

3a

（25-26高一上·重庆·阶段检测）

21．设Axx3m1,mZ，Bxx3n2,nZ，则（）

A．若a，bA，则abAB．若a，bA，则abB

C．若a，bB，则abAD．若a，bB，则abB

（25-26高一上·上海·期中）

b2

22．已知aR，bR，若集合a,,1a,ab,0，则a2026b2025的值为_______．

a

（24-25高一上·广东中山·阶段检测）

23．已知集合A∣xmx23x20.

(1)若A中有两个元素，求实数m的取值范围；

(2)若A中至多有一个元素，求实数m取值范围.

试卷第3页（共4页）

探索创新

（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）

a

24．（多选）当一个非空数集G满足“如果a、bG，则ab、ab、abG，且b0时，G”时，

b

我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（）

A．0是任何数域中的元素；B．若数域G中有非零元素，则2022G；

C．集合Px∣x2k,kZ是一个数域；D．有理数集Q是一个数域．

（25-26高一上·上海浦东新·期中）

25．若集合A具有以下两条性质，则称集合A为一个“好集合”.

（1）0A且1A；

1

（2）若x、yÎA，则xyA，且当x0时，有A.给出以下命题：

x

①集合P1,0,1是“好集合”；

②Z是“好集合”；

③R是“好集合”；

④设集合A是“好集合”，若x、yÎA，则xyA；

⑤设集合A是“好集合”，若x、yÎA，则xyA；

其中真命题的序号是_____.

试卷第4页（共4页）

《集合的概念分层作业》参考答案：

1．A

【知识点】判断元素与集合的关系

【详解】①∵2是无理数，∴2Q，故①错误；

②∵0是非负整数，∴0N，故②错误；

③∵π是实数，∴πR，故③错误；

④∵44是整数，∴4Z，故④正确．

故正确的个数为1个.

2．C

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用

【分析】根据集合元素的互异性和从属关系分类讨论即可.

【详解】由题意得x1x，即01，此时显然不成立，舍去，

或x1，此时集合U{1,2}，满足互异性，

所以x1.

3．C

【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、求函数值、求二次函数的值域或最值

2

【详解】由Ay∣yx1，且x，因为x20，所以yx211，因此2A，1A.

集合Bx,y∣yx21的元素为有序数对.

当x1时y2，当x3时y10，所以1,2B，3,10B.

由此可知2A，且3,10B同时成立.

4．A

【知识点】列举法表示集合

【详解】A2,0,1,3，Bx,y|xA,yA，

则

B2,2,2,0,2,1,2,3,0,2,0,0,0,1,0,3,1,2,1,0,1,1,1,3,3,2,3,0,3,1,3,3

，

则B的元素个数为16.

5．D

【知识点】列举法表示集合、方程组的解集

答案第1页（共9页）

x2y5x1

【详解】由，解得，方程组解集为点集，即为1,2.

2xy0y2

6．B

【知识点】判断元素与集合的关系

【详解】由题意可知：a为偶数，b为奇数，偶数+奇数=奇数，

故ab属于奇数集Q，即abQ.

7．C

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数、根据集合相等关系进行计算

【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解.

【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故m22m35，整理得m22m80，解得m2或

m4，

当m2时，m22m35，集合为2,3,5，元素各不相同，符合题意；

当m4时，m22m35，集合同样为2,3,5，元素各不相同，符合题意；

因此实数m的值为2或4，故C正确.

8．C

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【详解】若集合为单元素集合，则意味着xm1与xm1时yx22x的值相等，

由函数yx22x的图象关于直线x1对称，

得m1m121，解得m1.

9．AC

【知识点】判断元素能否构成集合

【详解】对于A，由于中国的所有直辖市是确定的，所以可以组成一个集合，故A正确；

对于B，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，故B错误；

对于C，由于正偶数是确定的，所以正偶数的全体可以组成一个集合，故C正确；

对于D，由于大于2014且小于2026的所有整数是确定的，

所以大于2014且小于2026的所有整数能组成集合，故D错误．

10．AC

【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、求直线交点坐标

【分析】联立直线方程可得交点坐标，然后由集合表示方法可得答案.

答案第2页（共9页）

yx1x1

【详解】，即直线交点坐标为1,2，则交点构成的集合为：1,2或x,yx1,y2.

yx3y2

11．2

【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数

【详解】当x0时，各个式子都为0，所组成的集合里面元素只有1个；

x,x0

当x0时，由于x2x,3x3x，

x,x0

因此，x0时，所组成的集合里面元素只有2个；

x0时，所组成的集合里面元素有2个.

综上所述，所组成的集合中的元素最多有2个.

1

12．,0,2

4

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案．

【详解】方程两边同时乘以xx1得x2kx，即x2xk0，

1

①当14k0，即k时，方程x2xk0只有一个解；

4

②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解，

（i）若增根为0时，k0；

（ii）若增根为1时，k2；

11

故k的值为或0或2，即k的可能取值构成的集合为,0,2.

44

13．(1){8}

(2)2,3

(3)xx5

(4)x,yyx210

【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合

【详解】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．

22

（2）方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为：x2y30，

x2

所以，所以方程的解集为2,3．

y3

（3）由x32，得x5.故不等式的解集为xx5．

答案第3页（共9页）

（4）“二次函数yx210的图象上的所有点”用描述法可表示为x,yyx210．

14．(1)aa1

3

(2)

2

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数

【详解】（1）由题意有：a22a25a，即a22a10，解得a1，

所以a满足的条件为aa1；

（2）由3A，所以a23或2a25a3，

当a23时，a1，又因为2a25a3，不满足元素的互异性，

3

当2a25a3时，即2a25a30，且a23，解得a，

2

3

所以若3A，a的值是.

