人教版高考数学必修二 题型突破 第34讲 外接球问题（解析版）

第34讲外接球问题题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，）【例1】若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】正方体的体对角线长为，所以球的直径，所以球的表面积为.故选：C【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】设正方体的边长为，则，正方体的对角线长为，所以球的直径，半径，所以球的体积为.故选：A【题型专练】1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据长方体外接球直径，可求出半径R，再由球体表面积公式，即可求出结果.【详解】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积故选：C.2．已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_____________．【答案】【分析】由正方体表面积求出正方体棱长，再根据球直径等于内接正方体体对角线，得球的半径，代入球的体积公式.【详解】因为正方体表面积为,所以正方体棱长为，又因为球的直径等于其内接正方体体对角线，所以球直径，球半径，体积.故答案为：.题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，）设长方体相邻的三条边棱长分别为，，．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1侧面（侧棱）两两垂直，图2所有面均为直角三角形，（线面垂直+线线垂直）；图3俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形，图4若是长方体则为对棱相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）图4中（长方体），,．【例1】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______________．【答案】【分析】根据题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，因此以三条侧棱为长、宽、高构造正方体如图所示，该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，利用长方体的对角线长公式算出球的直径，再根据球的表面积公式加以计算，可得答案．【详解】解：设三棱锥中，面、面、面两两互相垂直，，则、、两两互相垂直，以、、为长、宽、高，构造正方体如图所示，可得该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，设球半径为，可得正方体的对角线长等于球直径，即，解得，外接球的表面积是．故答案为：．【例2】已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】设，，分别为，中点，，且，为边长为2的等边三角形，，又，，，在中，由余弦定理，作于，，为中点，又，，解得，，又，，，两两垂直，即三棱锥是以，，为棱的正方体的一部分；所以球的直径，解得，则球的体积【例3】表面积为的正四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据表面积求得正四面体的棱长，再结合正方体的外接球半径的求解，即可求得结果.【详解】设正四面体的棱长为，则根据题意可得：，解得；该正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球的半径相等，又正方体的外接球半径为，故该正四面体外接球的表面积.故选：B.【例4】设是半径为2的球面上的四个不同点，且满足，，，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是______.【答案】8【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解.【详解】设,因为两两垂直，扩展为长方体，所以该长方体的体对角线为球的直径，所以，，因为所以，当且仅当时取得等号，故答案为:8.【例5】我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为__________．【答案】【分析】根据题意将三棱锥还原到长方体中，如图所示，求出长方体的体对角线的长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积.【详解】解：将三棱锥还原到长方体中，如图所示则长方体的外接球的半径为故所以三棱锥外接球的表面积为，故答案为：【例6】如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A，B，C，D满足，，，则该“鞠”的表面积为____________.【答案】【分析】根据给定条件，四面体可作为一长方体的四个顶点，再利用长方体求出“鞠”的直径即可计算作答.【详解】在四面体中，因，，，则点是某一长方体的四个顶点，如图，令此长方体的长、宽、高分别为，则有，即有，令该长方体的外接球的半径为，因此，该“鞠”的表面积为.故答案为：【题型专练】1．四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为________.【答案】.【分析】根据题意将四面体补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四面体外接球的直径的长，从而可求出球的半径，进而可求出其表面积.【详解】根据题意将四面体补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四面体外接球的直径的长，设外接球的半径为，因为，，，所以，所以，所以球的表面积为，故答案为：2．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．【详解】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径，设球半径为，则，球表面积为．故选：C．3．