2027年人教版数学九年级上册专题26.2.1二次函数y=ax2的图像和性质（讲义）

专题26.2.1二次函数y=ax2的图像和性质教学目标掌握二次函数y=ax2的图象与性质，能够熟练解决有关题目。教学重难点1.重点（1）y=ax2型二次函数的图象；（2）y=ax2型二次函数的性质；2.难点（1）应用二次函数的图象与性质，判断各点的函数值的大小关系。知识点01知识点01二次函数y=ax2的图象1.绘制二次函数y=ax2图象的步骤画函数图象时，常用的方法是描点法。画二次函数图象也可以用描点法，一般按照以下步骤进行：第一步：。在自变量允许的范围内，让x取一此代表性的值(正数、负数或0)，代入函数解析式，求出对应的y值,列出表格。第二步：。把表中每一组对应值(x,y)看作平面直角坐标系中的一个点，并在坐标系中描出这些点。第三步：。用的曲线顺次连接所描出的点，得到函数图象。2.二次函数y=ax2的图象特征①二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于②当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的。③影响抛物线的开口大小和方向。|a|越大,抛物线开口越；|a|越小,抛物线开口越。【即学即练】1．抛物线y=3x2的图像大致是（A． B．C． D．2．二次函数y=x2的图象经过下列点中的（A．0,1 B．(2,4) C．(−1,−1) D．(4,2)3．已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是______4．关于函数y=−3x2与y=1A．开口向上 B．都有最低点 C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴5．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2x2和(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；(2)抛物线y=2x2，当x______时，抛物线上的点都在(3)函数y=−12x2，对于一切x的值，总有函数y______0；当知识点02知识点02二次函数y=ax2的性质由函数y=ax2的图象总结性质如下：y=aa>0当a<0大致图象开口方向开口大小a的绝对值越大，开口越a的绝对值越小，开口越顶点坐标对称轴离对称轴越远的函数值越离对称轴越近的函数值越离对称轴越远的函数值越离对称轴越近的函数值越增减性对称轴右边y随x的增大而。对称轴左边y随x的增大而。对称轴右边y随x的增大而。对称轴左边y随x的增大而。最值函数值有最值这个值是。函数值有最值这个值是。【即学即练】6．关于函数y=12x2，y=xA．顶点坐标相同 B．对称轴相同C．图象形状相同 D．最低点相同7．若抛物线y=1−mx2有最低点，则m8．当x为何值时，二次函数y=−x2中y随x的增大而减小（A．x=0 B．x<0 C．x>0 D．x≤09．已知点A−2,y1，B−1,y2在二次函数y=1A．y1>y2>0 B．y2题型01y=ax2的图象【典例1】二次函数y=−4x2的图象可能是（A． B．C． D．

（1）考查方向：图象的开口方向、开口大小、顶点、对称轴，以及根据图象判断系数a的正负和大小。（2）核心方法：抓住a（1）考查方向：图象的开口方向、开口大小、顶点、对称轴，以及根据图象判断系数a的正负和大小。（2）核心方法：抓住a的作用：a>0开口向上，a<0开口向下，∣a∣越大开口越小；图象恒过原点，顶点为(0,0)，对称轴为y轴。【变式1】在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数A． B．C． D．【变式2】抛物线y=−2x2的开口方向是【变式3】下列关于函数y=−12x2的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4】二次函数y=ax2的图象过点2,4，则a的值是（A．4 B．3 C．2 D．1【变式5】在同一坐标系中画出y1=2xA． B．C． D．【变式6】分别在同一坐标系内作出下列函数的图象．(1)y=12x(2)y=3x2，y=−2x【中考链接】已知二次函数y=ax2，y=bx2，y=cx2，y=dx2的图象如图所示，则a，题型02y=ax2的性质【典例1】抛物线y=2x2，y=−2xA．开口向上B．顶点坐标都是0,0C．对称轴是y轴D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大（1）考查方向：y=ax2的增减性、最值、函数值大小比较、参数取值以及图象上点的坐标关系。（2）核心方法：利用对称轴y轴和开口方向判断性质：a>0时离对称轴越远函数值越大，有最小值0；a<0时离对称轴越远函数值越小，有最大值0。（1）考查方向：y=ax2的增减性、最值、函数值大小比较、参数取值以及图象上点的坐标关系。（2）核心方法：利用对称轴y轴和开口方向判断性质：a>0时离对称轴越远函数值越大，有最小值0；a<0时离对称轴越远函数值越小，有最大值0。【变式1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2的对称轴是【变式2】已知Pt,y1，QA．若t=−3，则y1=y2 C．若t>0，则y1<y2 【变式3】已知二次函数y=x2，当−1≤x≤3时，y的取值范围是（A．1≤y≤3 B．0≤y≤3 C．0≤y≤9 D．1≤y<9【变式4】已知二次函数y=2025x2图像上有两个不同的点Pt₁,12，【变式5】有下列二次函数：①y=−3x2；②y=23A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③【中考链接】已知点A−2,y1，B0,y2，C1,y3都在二次函数y=−A．y1>y2>y3 B．A组·基础过关1．抛物线y=x2的顶点坐标是（A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1）2．