2

15．B

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可.

a4a

【详解】若集合x|x中恰有6个整数元素，

43

4aa

346084

则，解得a，

4aa1313

57

34

15a21804a112

此时，，

1341313313

a4a

所以集合x|x中最小整数元素为2，最大整数元素可以为6或7或8，

43

因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7，

a

12

421

即，解得a6，

4a4

78

3

21

所以a的取值范围为,6.

4

16．D

【知识点】判断元素与集合的关系

【详解】当x0,y0,z0时，xyz0，

xyzxyz

则11114，

xyzxyz

答案第4页（共9页）

当x,y,z只存在一个正数时，不妨设x0,y0,z0，则xyz0，

xyzxyz

则11110，

xyzxyz

当x,y,z只存在一个负数时，不妨设x0,y0,z0，则xyz0，

xyzxyz

则11110，

xyzxyz

当x0,y0,z0时，xyz0，

xyzxyz

则11114，

xyzxyz

所以M4,0,4.

∴0M，A选项错误；2M，B选项错误；4M，C选项错误；4ÎM，D选项正确.

17．C

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】分析方程(x2)(x2a)0的实根情况，根据集合元素的互异性，对a分情况进行讨论即可.

【详解】当a0时，因为x2a0，所以A2，不符合题意；

当a0时，此时A{x(x2)x20}{0,2}，符合题意；

当a0时，由(x2)(x2a)0，得x2或xa，

因为集合A内的元素个数为2，所以a2，则a4，即A{2,2}.

综上，a0或4.

18．B

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】根据题意，得到集合M表示小于1的无理数，逐项分析判断，即可求解.

【详解】由集合M{xR|x1且xQ}，可得集合M表示小于1的无理数，

22

对于A，由Q，所以M，所以A错误；

33

对于B，由521且52Q，所以52M，所以B正确；

对于C，由211且21Q，所以21M，所以C不正确；

对于D，由331，所以33M，所以D不正确.

19．A

答案第5页（共9页）

【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合元素互异性的应用

【详解】已知A{1,2,3}，B{3,5}，C{∣xx2ab,aA,bB}

当a1时：x=2´1-3=-1，x2153；

当a2时：x2231，x2251；

当a3时：x2333，x2351；

由集合的互异性得C{3,1,1,3}，元素个数为4.

20．BC

【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】由根式与平方意义求解方程即可判断A；解不等式组即可判断B；化简实数x2，3x3，再结

合集合中元素的互异性即可分析求解判断C；根据集合中的元素的特点可得3a是6的正整数约数，即可

求解判断D.

2x2

【详解】A，因为x20,y30，所以由题意方程的解为，故方程的解集为{(2,3)}，A错误；

y3

2x40,

B，由得2x2，整数解的集合为1,0,1,2，B正确；

1x2x1,

C，由于x2x,3x3x，且在x，x，x中，当x0时，xx，

当x0时，xx，当x0时，xxx0，

故三者x，x，x中至少有两个相等，

则由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，C正确；

6

D，因为aZ且N，所以3a是6的正整数约数，

3a

即3a{1,2,3,6}，解得a{2,1,0,3}，

因此集合A中含有4个元素，故D错误

故选：BC

21．BC

【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用

【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.

【详解】若a，bA，设a3m11,b3m21,m1,m2Z，则ab3m1m22,

m1m2Z,abB，故A错误，B正确；

若a，bB，设a3n12,b3n22,n1,n2Z，

答案第6页（共9页）

则ab3n123n229n1n26n16n2433n1n22n12n211,

3n1n22n12n21Z,abA，故C正确，D错误.

故选：BC.

22．1

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数

【分析】根据集合相等的定义判断a,b的取值进行计算.

b

【详解】因为a,,1a2,ab,0，所以a0，b0，

a

2

此时两个集合即a,0,1a,a,0，所以a21，解得a1或a1，

若a1，则两个集合都是1,0,1不满足互异性，

所以a1,此时两个集合都是1,0,1，满足条件.

2026

所以a2026b20251020251，

故答案为：1.

9

23．(1){mm0或m0}

8

9

(2)mm0

8

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】（1）转化为关于x的方程mx23x20的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解；

（2）分m0，m0两种情况讨论，当m0时用判别式即可求解.

【详解】（1）由于A中有两个元素，

关于x的方程mx23x20有两个不等的实数根，

9

Δ94m20，且m0，即m，且m0.

8

9

故实数m的取值范围是{mm0或m0}；

8

2

（2）当m0时，方程为3x20,x，集合A只有一个元素；

3

当m0时，若关于x的方程mx23x20有两个相等的实数根，则A中只有一个元素，

9

即Δ94m20，m，

8

若关于x的方程mx23x20没有实数根，则A中没有元素，

9

即Δ94m20,m.

8

答案第7页（共9页）

9

综上可知，实数m的取值范围是mm0.

8

24．ABD

【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义

【分析】依据数域的定义逐项分析即可.

【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知0aaG，即0是任何数域中的元素，

A正确；

a

若域G中有非零元素a，则1G，所以112G，123G，…，120212022G，B正确；

a

a1

记a2,b4,则a,bP，但P，所以集合Px∣x