2027届湖南T8联盟高三9月校内检测卷数学试题+答案

2027届高三年级9月阶段练习

数学

(满分：150分用时：120分钟)

注意事项：

1.答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.一些盆栽植株的高度(单位：cm)分别为5.8,7.3,4.4,7.8,6.6,则这组数据的极差为

A.0.8B.1.4C.2.9D.3.4

2.已知集合A={x|log₂(3—x)≥1},B={x|x²—3x≤0},则A∩B=

A.[0,1]B.(0,1)C.[1,3]D.[0,3]

3.已知{m,n}是平面内的一组基底，记向量a=3m+2n,b=6m—kn,若a与b共线，则

k=

A.一4B.—2C.2D.4

4.已知数列{an}的前n项积Tn=n+1,则a2026=

A.BC

D.

5.已知函数f(x)=x³+1nx,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线与两坐标轴围成的三角

形的面积为

A.BCD.

6.已知椭圆E1的焦点是椭圆E₂;的顶点，点到

E₂焦点的距离为,则b=

ABCD.1

数学第1页共4页

7.现有8个小队，分别编号为1,2,…,8,记编号为n的小队的人数为an,已知a₁,a₂,a₃,

a4,as,a₆成等差数列，a₅,a6,a7,a₈成等比数列.若a₁=96,ag=4,则这8个小队的总人

数为

A.254B.286C.312D.348

8.若函数f(x)=xsinax在区间(0,π)上有奇数个极小值点，则a的值可以是

A.1B.3C.4D.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z=(a³—3a)+(3a²—1)i的实部为a(a>0),且z和z²在复平面内对应的点

分别为A,B,则

A.a=1B.|z|=5√5

C.A在第一象限内D.B在第四象限内

的部分图象如图所示，其中点C(0,√2)在曲

10.函数

线y=f(x)上，若,则

A.w=3

B.

是奇函数

D.曲线y=f(x)在点C处的切线斜率为3√2

11.在平面直角坐标系Oxy中，双曲线E:1(a,b>0)的左、右焦点分别为F₁,

F₂,直线与E在第一象限内相交于点P,过点P作x轴的平行线与E相交于

另一点Q,若PF₁⊥PF₂,|F₁F₂I=2√5,则

AB.E的渐近线方程为

D.△OPQ的外接圆半径为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数为(用

数字作答).

13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x都有f(x+a)=x²+2x+3,则a=

14.在正三棱锥P-ABC中，E为棱PC的中点，四点P,A,B,E在球O₁的球面上，A,B,C,E在

球O₂的球面上，若AB=2O₁O₂=2√3,则点P到平面ABC距离的平方为

数学第2页共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S₂=3.

(1)若a₃=4a₁,求a₁;

(2)若q²>4,求S₃的取值范围.

16.(本小题满分15分)

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，∠DAB=∠PAD=∠PAB

=90°,且AB=4,PA=AD=2.

(1)求证：CD⊥PD;

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

17.(本小题满分15分)

某博物馆工作人员将古籍放入展柜前需读取某项评价指标X,古籍的实际状态分为可

直接入柜与需干燥两类，抽取一本古籍可直接入柜的概率为p.当古籍可直接入柜时，

X～N(60,16);当古籍需干燥时，X～N(68,16).规定X≤64时，古籍将被登记.现任取

一本古籍.

(1)求该本古籍被登记的概率关于p的表达式；

(2)登记后，按费用期望较小原则选择直接入柜或复检.已知复检可避免损失，且需干燥

古籍直接入柜的损失为复检费用的4倍.若该古籍被建议复检，求p的取值范围.

附：若X～N(μ,σ²),则取P(μ-o<X<μ+o)=0.68.

数学第3页共4页

18.(本小题满分17分)

已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且曲线y=f(x)的图象为一条连续

不断的光滑曲线，f(x)>0与f'(x)>0在R上恒成立，设定义域为R的函数g(x)=

(1)求g'(x)(用含f(x)和f'(x)的代数式表示);

(2)若g'(x)≥0.