已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2,3)，则a的值为（A．34 B．43 C．293．已知点−1,y1，0,y2，3,y3都在二次函数y=x2的图象上，则A．y1<y2<y3 B．4．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点O为坐标原点，水平方向为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（A．y=−19x2 B．y=−165．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，则a，A．a>b>c>d B．b>a>c>d C．a>b>d>c D．b>a>d>cB组·能力提升6．抛物线y=13xA．y=13x2 B．y=−2x7．在平面直角坐标系xOy中，点A−2,3，B3,4，y=ax2的图象如下图所示，则A．3 B．2 C．1.7 D．0.58．已知Pt,y1，Qt+4,yA．若t=−2，则y1=y2 C．若t>0，则y1<y2 9．如图，四边形OABC是正方形，且点A, C恰好在抛物线y=12x2上，点B在A．2 B．22 C．4 D．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2分别交抛物线y=x2x≥0，y=ax2x≥0于点A,B，且A．0.5 B．1.5 C．6−42 D．C组·拓展延伸11．已知关于x的函数y=2−axa2−7是二次函数，当x>0时y随x12．对于二次函数y=ax2和y=bx2x−1m（m≠−1）y=accy=bc+4d13．如图所示，在同一坐标系中，作出①y=−3x2；②y=−13x2；③y=−x2的图象，则图象14．已知二次函数y=ax2a≠0的图象与直线y=2x−3(1)求a和b的值；(2)当x取何值时，二次函数y=ax2中的函数值y随(3)求抛物线y=ax2与直线y=2x−3的另一个交点15．如图，在平面直角坐标系中，四条直线x=1,x=2,y=1,y=2围成正方形ABCD．(1)若抛物线y=ax2与正方形ABCD有公共点，求(2)若抛物线y=ax2与正方形ABCD没有公共点，则a专题26.2.1二次函数y=ax2的图像和性质教学目标掌握二次函数y=ax2的图象与性质，能够熟练解决有关题目。教学重难点1.重点（1）y=ax2型二次函数的图象；（2）y=ax2型二次函数的性质；2.难点（1）应用二次函数的图象与性质，判断各点的函数值的大小关系。知识点01知识点01二次函数y=ax2的图象1.绘制二次函数y=ax2图象的步骤画函数图象时，常用的方法是描点法。画二次函数图象也可以用描点法，一般按照以下步骤进行：第一步：列表。在自变量允许的范围内，让x取一此代表性的值(正数、负数或0)，代入函数解析式，求出对应的y值,列出表格。第二步：描点。把表中每一组对应值(x,y)看作平面直角坐标系中的一个点，并在坐标系中描出这些点。第三步：连线。用平滑的曲线顺次连接所描出的点，得到函数图象。2.二次函数y=ax2的图象特征①二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴②当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。③a影响抛物线的开口大小和方向。|a|越大,抛物线开口越小；|a|越小,抛物线开口越大。【即学即练】1．抛物线y=3x2的图像大致是（A． B．C． D．【答案】A【分析】根据y=3x本题主要考查了而函数y=ax2图像与性质，熟练掌握【详解】解：∵抛物线y=3x2中，∴图像开口向上，且顶点为坐标原点，故选：A．2．二次函数y=x2的图象经过下列点中的（A．0,1 B．(2,4) C．(−1,−1) D．(4,2)【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过．【详解】A．0,1，x=0时，y=0B．(2,4)，x=2时，y=2C．(−1,−1)，x=−1时，y=−1D．(4,2)，x=4时，y=故选：B．3．已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是______【答案】a【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系即可得出答案．【详解】解：观察图象可知，y=a2xy=a1x2和y=a3x∴a2故答案为：a24．关于函数y=−3x2与y=1A．开口向上 B．都有最低点 C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数y=ax2的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数【详解】∵函数y=−3x2的a=−3<0，开口向下，有最高点，当x<0时y随x增大而增大，当x>0时y随函数y=12x2的a=12>0，开口向上，有最低点，当x<0时y随x∴A、B、C均不是共同点；∵两个函数均为y=ax∴对称轴都是y轴，故D正确.故选：D．5．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2x2和(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；(2)抛物线y=2x2，当x______时，抛物线上的点都在(3)函数y=−12x2，对于一切x的值，总有函数y______0；当【答案】(1)图见解析；二次函数y=2x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数y=−12x(2)≠，低．(3)≤，=，大，0．【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键．