正四面体内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a，由正四面体几何性质得出a与外接球半径R的关系式，即可求比值【详解】设正四面体的棱长为2a，正四面体的外接球心为O，的内心为M，则平面ABC，由平面ABC，则，由，则.故选：C4．在四面体中，已知点E，F分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为__________．【答案】【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱，且对棱中点E，F分别满足，，则可构造长方体使得四面体的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面体的外接球如下图所示：设长方体的长、宽、高分别为则，所以外接球的半径，即四面体的外接球半径为.故答案为：.5．在半径为R的球面上有A，B，C，D四点，且直线两两垂直，若的面积之和为6，则此球体积的最小值为______________．【答案】【分析】本题相当于求三棱锥的外接球体积的最小值.先把三棱锥补形成一个长方体，可得外接球的直径为长方体的体对角线，分析已知条件，再借助基本不等式求出半径的最小值，最后可求出球的体积最小值.【详解】因为线段两两垂直，所以三棱锥可以补全为一个长方体，线段分别为长方体的长、宽、高，则半径为R的球即为长方体的外接球.令，所以有又因为的面积之和为6，所以，即.由基本不等式有，所以，当且仅当时等号成立，此时，.故答案为：.6．已知三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的体积为___________.【答案】【分析】根据三棱锥的顶点是长方体的顶点即可求解.【详解】由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由图可知长方体的长宽高分别为，所以体对角线长，所以外接球的体积等于.故答案为:.7.四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，，，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．【答案】50π【分析】把四面体补成一个长方体，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此可求得外接球半径，从而得表面积．【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体A﹣BCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，且分别以a，b，c为长、侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41，设球半径为R，则有(2R)2＝a2+b2+c2＝50，∴4R2＝50，∴球的表面积为．故答案为：．题型三：圆柱的外接球（，其中为底面圆的半径，为圆柱的高）【例1】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．C．D．【答案】B【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.【题型专练】1.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.【答案】【分析】设圆柱的底面半径为，由题意可知圆柱的高为，再根据圆柱的底面与外接球的关系，可利用勾股定理即可求出圆柱外接球半径，由两几何体的体积公式求出各自的体积，由此即可求出比值.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的内切球的半径为，∴圆柱的高为，∴圆柱的体积为，又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，∴圆柱的外接球半径，∴圆柱的外接球体积为，故.故答案为：.题型四：直棱柱的外接球（，其中为底面外接圆的半径，为棱柱的高）【例1】设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则该直三棱柱的体积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积.【详解】设.因为，所以.由正弦定理得是外接圆的半径），.又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为.所以球的表面积为，解得.因此该直三棱柱的体积是故选：A.【例2】在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为_________.【答案】【分析】求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.【详解】设三角形的外接圆半径为，设直三棱柱的外接球的半径为，，则为钝角，则，所以，所以，所以外接球的表面积是.故答案为：【例3】若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有定点都在一个球的面上，则此球的体积是___________．【答案】【分析】计算出正六棱柱的外接圆直径，进而可求得外接球的半径，利用球体体积公式即可计算出正六棱柱的外接球的体积.【详解】如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱外接球的球心，设球的半径为，则，可作出正六棱柱的外接圆，可将正六棱柱放在圆柱中，如下图所示：连接、，则，且，则为等边三角形，则圆的半径为，正六棱柱的侧棱长为，设正六棱柱的外接球的半径为，则，所以，，因此，正六棱柱的外接球体积为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.【题型专练】1．如图，在直三棱柱中，，则此直三棱柱的外接球的体积是___________.【答案】【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成正方体，利用它们有相同的外接球，求出正方体的体对角线长即可得解.【详解】直三棱柱共点于的三条棱两两垂直，则以为相邻三条棱可作正方体，该正方体与直三棱柱有相同的外接球，外接球的直径2R即为正方体体对角线长，即，此球的体积为，故答案为：.2．若三棱柱的底面是以为斜边的直角三角形，⊥平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____．【答案】【分析】利用勾股定理求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.【详解】三棱锥的外接球即直三棱柱的外接球，直角三角形的外心在斜边的中点，所以外接球的半径，所以外接球的表面积为.故答案为：3．已知直三棱柱中，，则该三棱柱外接球的体积为__________.【答案】【分析】先利用正弦定理求地面的外接圆半径，然后利用勾股定理求外接球的半径，最后求得体积.【详解】棱柱底面的外接圆直径，所以该三棱椎外接球的半径，所以该三棱柱外接球的体积为故答案为：4．已知在直三棱柱中，，，，则点到平面的距离为______；若三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球体积为______．【答案】

