【新教材】北师大版（2024）八年级上册数学第一章 勾股定理 教案

第第页【新教材】北师大版（2024）八年级上册数学第一章勾股定理教案课题1.探索勾股定理（第1课时）课型新授课eq\o\ac(□,√)复习课□试卷讲评课□其他课□授课班级八年级（）班授课时间2026年月日教学内容分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时，为本章的起始课且历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。勾股定理是为了揭示直角三角形三边的结构之美，是“形”与“数”结合而成的美味。在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。学习者分析八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力，在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），同时在七年级下册第五章再次巩固了割补法，可是运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够。学习目标让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。2、用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．3、介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．教学准备多媒体课件、打印的方格纸、有刻度的直尺。活动设计教学内容教师活动学生活动评价任务活动一：新课导入展示教材P2开头的情境.如图所示,从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m,那么需要多长的钢索?根据《周髀算经》知道了“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”，今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）疑惑思考；大胆提问。解答问题，引发兴趣。（1）积极回答，评价学生的完成情况；（2）听学生的回答情况，评价学生的表达能力和应用意识。回顾、提问：在5*5小方格中求出小正方形的面积。割补拼总结：割：分割为四个直角三角形和一个小正方形。补：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积。拼：将几个小块拼成一个正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形。【补充】皮克定理：S=a+b/2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形落在格点边界上的点。（1）用课件出示操作要求，指导学生按步骤进行操作；（2）提出问题，让学生独立回答，引导学生回顾在正方形格子里多边形面积的计算方法。（1）按要求进行实践操作，观察并回答问题；（2）表述出“割补法”的使用技巧。（1）让学生展示练习成果，并描述“割补法”的前提，评价学生的实践操作能力和语言表达能力；（2）在比较中总结提炼“割补法”的使用技巧，让学生展示出自己拼接图，评价学生掌握概念和表示方法的程度，同时渗透一题多解。活动二：用测量的方法探索勾股定理合作探究：1、画一个直角三角形,使直角边长分别为3cm和4cm,测量一下斜边长是多?2、画一个直角边长分别是6cm和8cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.3、画一个直角边长分别是5cm和12cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?（1）帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望；（2）巡视指导学生探究，展示学生探究成果，引导学生叙述探究过程。（1）根据课件题目，画出对应直角三角形；（2）小组合作讨论，叙述直角三角形三边关系的猜测。（1）根据学生的观察和回答评价学生动手操作能力和表达能力；（2）用投影展示学生的绘图，并让学生进行讲解，全班学生跟学并进行评价；（3）巡视查看小组合作讨论情况，适时对各小组进行指导和评价。活动三：验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探索勾股定理1、探索等腰直角三角形的情况.展示教材P2图1-2部分图.探索问题:(1)这个三角形是什么样的三角形?(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?2、探索边长为3、4、5的直角三角形的情况。展示教材P2图1-3部分图.对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?(3)三个正方形的面积之间有什么关系?【总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.[思考](1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知直角三角形中,只要知道_________条边,就可以利用_______求出_____。（1）课件出示例题，并读题，引导学生进行大胆的猜想；（2）分析并验证猜想：在这幅图中,边长的平方是如何刻画的？我们的猜想如何实现？（3）总结：勾股定理，并板书概念。（4）应用：引导学生“独立思考、在小组讨论中,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.（1）在教师引导下理解题意并思考，口述证明思路；（2）通过数格子的方法得出SA+SB=SC)（注：对于学习能力强的学生可让其让黑板讲解计算过程）（3）同桌交流、小组讨论,共同探讨如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系。（1）从学生的口述中评价逻辑推论的意识和能力；（2）通过展示评价学生的书写规范程度，并进行纠错；（3）在拓展中综合评价学生的知识运用能力。活动四：练习与作业【必做题】教材第3页随堂练习第1、2题；【选做题】教材第4页习题1.1第2题。指导学生完成练习，面批练习。按要求完成联系。从完成情况和书写情况等方面进行评价。主板书设计探索勾股定理概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.副板书表示法:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.教学反思课题1.探索勾股定理（第2课时）课型新授课eq\o\ac(□,√)复习课□试卷讲评课□其他课□授课班级八年级（）班授课时间2026年月日教学内容分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础。学习者分析在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证。学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力。学习目标1、掌握勾股定理，理解和利用拼图验证勾股定理的方法。2、在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想，能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。3、培养探究能力和合作精神；培养应用数学的意识。教学准备多媒体课件、4个全等的直角三角形纸片活动设计教学内容教师活动学生活动评价任务活动一：复习设疑，激趣引入提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？【过渡】事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理。查看学生合作交流情况，评价学生的完成情况；