（1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）根据函数y=2x（3）根据函数y=−1【详解】（1）解：图象如图：由图可得：二次函数y=2x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数y=−12x（2）解：抛物线y=2x2，当x≠0时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最低点故答案为：≠，低．（3）解：函数y=−12x2，对于一切x的值，总有函数y≤0；当故答案为：≤，=，大，0．知识点02知识点02二次函数y=ax2的性质由函数y=ax2的图象总结性质如下：y=aa>0当a<0大致图象开口方向开口向上开口向下开口大小a的绝对值越大，开口越小a的绝对值越小，开口越大顶点坐标（0，0）对称轴y轴离对称轴越远的函数值越大离对称轴越近的函数值越小y轴离对称轴越远的函数值越小离对称轴越近的函数值越大增减性对称轴右边y随x的增大而增大。对称轴左边y随x的增大而减小。对称轴右边y随x的增大而减小。对称轴左边y随x的增大而增大。最值函数值有最小值这个值是0。函数值有最大值这个值是0。【即学即练】6．关于函数y=12x2，y=xA．顶点坐标相同 B．对称轴相同C．图象形状相同 D．最低点相同【答案】C【分析】本题考查了y=ax²的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．根据y=ax²的性质求解即可．【详解】解：函数y=12x2，y=x二次函数y=ax²，顶点坐标均为0,0，对称轴均为y轴，最低点均为0,0，但a值分别为12∴图象开口大小不同，形状不同，故选：C．7．若抛物线y=1−mx2有最低点，则m【答案】m【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象开口的方向与二次项系数的关系是解题的关键．根据题意，函数有最低点可知二次函数图象开口向上，由此解出答案．【详解】解：∵抛物线y=1−m∴二次函数图象开口向上，即1−m＞0，解得故答案为：m＜8．当x为何值时，二次函数y=−x2中y随x的增大而减小（A．x=0 B．x<0 C．x>0 D．x≤0【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．根据二次函数y=−x2开口向下，对称轴为【详解】∵二次函数y=−x2的二次项系数为∴抛物线开口向下，对称轴为x=0，∴当x>0时，y随x的增大而减小，故选：C．9．已知点A−2,y1，B−1,y2在二次函数y=1A．y1>y2>0 B．y2【答案】A【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，通过直接计算点A和点B在二次函数上的函数值，比较y1和y【详解】解：∵点A−2,y1，B∴y1=∵4∴y1故选：A．题型01y=ax2的图象【典例1】二次函数y=−4x2的图象可能是（A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键．根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可．【详解】解：∵y=−4x∴a=−4<0，∴抛物线开口向下，故选：A．（1）考查方向：图象的开口方向、开口大小、顶点、对称轴，以及根据图象判断系数a的正负和大小。（2）核心方法：抓住a（1）考查方向：图象的开口方向、开口大小、顶点、对称轴，以及根据图象判断系数a的正负和大小。（2）核心方法：抓住a的作用：a>0开口向上，a<0开口向下，∣a∣越大开口越小；图象恒过原点，顶点为(0,0)，对称轴为y轴。【变式1】在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．解法一：分a>0和a<0，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可；解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题．【详解】解法一：当a>0时，函数y=ax2的图象开口向上，函数当a<0时，函数y=ax2的图象开口向下，函数解法二：A项，由一次函数的增减性，知a<0，由一次函数图象与y轴的交点，知a>0，故A不符合题意；B项，由二次函数的图象，知a>0，由一次函数的图象，知a>0，故B符合题意；C项，由二次函数的图象，知a<0，由一次函数的图象，知a>0，故C不符合题意；D项，由二次函数的图象，知a>0，由一次函数的图象，知a<0，故D不符合题意．故选：B．【变式2】抛物线y=−2x2的开口方向是【答案】向下【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键．对于二次函数y=ax2（a是常数且a≠0），当a>0时，二次函数开口向上，当【详解】解：∵抛物线解析式为y=−2x2，∴抛物线的开口方向是向下，故答案为：向下．【变式3】下列关于函数y=−12x2的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据函数y=−1【详解】①二次函数y=−1②因为a=−1③因为b=0，所以对称轴是y轴，正确；④顶点（0，0）也正确．故选：D．【变式4】二次函数y=ax2的图象过点2,4，则a的值是（A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】本题考查的是二次函数的性质，将点2,4代入二次函数解析式，直接求解a的值．【详解】解：∵点2,4在函数y=ax∴4=a×2即4=4a，∴a=1．因此，a的值为1．故选：D【变式5】在同一坐标系中画出y1=2xA． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与【详解】解：依题意，y2开口向下，y1和y3开口向上，且y故选：D．【变式6】分别在同一坐标系内作出下列函数的图象．