保险的数理基础课件1

*保險的數理基礎*第一節隨機事件與概率§4.1.1隨機現象、隨機試驗和隨機事件隨機現象：兩個特點隨機試驗：三個特徵樣本空間：所有可能結果組成的集合隨機事件：樣本空間的子集基本隨機事件：最簡單的隨機事件*事件的關係與運算：

文氏圖示法(VennDiagram)以長方形區域代表樣本空間S，在其內部以封閉曲線圍起來的區域代表事件，描述事件間的各種關係的方法，稱為文氏圖示法(VennDiagram)。學過啦！*

——

A

包含於B

事件A發生必導致事件B

發生AB

且1.事件的包含2.事件的相等*或

事件A與事件B

至少有一個發生發生的和事件——

的和事件——

——

A

與B

的和事件

3.事件的並(和)*

或事件A與事件B

同時發生發生的積事件

——

的積事件——

——

A

與B

的積事件

4.事件的交(積)*發生

事件

A發生，但

事件B

不發生

——

A

與B

的差事件5.事件的差*——

A

與B

互斥A、

B不可能同時發生AB兩兩互斥兩兩互斥6.事件的互斥(互不相容)*——

A

與B

互相對立每次試驗A、

B中有且只有一個發生A稱B

為A的對立事件(or逆事件)，記為注意：“A

與B

互相對立”與“A

與B

互斥”是不同的概念7.事件的對立*8.完備事件組若兩兩互斥，且則稱為完備事件組或稱為的一個劃分*

吸收律

冪等律

差化積

重餘律運算律對應事件運算集合運算*

交換律

結合律

分配律

反演律運算順序：逆交並差，括弧優先*B

CABA

CA

分配律

圖示A*A

B

B紅色區域黃色區域交例

用圖示法簡化

AA*例化簡事件解

原式*例

利用事件關係和運算表達多個事件的關係A,B,C

都不發生——

A,B,C

不都發生——*例：在圖書館中隨意抽取一表示數學書，表示中文書，表示平裝書.——抽取的是精裝中文版數學書——精裝書都是中文書——非數學書都是中文版的，且中文版的書都是非數學書本書，事件*第二節概率基礎1. 事件發生的可能性 的數字度量簡單事件聯合事件複合事件2. 取值在

0和1之間3. 所有事件之和為

11.50必然不可能也學過啦！*簡單事件的概率

ProbabilityofSimpleEvent

P(事件)=X=使某結果發生的事件數量T=可能事件的總數檢查了100個零件，兩個有缺陷!*用列聯表確定聯合事件

UsingContingencyTable聯合事件JointProbability邊際

(簡單)概率Marginal(Simple)Probability事件事件B1B2總計A1P(A1

B1)P(A1

B2)P(A1)A2P(A2

B1)P(A2

B2)P(A2)總計P(B1)P(B2)1*列聯表聯合事件的例子聯合事件:抽一張牌.注意種類、顏色

顏色類型紅黑總計A牌2/522/524/52非A牌24/5224/5248/52總計26/5226/5252/52P(A牌)P(紅A)P(紅牌)*獨立事件兩事件的發生概率不會互相影響，則稱兩事件互相獨立(independentevents)。事件A(或B)的發生概率，不會因為事件B(或A)是否發生而有不同，則稱事件A與B互相獨立。注意與互斥事件區分：獨立事件不在一個樣本空間裏*獨立事件例擲兩枚銅板，第一枚銅板為正面的事件為A，第二枚銅板為正面的事件為B，第二枚銅板為正面的機概率，與第一枚銅板的結果無關，兩事件互相獨立。抽撲克牌兩張，第一張為紅色的事件為A，第二張為紅色的的事件為B，第二張為紅色的概率，與第一張的結果有關，兩事件不獨立。

第一張紅色，則第二張紅色的概率為25/51，第一張黑色，則第二張紅色的概率為26/51。連續考試兩次，第二次的結果與第一次的結果有關，兩事件不獨立。*獨立事件的概率乘法規則兩獨立事件A與B同時發生的概率，為兩事件各自發生概率的相乘：

P(A且B)=P(A)P(B)。*例：孟德爾(Mendel)的豌豆概率乘法規則的應用豌豆育種研究每株含有兩種可能顏色的基因，黃色(Y)為顯性、綠色(G)為隱性，發生的概率各半株與株間互相獨立父母株交配後，子株為綠色的機率

P(G且G)=P(G)P(G)=0.5×0.5=0.25

*例：海底電纜線研究海底電纜線維修率研究；每條海底電纜線有許多repeaters。每個repeater10年不壞的概率為0.999，如果沒有重大天然災害(如地震)的破壞，假設各repeaters間互相獨立且不壞的概率相同。令Ai

為第i

個repeater10年不壞的事件，則一條有10個repeaters的海底電纜線10年免維修的機率為 P(A1且…且A10)=P(A1)×…×P(A10)=0.99910=0.990事實上，一條海底電纜線上有300個repeaters，則10年免維修的機率為

P(A1且…且A300)=P(A1)×…×P(A300)=0.999300=0.741

*例：AIDS檢驗研究AIDS檢驗得錯誤陽性(falsepositive)，即沒有感染但檢驗結果為陽性的概率為0.005，140個未受感染的受測者，至少有一人檢驗結果為陽性的概率為

P(至少一人為陽性)=1-P(沒有人為陽性)