①求证：f(x)>1;

②判断方程g(x)+x=0实数根的个数，并说明理由.

19.(本小题满分17分)

在平面直角坐标系Oxy中，设抛物线C:y²=4x,点M(a,0)(a>0).过点M的直线l

与C交于A,B两点，设点O到直线l的垂足为N,记△OAB的面积为S.

(1)若a=1,且lLx轴，求S;

(2)求MA·MB·ON²关于a的表达式；

(3)当直线l变化时，若S·ON为定值，则求出a的值，并求该定值.

数学第4页共4页

2027届高三年级9月阶段练习

数学参考答案及多维细目表

题号123456+4d,可,可得

答案DAACBB5p³-4p²—24=0,(p-2)(5p²+6p+12)=0,

题号7891011而5p²+6p+12>p²+6p+9=(p+3)²≥0,故

答案DBBCACDABC,于是a₆=16,a7=qa6=8,结合等

1.【答案】D差数列的性质知总人数M=3(a₁+a₆)+a₇+

【解析】将这组数据从小到大排列，可得4.4,5.8,a₈=3×112+12=348.

6.6,7.3,7.8,故这组数据的极差为7.8—4.4=8.【答案】B

3.4.【解析】选项中a均为正整数，将区间(0,π)分成

2.【答案】A

a个小区间,其中k=0,1,…,a

【解析】由log₂(3—x)≥1得3-x≥2,解得x≤

1,∴A=[一∞,1];由x²—3x≤0得x(x—3)≤一1.在小区间内，令t=ax—kπ,则0<t<π,且

0,解得0≤x≤3,∴B=[0,3],∴A∩B=[0,1].

.设h(t)=

3.【答案】A

则当

【解析】由条件可知应有3·(一k)=2×6,解得k(kπ+t)sint,h'(t)=sint+(kπ+t)cost.

=-4.

时，h′(t)>0;;当时，h”(t)=

4.【答案】C

2cost—(kπ+t)sint<0,∴h'(t)在此区间内单

【解析】当n=1时，a₁=T₁=2.当n≥2时，an=

调递减.

,且n=1也满足此式，∴,h'(π)=—(k+1)π<

0,由零点存在性定理可知在区间(0,π)内

故h'(t)

有唯一零点，∴h(t)在区间(0,π)上先增后减，即

5.【答案】Bk为偶数时，f(x)在每个小区间内先增后减，k

为奇数时，f(x)在每个小区间内先减后增.因此

【解析】求导得,可得

极小值点个数等于0,1,…,a-1中奇数的个数.

切线方程为y-1=4(x—1),即y=4x-3,可知

代人a=1,3,4,5,可得极小值点个数分别为0,

其过点(0,—3)和,于是所求三角形面积1,2,2,只有a=3时为奇数.

9.【答案】BC

【解析】由z=(a³—3a)+(3a²-1)i的实部为

a,得a³—3a=a,即a(a²—4)=0.又a>0,得a

6.【答案】B

=2,故选项A错误；

【解析】由条件得√a²-b²=b,可得a=√2b,而

此时z=2+11i,|zl=√(2²+11²)=5√5,且点

的焦点坐标为(0,±可得

Eb),A(2,11)在第一象限内，故选项B,C正确；

又z²=(2+11i)²=-117+44i,对应点

,解得

B(-117,44)在第二象限内，故选项D错误.

7.【答案】D10.【答案】ACD

【解析】不妨设a₁,az,a₃,a₄,as,a₆的公差为d,

【解析】由I可得φ=3,故选项A

的公比为则,同

as,a6,a7,agq,正确；

理,于是.而as=a1代入x=0得2sinφ=√2,由|得

数学参考答案第1页共5页

故选项B错误；符合题意，故a=1.

14.【答案】8或12√2-16(少写不给分)

【解析】记0为△ABC中心，以O为原点，OC

π)=-2sin3x,显然其为奇函数，故选项C

的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方

正确；

向，OP的方向为z轴正方向，建立如图所示的

,f'(O)=3√2,故选项D空间直角坐标系.