(1)y=12x(2)y=3x2，y=−2x【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查二次函数的图象，用描点法画函数图象．（1）根据描点法，可得y=12x（2）根据描点法，可得y=3x2，y=−2x【详解】（1）解：各取5个点，坐标如下：x−4−2024y=82028y=−−8−20−2−8在平面直角坐标系中，画出y=12x（2）解：各取5个点，坐标如下：x−2−1012y=31230312y=−2−8−20−2−8x−6−3036y=1230312在平面直角坐标系中，画出y＝3x2，y＝﹣2x2，y=13x【中考链接】已知二次函数y=ax2，y=bx2，y=cx2，y=dx2的图象如图所示，则a，【答案】a>b>c>d【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此可根据“当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，a越大，开口也就越小”进行求解即可．【详解】解：由图象可知：a>b>0>c>d；故答案为a>b>c>d．题型02y=ax2的性质【典例1】抛物线y=2x2，y=−2xA．开口向上B．顶点坐标都是0,0C．对称轴是y轴D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；分别分析每个二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，找出共同点即可．【详解】解：对于y=2x∵a=2>0，∴开口向上，顶点0,0，对称轴为y轴，在x>0时y随x增大而增大；对于y=−2x∵a=−2<0，∴开口向下，顶点0,−1，对称轴为y轴，在x>0时y随x增大而减小；对于y=−x∵a=−1<0，∴开口向下，顶点0,3，对称轴为y轴，在x>0时y随x增大而减小；综上，三条抛物线对称轴均为y轴；故选C．（1）考查方向：y=ax2的增减性、最值、函数值大小比较、参数取值以及图象上点的坐标关系。（2）核心方法：利用对称轴y轴和开口方向判断性质：a>0时离对称轴越远函数值越大，有最小值0；a<0时离对称轴越远函数值越小，有最大值0。（1）考查方向：y=ax2的增减性、最值、函数值大小比较、参数取值以及图象上点的坐标关系。（2）核心方法：利用对称轴y轴和开口方向判断性质：a>0时离对称轴越远函数值越大，有最小值0；a<0时离对称轴越远函数值越小，有最大值0。【变式1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2的对称轴是【答案】y轴（或直线x=0）【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，即可得出答案．【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2的对称轴是故答案为：y轴（或直线x=0）．【变式2】已知Pt,y1，QA．若t=−3，则y1=y2 C．若t>0，则y1<y2 【答案】D【分析】本题考查二次函数y=2x【详解】解：∵二次函数y=2x2开口向上，对称轴为x=0（y轴），在x<0时单调递减，选项A：当t=−3时，P−3,y1，Q3,选项B：若y1=y2，则P、Q关于y轴对称，∴选项C：若t>0，则0<t<t+6，∵函数在x>0时单调递增，∴y1选项D：若y1<y2，则t<t+6，两边平方得t2<(t+6)2，化简得12t>−36，即t>−3，并非t>0（如故选：D．【变式3】已知二次函数y=x2，当−1≤x≤3时，y的取值范围是（A．1≤y≤3 B．0≤y≤3 C．0≤y≤9 D．1≤y<9【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定开口方向，求二次函数y=x2在【详解】解：∵y=x2是开口向上的抛物线，顶点在∴当x=0时，y=0为最小值，当x=−1时，y=1；当x=3时，y=9，∴在−1≤x≤3时，最大值为9，因此y的取值范围是0≤y≤9．故选：C．【变式4】已知二次函数y=2025x2图像上有两个不同的点Pt₁,12，【答案】0【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据解析式可得对称轴为y轴，再由P、Q两点的纵坐标相同可得点P、Q关于y轴对称，据此可得答案.【详解】解：对于二次函数y=2025x2，对称轴为∵点Pt₁,12∴点P、Q关于y轴对称，∴t故答案为：0．【变式5】有下列二次函数：①y=−3x2；②y=23A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数a的绝对值|a|决定，|a|越小开口越大，|a|越大开口越小．比较三个函数的|a|值即可得出开口大小顺序．【详解】解：∵二次函数图象的开口大小由系数a的绝对值|a|决定，|a|越小开口越大，|a|越大开口越小，对于①y=−3x2，对于②y=23x2，对于③y=−43x2，∴|a|从小到大为：②<③<①，故开口从大到小为：②>③>①，即②③①．故选：C．【中考链接】已知点A−2,y1，B0,y2，C1,y3都在二次函数y=−A．y1>y2>y3 B．【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数的增减性即可解答．【详解】解：∵y=−x∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0，∵点A−2,点B0,点C1,∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：y2故选：C．A组·基础过关1．抛物线y=x2的顶点坐标是（A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1）【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键；利用二次函数y=ax【详解】解：∵二次函数的形式为y=ax2时，其顶点坐标为又∵抛物线y=x2符合y=ax∴抛物线y=x2的顶点坐标是故选：C．