2026新教材数学 人教版八年级上册数学 16.3.2完全平方公式 教学课件

1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何意义.2.灵活应用完全平方公式进行计算.多项式乘多项式(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn平方差公式(a+b)(a－b)=a2+b2？一般形式特殊形式这节课我们一起来学习另一种特殊形式.回

顾你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：aabbabababa²b²ab一、用完全平方公式分解因式这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=（a+b）2a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：ababa²ababb²a2+2ab+b2

a2-2ab+b2

我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍探索新知你能几何的形式证明公式成立吗?思路：(a－b)2=

.a2－2ab＋b2整体求：总面积

＝(a－

b)2.部分求：面积差

＝

a2－ab－b(a－b)

＝

a2－ab－ab＋b2.a－baaabb(a−b)bb(a－b)2a−b探索新知完全平方公式(a＋b)2

＝a2＋2ab＋b2是多项式乘法

(a＋b)(p＋q)中p＝a，q＝b的特殊情形.(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-

b)2＝a2

-

2ab+b2.两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.公式的特征积为二次三项式、积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；公式中的字母

a、b可以表示数、单项式或多项式.123追问1

运用添括号法则计算时，要注意什么问题？

(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9注意（1）有些整式相乘需要先作适当变形，再用乘法公式计算．（2）计算时准确把握添括号前后各项的符号是关键．追问2第（2）题还有其他做法吗？（2）(a＋b＋c)2

＝[a＋(b＋c)]2

＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2

＝a2＋2ab＋2ac＋b2＋2bc＋c2

＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc．

这是完全平方公式的推广运用，其结果的规律性和完全平方公式是一致的．把b＋c看作整体．完全平方公式

运算法则：文字说明：

两个数的_________的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的_____.(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2–2ab+b2和(或差)

2

倍

这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.定义总结典例精析例1

运用完全平方公式计算：解：(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2×(4m)·

n+n2+8mn+n2.(2).baaba2ababb2你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗?(a-b)2abbaababb2

图1图2baaba2ababb2

图1如图，边长为(a+b)的正方形的面积是

.(a+b)2它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和：

.a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2【结论】(a+b)2=a2+2ab+b2(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.解：992=(100–1)2=10000-

200+1=9801.

例

运用完全平方公式计算：积的次数和项数相同的项不同的项和的完全平方公式

差的完全平方公式

问题：观察这两个公式，回答下列问题.(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-

b)2=a2

-

2ab+b2.二次三项式二次三项式a2，b2a2，b2+2ab-2ab公式中的字母

a，b可以表示数，单项式还可以表示多项式吗？想一想做一做下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该怎样改正？

(p

1)2=p2

1

(m

2)2=m2

2m+4

(x+y)2=x2+y2

(

x+y)2=x2+2xy+y2(2x+y)2=x2+2xy+y2

(m2n)2=m2

4mn+4n2(

x+y)2=x2

2xy+y2(p

1)2=p2

2p+1(m

2)2=m2

4m+4(x+y)2=x2+2xy+y2(2x+y)2=x2+4xy+y2典型例题【例1】运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2

；(2)(y

)2

解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2

(4m)

n+n2

=

16m2+8mn+n2；(2)(y

)2=y2

2

y+()2=y2

y+.

利用乘法公式计算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.＝(2016–2015)2＝1.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)

x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36–16＝20；解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.利用完全平方公式的变形求整式的值(1)用两种不同方法表示图④中阴影部分面积：方法1：__________________，方法2：____________________；(2)由(1)可得到一个等量关系式为_________________________；(3)若m＋n＝5，m2＋n2＝20，求(m－n)2的值；(a－b)2(a＋b)2－4ab(a＋b)2－4ab=

(a－b)2解：(3)由(2)可得(m－n)2＝(m＋n)2－4mn，因为m＋n＝5，m2＋n2＝20，所以(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝25，所以2mn＝5，所以4mn＝10，所以(m－n)2＝25－10＝15.(4)如图⑤，小明家打算在自家长方形土地(即长方形ABCD)旁边，以AB、AD为边分别向外用篱笆围出正方形ABEF、正方形ADGH两块空地(不包含长方形ABCD的边长)，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，已知篱笆一共长210m