【分析】利用等体积法，结合题干数据可求解点到平面的距离，将直三棱柱补全为以为三相邻棱的长方体，可知长方体的外接球即为直三棱柱的外接球，即为三棱锥的外接球，求解即可.【详解】由题意，点到平面的距离可以看作三棱锥的高，不妨记为，由于直三棱柱，故平面，故，，即，，故，解得，将直三棱柱补全为以为三相邻棱的长方体，可知长方体的外接球即为直三棱柱的外接球，即为三棱锥的外接球，故外接球的半径，体积故答案为：，.题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（，其中为底面外接圆的半径，为棱锥垂直于底面的棱）【例1】已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且其面积为，平面ABC，AD＝2，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理可得外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体的外接球的半径，即可求出球O的表面积.【详解】因为为等边三角形且其面积为，所以的边长为，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，，取底面中心为，即∵平面ABC，AD＝2，过作，且取，则即是四面体外接球的球心，半径，在中，，则，所以球O的表面积为.故选：D.【例2】已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径.【详解】在等腰中，易知，所以，的外接圆的半径为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径为.所以其表面积为.故选：B.【例3】三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根据各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外接球的表面积．【详解】由于三棱锥中，平面ABC，，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：则体对角线即为外接球的直径，所以，故三棱锥的外接球表面积为．故选：D【题型专练】1．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角.设四面体外接球的圆心为，则球的体积为__________.【答案】##【分析】先证明出△PCD和△PBC均为直角三角形，得到O点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．【详解】在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以，在△BCD上，，由余弦定理可得：，所以，所以∠CBD＝90°．所以BD⊥CB．又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．则△PCD和△PBC均为直角三角形，当O点为PC中点时，OP＝OD＝OB＝OC，此时O为四面体PBCD的外接球的球心．∵直线PA与平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，则∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，又，∴四面体PBCD外接球的半径为，所以四面体PBCD外接球的体积为．故答案为：．2．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【分析】首先根据题意易证，，再根据勾股逆定理得到，从而得到三棱锥的外接球半径，即可得到答案.【详解】如图所示：因为平面，平面，平面，所以，.因为，，所以，因为，，所以，在中，，，，满足，即.因为在三棱锥中，平面，，所以三棱锥的外接球半径，故三棱锥的外接球的体积为.故答案为：3．已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，，则该球的表面积为______.【答案】【分析】根据外接球的性质可得的外接圆直径，与外接球直径构成勾股定理，进而求得外接球直径，进而求得表面积即可.【详解】由题意，的外接圆直径，且的外接圆直径，与外接球直径构成勾股定理，所以外接球直径满足.故外接球表面积.故答案为：4．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为__________．【答案】【分析】根据题意将三棱锥还原到长方体中，如图所示，求出长方体的体对角线的长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积.【详解】解：将三棱锥还原到长方体中，如图所示则长方体的外接球的半径为故所以三棱锥外接球的表面积为，故答案为：题型六：圆锥的外接球【例1】一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而得出球的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为，因为圆锥母线长为，侧面积，所以，解得，所以，圆锥的高，设球半径为R，球心为，其过圆锥的轴截面如图所示，由题意可得，，即，解得，所以，．故答案为：．【例2】已知圆锥的底面半径为R，高为，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何特点，求得圆柱的高，再求全面积即可.