2．已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2,3)，则a的值为（A．34 B．43 C．29【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质．将P(2,3)代入解析式即可求出a的值．【详解】解：∵二次函数y=ax2的图像经过点∴3=a×2即3=4a，∴a=3故选：A．3．已知点−1,y1，0,y2，3,y3都在二次函数y=x2的图象上，则A．y1<y2<y3 B．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出y1【详解】解：∵点−1,y1在二次函数∴y1同理可得，y2=0∵0<1<9，∴y2故选：C．4．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点O为坐标原点，水平方向为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（A．y=−19x2 B．y=−16【答案】A【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解．根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为0,0，则可设该函数解析式为y=ax2a≠0【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为0,0，设该函数解析式为y=ax∵当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4则点B6,−4将点B6,−4代入可得，−4=a×解得a=−1∴抛物线的表达式为y=−1故选：A．5．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，则a，A．a>b>c>d B．b>a>c>d C．a>b>d>c D．b>a>d>c【答案】C【分析】本题考查了二次函数y=ax2的性质：①抛物线y=ax2的开口大小由a决定，a越大，抛物线的开口越窄，a越小，抛物线的开口越宽；②抛物线y=ax2的开口方向由a决定，当【详解】解：∵抛物线y=ax2、且抛物线y=ax∴a>b>0，∵抛物线y=cx2、且抛物线y=cx∴c<d<0，∴a>b>d>c．故选C．B组·能力提升6．抛物线y=13xA．y=13x2 B．y=−2x【答案】A【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线y=ax2的开口大小由二次项系数a的绝对值决定，【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为13，−2，3|13|=1∵13<又∵对于抛物线y=ax∴抛物线y=17．在平面直角坐标系xOy中，点A−2,3，B3,4，y=ax2的图象如下图所示，则A．3 B．2 C．1.7 D．0.5【答案】D【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题．分别将A，B两点的横坐标代入y=ax2，由图像知，x=−2时，y=4a<3，当x=3时，【详解】解：将x=−2代入y=axy=4a，将x=3代入y=axy=9a，根据图像可知，x=−2时，y=4a<3，当x=3时，y=9a>4，则有：4a<39a>4解得：49∴只有0.5满足，故选D．8．已知Pt,y1，Qt+4,yA．若t=−2，则y1=y2 C．若t>0，则y1<y2 【答案】D【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是关键．通过计算点P和点Q的纵坐标，结合二次函数性质，判断各选项正误．【详解】解：根据题意，y1A、若t=−2，则y1∴y1B、若y1=y2，则t2解得t=−2，正确；C、若t>0，则t+4>t>0，∴(t+4)2>t∴y1D、若y1<y2，则t2解得，t>−2，但t>−2不一定t>0，如t=−1时y1=1<y∴错误；故选：D．9．如图，四边形OABC是正方形，且点A, C恰好在抛物线y=12x2上，点B在A．2 B．22 C．4 D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数和正比例函数的结合，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据正方形的性质求出直线OA的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可．【详解】解：根据正方形的性质可得∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，联立y=1解得x=2y=2或x=0∴A2,2由勾股定理得OA=2∴OB=O故选：C．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2分别交抛物线y=x2x≥0，y=ax2x≥0于点A,B，且A．0.5 B．1.5 C．6−42 D．【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，先求出A点坐标，进而求出B点坐标，待定系数法求出a的值即可．【详解】解：∵直线y=2分别交抛物线y=x2x≥0，y=a∴A,B的纵坐标均为2，当y=x2=2∴A2∵AB=1，∴B2把B2+1,2代入y=ax解得a=2故选C．C组·拓展延伸11．已知关于x的函数y=2−axa2−7是二次函数，当x>0时y随x【答案】−3【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可．【详解】解：∵y=2−a∴aa解得a=±3，∵当x>0时，y随x的增大而增大，∴二次项系数2−a>0，即a<2，∴a