=1-P(全部人為陰性)=1-0.995140=0.504*兩個獨立的隨機變數兩隨機變數X和Y，如果屬於X的樣本空間SX的任意事件必和屬於Y樣本空間SY的任意事件獨立，則稱兩隨機變數獨立；兩獨立(離散)隨機變數的乘法規則：任意兩事件{X=x}與{Y=y}，

P({X=x}且{Y=y})

=P({X=x})P({Y=y})

x,y*兩事件發生的概率通則：廣義加法兩事件A或B發生的概率

P(A或

B)=P(A)+P(B)-P(A且B)Deborah成為律師合夥人的概率為0.7，Mathew成為律師合夥人的概率為0.5，兩人同時成為律師合夥人的概率為0.3，則至少一人成為律師合夥人的概率為

P(至少一人成為合夥人)=0.7+0.5-0.3=0.9*例：合夥人概率研究圖示

D且非M0.4D且M0.3M且非D0.2非M且非D0.1*條件分佈的概率表示法隨機選出一位自殺者，使用firearm的概率 P(firearm)=18,940/31,510=0.6隨機選出一位自殺者，選出女性的概率 P(female)=6,095/31,510=0.193*條件分佈的概率表示法（續）若已知選出的是女性，使用firearm的概率 P(firearm|female)=2,559/6,095=0.42自殺者是女性又使用firearm的概率P(female且firearm)=2,559/31,510=0.081

=(6,095/31,510)(2,559/6,095) =P(female)P(firearm|female)*乘法規則任意兩個事件A,B的條件概率條件概率(conditionalprobability)：給定事件A已發生時，事件B發生的概率，記為P(B|A)。乘法規則(multiplicationrule)任兩事件A與B同時發生的概率 P(A且B)=P(A)P(B|A)。*乘法規則的應用撲克牌遊戲的概率： 已出現的11張牌中有4張紅方塊，求再抽到兩張紅方塊的概率第一張抽到紅方塊的概率：

P(第一張抽到紅方塊)=9/41第一張抽到紅方塊後再抽到紅方塊的概率：

P(再抽到紅方塊|第一張抽到紅方塊)=8/40兩張都抽到紅方塊的概率：

P(兩張紅方塊)=P(第一張抽到紅方塊)

P(再抽到紅方塊|第一張抽到紅方塊)

=9/41

8/40=0.044*乘法規則的推廣任意三個事件A、B、C同時發生的概率：

P(A且B且C)=P((A且B)且C)

=P(A且B)P(C|A且B) =

P(A)P(B|A)P(C|A且B)。*乘法規則推廣的應用

高中球員的未來男子高中球員有5%繼續在大學打球，其中只有1.7%繼續在職業球隊打球，而在這1.7%中有40%在職業球隊打球3年以上。求男子高中球員最後會在職業球隊打球3年以上的概率事件A={繼續在大學打球}

事件B={繼續在職業球隊打球}

事件C={繼續打3年職業球隊}

*乘法規則推廣就用

球員的未來（續）P(A)=0.05；P(B|A)=0.017；P(C|A且B)=0.4；男子高中球員最後會在職業球隊打球3年以上的概率

P(A且B且C)=

P(A)P(B|A)P(C|A且B) =0.05

0.017

0.4=0.00034。*條件概率定義和圖示如果P(A)>0，則給定事件A的條件下事件B的條件概率為文氏圖示：BA

事件B的樣本空間發生了變化！*獨立事件的另一個解釋若P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，則事件A與事件B為兩獨立事件。說明：若P(B|A)=P(B)，則

A,B兩事件獨立。*期望值與方差總體平均數又稱為期望值(Expectation)。總體樣本空間為{x1,…,xk}，概率模型為 P(X=xi)=p(xi),i=1,…,k；定義期望值為

記為μ=EX。*總體方差總體方差(Variance)記為σ

2=Var(X)。樣本空間、概率模型如前；定義方差為：例：參考抽樣一節，樣本均值、方差與理論均值、方差。*期望與方差的性質兩個隨機變數X與Y的線性組合，aX+bY

的期望值是兩期望值的線性組合E(aX+bY)=aEX+bEY兩個獨立隨機變數和的方差，是兩個方差的和

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)隨機變數

a

倍的方差，是方差的

a2

倍。

Var(aX)=a2Var(X)*第三節大數定律及其應用：

危險集合假定有甲乙兩人損失分佈一樣，並且兩人的損失分佈不相關，其分佈均如下表所示：損失概率$100000.0500.95則每個人的期望損失為$500，標準差為$2179*危險集合例：2人的情況兩人的危險集合改變了每個人的損失分佈：損失情況總損失人均損失發生概率甲乙都損失$20000$100000.0025甲損失乙無損失$10000$50000.0475乙損失甲無損失$10000$50000.0475甲乙都無損失000.9025*危險集合例：2人的情況期望損失的效應無危險集合時期望損失為

$500集合危險時期望損失仍為$500標準差效應無危險集合時標準差為$2,179集合危險時標準差為

$1,541*危險集合例：4人的情況

損失

概率

$10,000

0.000006$7,500

0.000475Loss=$5,0000.014$2,500

0.171 $0

0.815期望損失

=$500標準差

=$1,089*危險集合：500個人的情況*危險集合：1000個人的情況*損失不相關的危險集合小結：危險集合的安排不會改變損失期望值但降低了不確定性(標準差減小，損失的可預測性增加)分佈更平緩(峰度降低)*損失相關時的情形：不確定性的降低比不相關時要小：想想為什麼？考慮一下極端情形：某危險發生時另一危險也發生於是集合並不能降低危險程度*正相關時危險降低效應：*其他情況：相關性越低，