（2）听学生的回答情况，评价学生的表达能力和应用意识。（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.（1）疑惑思考；大胆提问。解答问题，引发兴趣。（2）采用小组合作交流的形式，结合学生上节课所学习的勾股定理，进行推导尝试变形，力争独立得出结论。在实际教学过程中应本着从学生实际出发的原则，首先从勾股定理探究入手，通过整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质研究其他问题，这是良策。通过这一环节，学生明确了；仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证。当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望。活动二：勾股定理的验证投影教材P4图1-4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流。【探究】利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形。图图122图2图2【提问】我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（1）帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望；（2）巡视指导学生探究，展示学生探究成果，引导学生叙述探究过程。（3）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（4）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×ab+c2.并得到）（5）出示图2，引导学生单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发等。（1）根据课件题目，画出对应直角三角形；（2）小组合作讨论，叙述直角三角形三边关系的猜测。（3）学生先独立思考，再4人小组交流，学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形数量关系。（4）学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二。（1）根据学生的观察和回答评价学生动手操作能力和表达能力；（2）用投影展示学生的绘图，并让学生进行讲解，全班学生跟学并进行评价；（3）巡视查看小组合作讨论情况，适时对各小组进行指导和评价。（4）设计图1活动的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力。（5）图二活动让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐。活动三：勾股定理的简单应用出示教材P8图1-8._b_a_a_c_b_a_a_c_b_c出示教材P5例题【例题】：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【问题】（1）图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?要想求敌方汽车的速度,应先求什么？你能利用勾股定理完成这道题吗?【例图】【总结】根据题意,可以画出上图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了（1）分析题意，强调读题方法，并让学生书写过程，独立完成，有困难的可以合作完成，巡视并指导学生完成任务。（2）分析并抽象出几何图形，并验证猜想。引导学生在练习本构画出草图。（1）在教师引导下理解题意并思考，口述证明思路；（2）学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积，（注：对于学习能力强的学生可让其让黑板讲解计算过程）（1）从学生的口述中评价逻辑推论的意识和能力；（2）通过展示评价学生的书写规范程度，并进行纠错；（3）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；体会勾股定理的应用价值，学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题。活动四：练习与作业【必做题】教材第6页随堂练习。【选做题】教材第7页习题1.2第3题。指导学生完成练习，面批练习。按要求完成联系。从完成情况和书写情况等方面进行评价。主板书设计探索勾股定理1、勾股定理的验证方法测量法数格子法面积法2、勾股定理的简单应用。教学反思课题2一定是直角三角形吗课型新授课eq\o\ac(□,√)复习课□试卷讲评课□其他课□授课班级八年级（）班授课时间2026年月日教学内容分析本节课是探索勾股定理的逆定理，并利用该定理根据边长判断一个三角形是否是直角三角形，利用该定理解决一些简单的实际问题；通过具体的数，进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型。学习者分析本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对通过实验获得数学结论已有一定的体验，但数学思维严谨的同学总是心存疑虑，利用逻辑推理的方式，让同学心服口服显得非常迫切。学生学习了勾股定理，并在先前其他内容学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验，如：已知两直线平行，有什么样的结论？反之，满足什么条件的两直线是平行？因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具体研究中，可能要用到反证等思路，对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导。学习目标1、理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；2、能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；3、经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力；4、体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。教学准备多媒体课件活动设计教学内容教师活动学生活动评价任务活动一：复习设疑，激趣引入1、直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？2、如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？查看学生合作交流情况，评价学生的完成情况；