【详解】根据题意，作图如下：易知△，故可得，即，故可得，故圆锥的内接圆柱的全面积为：.故选：.【题型专练】1.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，，所以，，，，则，所以，，又因为，所以，，所以，，，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.题型七：棱台圆台的外接球【例1】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．【例2】已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为，则此圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到，，，利用勾股定理得到，最后利用圆台的体积公式求体积即可.【详解】如图为圆台及其外接球的轴截面，为外接球球心，，为等腰梯形的下底和上底的中点，所以，，因为外接球的表面积为，所以外接球的半径为，圆台下底面半径为4，所以，，则，，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为.故选：C.【题型专练】1．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥底面为矩形，且，，高为2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为，如图2，该棱台外接球的球心为O，半径为R，上底面中心为，下底面中心为，则由题意，，，，当O在下方时，设，则在中，有：（1），在中，有：（2），联立（1）、（2）得，，所以刍童外接球的表面积为．同理，当O在中间时，设，则有，，解得，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为．故选：C2．在正四棱台中，，，则该棱台外接球的半径为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】[解法1]设所求外接球球心为，则在上下底面中心的连线上，利用勾股定理可求得，设，在和中，利用勾股定理可构造方程组求得，即可得解.[解法2]同解法1，求得直角梯形的各边，利用图形的特殊性，作出的中垂线，与的延长线交点即为球心,由此进行计算即可.【详解】[解法1]由题意知：四边形均为正方形，为上下底面的中心，设正四棱台的外接球球心为，外接球半径为，则直线；，，，又，，当位于线段上时，设，则，解得：（舍）；当位于线段的延长线上时，设，则，解得：，所以,故选：C.[解法2]同解法1，求得为直角梯形，如图所示，取的中点，连接,则为等腰直角三角形，四边形为正方形，取中点,连接并延长交的延长线于点,由于为的中垂线，所以,即O为四棱台的外接球的球心，显然，，所以外接球半径.故选：C.3．正四棱台高为2，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．【答案】【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积.【详解】如图所示，，，为外接球球心，设外接球半径为R，，由勾股定理得：，，设，则，，故，解得：，故，故球的表面积为.故答案为：题型八：正棱锥的外接球【例1】已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为，高为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的表面积为__________________．【答案】【分析】如图设底面边长为，根据锥体体积公式求，设为正三角形的中心，则平面，正三棱锥的外接球的球心O在上，在中利用勾股定理即可求出R的值，从而得到球O的表面积．【详解】由条件可得该三棱锥为正三棱锥，作出其图象，如图所示：设，则，，则，因为三棱锥的体积为，高为2，设三棱锥的高为，则，,所以，所以，设为正三角形ABC的中心，连接，由正三棱锥的性质可得⊥平面，且正三棱锥的外接球的球心O在上，设球的半径为R，连接AO，，∵的边长为，∴，在中，OA＝R，，，∴，解得：，∴球O的表面积为．故答案为：．【例2】已知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.【答案】

【分析】已知正四棱锥内切球的体积为，可求得内切球的半径，用等体积法可求得正四棱锥的高，由正四棱锥的性质可得，在中，列方程可解得外接球半径，即可求得球体的表面积.【详解】已知正四棱锥内切球的体积为，设球体的半径为，，解得，设正四面体的高为，如图所示，因为球与四棱锥相内切，所以由等体积法得：，在中，，，即，化简得：，解得，，设正四棱锥外接球的半径为，外接球的球心为，在中，，解得，所以正四棱锥外接球的表面积为.故答案为：①；②【例3】已知正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面三角形的中心）的体积为，其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．【答案】【分析】根据三棱锥体积求得底面边长和高之间的关系，结合棱锥外接球求解办法，求得外接球半径与高之间的关系，利用基本不等式求得其最小值，再求球的表面积即可.【详解】根据题意，作如下正三棱锥，即顶点再底面的射影为，连接，记该三棱锥外接球球心为，连接，如下所示：设，，，则；根据题意可得，即，则；在△中，易知，，，由可得，即，则，当且仅当时取得等号；则的最小值为，故该球的表面积的最小值为.故答案为：.【题型专练】1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积，故选A.2.正四面体内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a，由正四面体几何性质得出a与外接球半径R的关系式，即可求比值【详解】设正四面体的棱长为2a，正四面体的外接球心为O，的内心为M，则平面ABC，由平面ABC，则，由，则.故选：C3．已知正四棱锥的侧棱长为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的体积是（