正确.

11.【答案】ABC

【解析】显然,由∠POF₂∈

得,而显然IOP|=

,由余弦定理得|PF₂I²=设OP=2h,则C(2,0,0),A(-1,一√3,0),

IOPl²+I0F₂I²-2|OP|IOF₂Icos∠POF₂=B(一1,√3,0),P(0,0,2h),E(1,0,h),记

O₁(x₁,y₁,z₁),O₂(x₂,y₂,z₂),由球心到球面

,∴|PF₂I=√2,于是

的距离为半径可得(x₁+1)²+(y₁+√3)²+z}

=(x₁+1)²+(y₁—√3)²+z²=x²+y²+

,故选项A正确；

(z₁-2h)²=(x₁-1)+y²+(z₁—h)²,解

由勾股定理得|PF₁I²=|F₁F₂I²—|PF₂I²=

18,∴|PF₁I=3√2,由定义得2a=|PF₁I-

IPF₂I=2√2,∴a=√2,b=√1OF₂I²-a²=得

√3,故渐近线方程为,故选

项B正确；(x₂+1)²+(y₂+√3)²+z=(x₂+1)²+

显然P的横坐标xp满足(y₂-√3)²+z²=(x₂-2)²+y2+z²=

,由曲线对称性可知|xp=

PQI=2(x₂—1)²+y2+(z₂—h)²,解得·由

,故选项C正确；

AB=20₁O₂得

∴由正弦定理得△OPQ的外接圆半径R=

,故选项D错误.h⁸+6h⁴—18h²+4=0,(h²—2)(h⁴+8h²—2)

=0,h²=2或一4,于

12.【答案】180

【解析】数字0不能放首位，∴优先考虑首位，其是所求距离的平方d²=4h²=8或12√2-16.

解：(1)∵由得

他位置可以任选，共有AA?=6×6×5=18015.a₃=a1q²,a₃=4a₁,a1q²=4aj,

个没有重复数字三位数.又a₁≠0,∴q²=4,即q=2或q=—2.…2分

13.【答案】1由Sz=3,得a₁(1+q)=3,∴a₁(1+2)=3,或

a₁(1—2)=34分

【解析】令t=x+a,则x=t-a,∴f(t)=

∴a₁=1或a₁=—3.5分

(一

t-a)²+2(t—a)+3=t²+(2—2a)t+a²(2)由S₂=3,得a₁(1+q)=3.由q²>4,得q>

2a+3,∵f(x)为偶函数，∴f(t)的表达式中一

次项系数为0,即2—2a=0,解得a=1,经检验2,或q<-2.又S₃=a₁(1+q+q²)=

数学参考答案第2页共5页

<X<μ+σ)=0.34.又P(X<μ)=0.5,

.……………8分

∴P(G|A)=P(X≤64)=0.5+0.34=0.84.

∴由“对勾函数”的性质易知，当q>2时，S₃>…………4分

…………10分当事件B发生时，X～N(68,16),∴μ=68,c=

4,且64=μ-a.由正态曲线关于直线x=μ对

当q<-2时，称，且P(μ-o<X<μ+o)=0.68,可得P(μ-

σ<X<μ)=0.34,∴P(G|B)=P(X≤64)=

………12分

0.5—0.34=0.16.

