2026年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题及参考答案

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试(A卷)一、(本题满分40分)设是正整数,是的所有正约数.已知,并且对任意,均存在,使得在某种排序下构成等差数列.求的所有可能值.二、(本题满分40分)如图,在锐角三角形中,,是边上的高,为垂心,为外心,为的中点,线段内一点满足.证明:直线与三角形的外接圆相切.三、(本题满分50分)设整数,实数同时满足(i)和(ii)(i);(ii)对任意满足且的整数,均有证明:(1);(2).四、(本题满分50分)给定整数.在一个的方格表中,由四个方格构成的下图之一均称为“S形”.在方格表中每个方格内填上一个非负实数.已知每个形内四个方格中的数之和均不小于1.求方格表内所有数之和的最小可能值.2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试(A卷)参考答案一、(本题满分40分)设是正整数,是的所有正约数.已知,并且对任意,均存在,使得在某种排序下构成等差数列.求的所有可能值.解.只能是4.事实上,我们证明满足条件的正整数形如,其中是不同的素数,且.此时,满足要求.(10分)由于是的最小素因子.在条件中,取,可知存在.注意到必定是素数(否则的最小素因子满足,而也是的素因子,这与是的最小素因子矛盾),可知.特别地,.(20分)注意到.在条件中取,则存在(因为,且不构成等差数列),于是是整数.但是,有故只能,即,其中是素数.这就证明了我们的结论.(40分)二、(本题满分40分)如图,在锐角三角形中,,是边上的高,为垂心,为外心,为的中点,线段内一点满足.证明:直线与三角形的外接圆相切.证明:取的中点.由于,故,且结合条件知,故四点共圆.(10分)取的中点和的中点,则由外心与垂心的性质知由知与平行且相等.由为的中点及,可知为的中点,所以.于是.又有.于是.(30分)所以,故与的外接圆相切.(40分)三、(本题满分50分)设整数,实数同时满足(i)和(ii)(i);(ii)对任意满足且的整数,均有证明:(1);(2).若,则(1),(2)显然都成立.下面假设.因此只需证明(2).证法一.对于满足的整数,有,故.对于满足的整数,有,故结合知,,故,因此.(10分)设由知,集合的元素个数.因为对于满足的整数,有,所以集合的元素个数集合的元素个数.①对于满足的整数,有,所以集合的元素个数.②由可得所以对任意,(30分)(最后的不等号是因为)故(集合的元素个数)所以注意到从而()右边,即集合的元素个数.将①,②,③式相加,即得证.(50分)证法二．当时,令知,故.对于,由知,所以(10分)对于,有,,因此,所以故(30分)由于,所以,故因此,证毕.(50分)四、(本题满分50分)给定整数.在一个的方格表中,由四个方格构成的下图之一均称为“S形”.在方格表中每个方格内填上一个非负实数.已知每个形内四个方格中的数之和均不小于1.求方格表内所有数之和的最小可能值.解.若是奇数,设.一方面,显然可以在的矩形中放下个形,故在原方格表中可以放下个形,所以所有方格内数之和不小于.另一方面,在第列的中间两格填入1,其余方格填入0,符合题意,此时所有方格内数之和恰为.因此所求为.(10分)若是偶数,设.一方面,对,在第列和第列的中间两格填入,两边两格填入,这样所有数之和为.(20分)我们来证明这样的填数符合题意.由填数方法可知,第一行和第四行中两个相邻数之和为或,其中和为当且仅当它们所在列数形如和,第二行和第三行中两个相邻数之和为或,其中和为当且仅当它们所在列数形如和.因此,若一个形在第一行和第二行中,则其中所有数之和恰为1,对第三行和第四行中的形同理;若一个形在第二行和第三行中,则其中所有数之和为;若一个形占据了3个行,不妨设为第一行,第二行和第三行,由填数方法可知将第三行的方格换为第一行同列的方格后所有数之和减少,而此时的四个方格(形成一个正方形)中的数之和不小于,故最初的四个方格中数之和不小于1.(30分)下面证明,对任意一种满足题目要求的填数方式,所有方格中的数之和不小于.设第列的四个数之和为.对,将第列(方格表)分成两个的矩形,并考虑每个矩形内的两个形(共4个).由于这四个形内的所有数之和均不小于1,可得.考虑第一列中间两个方格分别与第二列上面两个方格及下面两个方格组成的两个形,可得,同理.因此故综上所述,当时,所求为;当时,所求为(50分)评分标准.本题的50分拆分为以下几部分:(M)是奇数的情形,10分;(P)是偶数的情形,40分.其中(P1)给出达到最小值的例子,10分;(P2)验证例子符合题意