（2）听学生的回答情况，评价学生的表达能力和应用意识。（1）疑惑思考；大胆提问。解答问题，引发兴趣。（2）采用小组合作交流的形式，结合学生上节课所学习的勾股定理，进行推导尝试变形，力争独立得出结论。通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础。活动二：一定是直角三角形吗【问题】1、分别以（5、12、13）、（3、4、5）、（8、15、17）、（7、24、25）为三边长作三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?2、如果每组数中三边的长度分别是a、b、c，那么它们满足a2+b2=c2吗?3、根据问题1、2你能总结出怎样的结论?4、勾股定理和其逆定理有什么区别?5、给出勾股数的定义(满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数)，并强调注意事项：①符合a2+b2=c2；②必须是正整数。【例题】一个零件的形状如下图(下)所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示；这个零件符合要求吗?〔解析〕如果三角形三边之间的关系存在着a2+b2=c2，那么就可以判定是直角三角形。解：因为在ΔABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以ΔABD是直角三角形，∠A是直角。同理可证：在ΔBCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以ΔBCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此,这个零件符合要求.【思考】在上面的零件中,如果有一个角是直角，这个零件算是合格的吗?（1）帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望；（2）巡视指导学生探究，展示学生探究成果，引导学生叙述探究过程。得到结论：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。（在学生回答的基础上板书）（3）出示概念，引导学生找出关键词，让同伴之间讨论、争辩、互相启发说出理由，综合各组发言出示注意事项。（4）分析并抽象出几何图形，并验证猜想，引导学生在练习本写出计算过程。独立完成，有困难的可以合作完成，巡视并指导学生完成任务。（5）出示问题，利用平行线的判定和性质定理回顾，体会概念之间的联系，得出勾股定理与其逆定理的关系。（1）根据课件题目，学生分工合作,可以每人选一组数作三角形，画出对应直角三角形；（2）小组合作讨论学生回答，可能有学生会给出“反证法”的理由。（3）学生先独立思考，再4人小组交流，学生通过自主探究，小组讨论得到得到关键词。最后请一个小组同学上台解说理由。（4）在教师引导下理解题意并思考，口述证明思路；（5）学生以组为单位合作完成，进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系，（注：对于学习能力强的学生可让其让黑板讲解计算过程）（1）根据学生的观察和回答评价学生动手操作能力和表达能力；（2）用投影展示学生的绘图，并让学生进行讲解，全班学生跟学并进行评价；（3）巡视查看小组合作讨论情况，适时对各小组进行指导和评价。（4）经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果。在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。活动三：小试牛刀，巩固练习1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22解答：①②2．一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（）A、250B、150C、200D、不能确定解答：B如图，在中，于，，则是（）A、等腰三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、钝角三角形解答：C4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、不能确定解答：A指导学生完成练习，面批练习。在教师引导下理解题意并思考，口述解题思路；（1）从学生的口述中评价逻辑推论的意识和能力；（2）通过展示评价学生的书写规范程度，并进行纠错；（3）初步运用勾股数解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；体会勾股数的应用价值，学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题。活动四：练习与作业【必做题】教材第10页随堂练习第1、2题。【选做题】教材第10页习题1.3第3题。指导学生完成练习，面批练习。按要求完成联系。从完成情况和书写情况等方面进行评价。主板书设计2一定是直角三角形吗1、勾股定理的逆定理。2、例题讲解。副板书教学反思课题3勾股定理的应用课型新授课eq\o\ac(□,√)复习课□试卷讲评课□其他课□授课班级八年级（）班授课时间2026年月日教学内容分析本节课是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力。学习者分析本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础。学习目标1、通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．2、在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3、在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．教学准备多媒体课件、矩形纸片做成的圆柱活动设计教学内容教师活动学生活动评价任务活动一：复习设疑，激趣引入折竹抵地(源自《九章算术》):今有竹高一丈,风折抵地,去本三尺.问折者高几何?大意:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处距离原竹子底部3尺远.问原来的竹子有多高?查看学生合作交流情况，评价学生的完成情况；听学生的回答情况，评价学生的表达能力和应用意识。疑惑思考；大胆提问。解答问题，引发兴趣。通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础。活动二：勾股定理的应用.如图所示：有一个圆柱,它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm。在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）把学生分为４人活动小组，让组织合作探究蚂蚁爬行的最短路线，巡视讨论情况，检查汇总各小组的方案，利用多媒体展板展示各组内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。（2）教师展示学生的方案；预设学生可能的方案(粗线条).（3）讲授方法。解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1、审题——分析实际问题；2、建模——建立相应的数学模型；3、求解——运用勾股定理计算；4、检验——是否符合实际问题的真实性。（1）根据课件题目，学生分工合作,学生汇总了四种方案。（2）计算出每种方案蚂蚁行驶的路程。比较路程大小后的得出结论。从而解决展开图中两点之间，线段最短解决问题。（3）在教师引导下理解题意并思考，口述证明思路；体验“数”“形”结合数学思想.立体图形→转化、展形化曲为平（1）通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解。在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念。（2）让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的。（