）A． B． C．18 D．27【答案】A【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积公式即可求解.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长，高为，外接球的球心为,则，∵球的体积为，所以球的半径，在中，则，在中，，解得,，所以正四棱锥的体积，故选:A4.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，则空间四边形外接球的表面积为______.【答案】【分析】球心O、△BCD的外心、△ABD的外心，BD中点为E，这四个点是正方形的四个顶点，求出相关线段的长度，勾股定理求出外接球半径，算出表面积.【详解】由题意知△ABD和△BCD为等边三角形，取BD中点为E，连接AE，CE，如图所示，则AE⊥BD．由平面平面CBD，平面平面CBD=BD.平面ABD故AE⊥平面CBD，有球心O在平面BCD的投影为△BCD的外心，球心O在平面ABD的投影为△ABD的外心，有，，则在中，，所以外接球半径空间四边形外接球的表面积故答案为：．【例2】）矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】矩形中，由，设交于，由于到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心，由此能求出四面体的外接球的体积．【详解】如图：矩形中，因为，所以，设交于，则是和的外心，所以到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心，所以四面体的外接球的半径，所以四面体的外接球的体积.故选:A.【例3】已知在三棱锥中，中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，取AC的中点D，连接BD，SD，则可得为二面角的平面角，得，过点D作与平面垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，然后在△OSD中利用余弦定理可求出R，从而可求得球的表面积.【详解】如图，取AC的中点D，连接BD，SD，因为，，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为AB⊥BC，，所以，，因为，所以，过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，可得，在△OSD中，，由余弦定理可得，即，解得，所以其外接球的表面积为.故选：A.【题型专练】1.在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【答案】【分析】取的中点为分别是正三角形和正三角形的重心，是该三棱锥外接球的球心，连接,可证明，通过几何关系可得到外接球的半径为，即可得到答案【详解】取的中点为分别是正三角形和正三角形的重心，是该三棱锥外接球的球心，连接,则分别在上，平面，平面，，，因为平面平面，，平面平面，平面所以平面，所以，同理可得，所以四边形是平行四边形，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，平面，所以，∵，∴，∴四边形为正方形，∴，在直角三角形中，球半径∴外接球体积为，故答案为：2．如图，在三棱锥中，平面，，，，为垂足，则下列命题正确的是（

）A．三棱锥的外接球的表面积为.B．三棱锥的外接球的体积为C．三棱锥的外接球的体积为D．三棱锥的外接球的表面积为【答案】AC【分析】根据给定条件，取AC中点，证明点到点的距离相等，计算判断A，B；取PB，PC的中点D，E，证明平面，再确定三棱锥的外接球球心位置，并计算半径作答.【详解】在三棱锥中，取AC中点，连接，如图，因，，，则，因此点是三棱锥的外接球球心，球半径为，球表面积为，球体积为，A正确，B不正确；因平面，平面，则，而，平面，因此平面，取PB，PC的中点D，E，连DE，如图，有，于是得平面，而，则三棱锥的外接球被平面截得的小圆圆心为D，因此该球的球心O在直线DE上，连接，令球O半径为R，而，令，即有，，在中，，，，在中，，由得：，即，解得，从而得，三棱锥的外接球体积为，表面积为，C正确，D不正确.故选：AC【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（

）A．该二十四等边体的外接球的表面积为B．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式C．直线与的夹角为60°D．平面【答案】D【分析】将二十四等边体补齐成正方体，根据空间几何相关知识进行判断.【详解】由已知，补齐二十四等边体所在的正方体如图所示记正方体体心为，取下底面中心为，二十四等边体的棱长为2易知，则外接球半径所以外接球的表面积，故A正确.由欧拉公式可知：顶点数面数棱数2，故B正确.又因为∥，易知直线与的夹角即为直线与的夹角为，故C正确.又因为∥，∥，易知直线与直线的夹角为可知直线与直线不垂直，故直线与平面不垂直，故D错误.故选：D【例2】如图，已知正方体的棱长为1，，分别为正方体中上、下底面的中心，，，，分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（

）A．直线与直线所成角为 B．二面角的正切值为C．这个八面体的表面积为 D．这个八面体外接球的体积为【答案】ACD【分析】A.根据几何关系，将异面直线所成角，转化为相交直线所成角；B.构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解，转化为正切值；C.根据几何体的特征，计算一个等边三角形的面积，再求八面体的表面积；D.由几何体确定外接球的球心和半径，再求外接球的体积.【详解】A.连结，交于点，由正方体的性质可知，点平分，所以四边形是平行四边形，所以，所以直线与直线所成角为,因为八面体的由8个全等的等边三角形构成，所以，故A正确；B.取的中点，的中点，连结，，,由图可知，八面体的表面是8个全等的等边三角形，四边形是正方形，所以，，所以是二面角的平面角，等边三角形的边长为,所以,，所以,，所以，故B错误；C.这个八面体的表面为8个全等的等边三角形，等边三角形的边长为可求得，所以八面体的表面积为，故C正确；D.八面体外接球的球心即为四边形的中心，外接球的半径为，八面体外接球的体积为，故D正确．故选：ACD【例3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面