∴S₃的取值范围为S₃<-9,或S₃>7.……

……………6分

………13分

由全概率公式，得P(G)=P(G|A)P(A)+

16.(1)证明：∵∠PAD=∠PAB=90°,∴PA⊥

P(G|B)P(B)=0.84p+0.16(1—p)=0.68p

AD,PA⊥AB.又AB∩AD=A,∴PA⊥平面

+0.16.∴该页古籍被登记的概率关于p的表

ABCD,∴PA⊥CD..2分

达式为P(G)=0.68p+0.16.……………8分

又四边形ABCD为平行四边形，∠DAB=90°,

(2)由条件概率公式，登记后该本古籍需干燥的

∴四边形ABCD为矩形，∴AD⊥CD.…4分

∵AD,PA是平面PAD内的两条相交直线，

∴CD⊥平面PAD.又PDC平面PAD,

………………10分

∴CD⊥PD.6分

(2)解：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分设复检费用为a元，则a>0,需干燥古籍直接

别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直

xyz人柜的损失为4a元.对已登记古籍，若直接入

角坐标系，则A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,2,0),

柜，其损失的费用期望为4aP(B|G);若复检，

C(4,2,0),P(0,0,2),8分

其费用期望为a.∵按费用期望较小原则建议复

∴PB=(4,0,—2),DC=(4,0,0),DP=(0,

检，则故…

-2,2).设平面PCD的一个法向量为n,……a<4aP(B|G),

………10分………13分

则n·DC=0,n·DP=0,∴n=(0,1,1)为平

由于0≤p≤1,∴17p+4>0,于是

面PCD的一个法向量.…11分

设直线PB与平面PCD所成的角为θ,则sinθ

,即16(1—p)>17p+4,整理得12>33p,

●.又o≤p≤1,∴若该古籍被建议复检，

………14分

则p的取值范围为…………15分

∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为

………15分18.解：(1)∵,∴g′(x)=

……………4分

(2)①由(1)得

17.解：(1)记“该本古籍可直接人柜”为事件A,“该

本古籍需干燥”为事件B,“该本古籍被登记”为∵g'(x)≥0,又f'(x)>0,f(x)>0,f(x)+

事件G,则P(A)=p,P(B)=1一p,且G表示1>0,∴f(x)-1≥0,即f(x)≥16分

X≤642分若存在x₀∈R,使f(xo)=1,由于f'(x)>0在

当事件A发生时，X～N(60,16),∴μ=60,σR上恒成立，∴f(x)在R上单调递增，取x。一

=4,且64=μ+o.由正态曲线关于直线x=μ1<x。,则f(x。-1)<f(x。)=1,这与f(x)≥

对称，且P(μ-σ<X<μ+o)=0.68,可得P(μ1矛盾，故f(x)>110分

数学参考答案第3页共5页

②令F(x)=g(x)+x.对任意x₁<x₂,有

…………6分

F(x₂)-F(x₁)=g(x₂)-g(x₁)+xz—x₁>

0,∴在上单调递增，因此方程

F(x)RF(x)=又MA=ly₁I√1+m²,MB=ly₂I√1+m2,

0至多有一个实根.………13分

,……………8分

由题条件可知曲线y=F(x)的图象为一条连

续不断的严格递增曲线.又F(0)=g(0)>0,取

xo=-g(0),则xo<0,从而g(xo)<g(0),

∴F(xo)=g(xo)+xo=g(xo)-g(0)<0.…

9分

………16分……………

由零点存在性定理，得F(x)在区间(x。,0)内(3)由(2)得y₁y₂=-4a<0,∴AB=MA+

至少有一个零点.又F(x)在R上严格单调递MB=(Iyil+1y₂1)√1+m²=1y₁-yzl·

增，故方程有且仅有一个实根.…

g(x)+x=0√1+m²=4√(m²+a)(1+m²),………12分

………17分

19.解：(1)由a=1且l⊥x轴，得l:x=1.将x=1

代人y²=4x,得y²=4,从而AB=4.点O到直

……………15分

线x=1的距离为1,故

…………4分当a=1时，S·ON=2为定值.………17分

(2)设直线l:x=my+a,联立抛物线方程得

∴y²—4my-4a=0,

数学参考答案第4页共5页

多维细目表

学科素养预估难度

题型题号分值必备知识数学逻辑数学直观数学数据

易中难

抽象推理建模想象运算分析

选择题15极差的计算√√√

选择题25集合的运算√√√

选择题35平面向量基本定理√√√7

选择题45数列前n项积问题√√√√

选择题55导数的几何意义√√√

选择题65椭圆综合√√√√

选择题75数列的实际应用√√√√√

选择题85导函数与极值√√√√

选择题96复数√√√

选择题106三角函数的图象与性质√√√

选择题116双曲线综合√√√√

填空题125排列组