高中数学3.2.2函数模型应用的实例同步讲练新人教版必修1

课题：3.2.2函数模型应用的实例精讲部分学习目标展示1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2.应用数学理论解决实际问题衔接性知识我们学习了哪几种初等函数？请画出它们的图象基础知识工具箱项目定义符号常见函数模型直线模型可以用直线模型表示指数函数模型能用指数函数表示的函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a＞1），常形象地称为“指数爆炸”，且对数函数模型能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型.对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢，且幂函数模型能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型为常数应用题解答三步曲(1)事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读能力．(2)文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题抽象为一个数学问题．(3)数理关：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎实的基础知识和较强的数学能力典例精讲剖析例1．从盛满20ml酒精的容器里倒出1ml，然后用水添满，再倒出1ml混合溶液后又用水添满，这样继续进行，如果倒第k(k≥1)次后，共倒出纯酒精xml，倒第k＋1次后共倒出纯酒精f(x)ml，求函数f(x)的表达式【解析】倒第k次后，已经一共倒出了纯酒精xml，故容器里还剩下纯酒精(20－x)ml，用水加满后其浓度为eq\f(20－x,20)，倒第k＋1次时倒出的一升溶液中含纯酒精为eq\f(20－x,20)×1＝1－eq\f(x,20)(ml)．这里1≤x<20.∴倒第k＋1次后，共倒出纯酒精f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,20)))＋x＝eq\f(19,20)x＋1(ml)(1≤x<20)．例2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如下图．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由【解析】(1)由图可知，直线y甲＝kx＋b，经过(1,1)和(6,2)可求得k＝0.2，b＝0.8.∴y甲＝0.2(x＋4)，同理可得y乙＝4(－x＋eq\f(17,2))．∴第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小了，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x年规模最大，即求T＝y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4(－x＋eq\f(17,2))＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．当x＝－eq\f(3.6,2(－0.8))＝2eq\f(1,4)时T取最大值，∵x∈N，∴x＝2，此时，T＝y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2最大．即第二年规模最大，为31.2万只．例3．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)和时间t(天)的函数关系为：p＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋20(0<t<25)，,－t＋100(25≤t≤30).))(t∈N*)设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天．【解析】设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋800(0<t<25)，,t2－140t＋4000(25≤t≤30).))(1)当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900元．(2)当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125元．综合(1)，(2)得ymax＝1125元．因此这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天达到日销售金额最大．例4．某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元该市煤气收费的方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．若每月用量不超过最低限度Am3，只付基本费3元和每户每月的定额保险C元，若用气量超过Am3元，超过部分每m3付B元，又知保险费C不超过5元，根据上表求A，B，C.【解析】设每月用气量为xm3，支付费用为y元，根据题设条件得y与x的函数关系式为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋C(0≤x≤A)①,3＋B(x－A)＋C(x>A)②))由0<C≤5有C＋3≤8，从上表中看此家庭第二、第三月份的费用均大于8，故用气量25m3,35m3均大于最低限度Am3，故而将x＝25，x＝35分别代入②得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋B(25－A)＋C＝14③,3＋B(35－A)＋C＝19④))④－③得B＝0.5，代入③得A＝2C＋3，⑤再分析一月份的用气量是否超过最低限度，不妨设A<4，将x＝4代入②得：3＋0.5[4－(3＋2C)]＋C＝4，∴3.5－C＋C＝4，∴3.5＝4矛盾，所以A≥4，一月份付款方式选①，所以3＋C＝4，即C＝1代入⑤得A＝5，所以A＝5，B＝0.5，C＝1.精练部分1．某人1997年7月1日到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，到2000年7月1日可取回款()A．a(1＋x)3元 B．a(1＋x)4元C．a＋a(1＋x)3元 D．a(1＋x3)元[答案]A[解析]a(1＋x)2000－1997＝a(1＋x)3，故选A.2．如右图，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数S＝f(t)的大致图象为 ()[答案]C[解析]当0≤t≤1时，设l交OA于E，交x轴于F，作AD⊥x轴于D，则△OEF～△OAD，所以eq\f(OF,OD)＝eq\f(EF,AD)，所以EF＝2t，由题意S＝eq\f(1,2)OF·EF＝eq\f(1,2)·t·2t＝t2.当t>1时，S＝eq\f(1,2)OD·AD＋AD·(t－1)＝eq\f(1,2)·1·2＋2·(t－1)＝2t－1，所以大致图象为C.3．商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？[解析]由优惠办法(1)得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．由优惠办法(2)得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)．当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法(1)应付款y1＝5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).4．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝eq\f(1,5)x，Q2＝eq\f(3,5)eq\r(x).现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？[解析]设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元．设获得的利润依次为P、Q，则它们与投入资金的关系是P＝eq\f(1,5)x，Q＝eq\f(3,5)eq\r(3－x).所以y＝eq\f(1,5)x＋eq\f(3,5)eq\r(3－x)(0≤x≤3)，令t＝eq\r(3－x)(0≤t≤eq\r(3))，则x＝3－t2.所以y＝eq\f(1,5)(3－t2)＋eq\f(3,5)t＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2＋eq\f(21,20).当t＝eq\f(3,2)时，ymax＝eq\f(21,20)＝1.05(万元)，x＝eq\f(3,4)＝0.75(万元)，所以3－x＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.5．经过调查发现，某种新产品在投放市场的100天中，前40天其价格直线上升，而后60天其价格则呈直线下降趋势，现抽取其中4天的价格如下表所示：时间第4天第32天第60天第90天价格(千元)2330227(1)写出价格f(x)关于时间x的函数表示式(x表示投放市场的第x天)；(2)若销售量g(x)与时间x的函数关系是g(x)＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(109,3)(1≤x≤100，x∈N)，问该产品投放市场第几天时，日销售额最高，最高值为多少千元？[解析](1)用待定系数法不难得到f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋22(1≤x≤40(x∈N)),－\f(1,2)x＋52(40≤x≤100(x∈N))))(2)设日销售额为S，当1≤x<40时，S＝(eq\f(1,4)x＋22)(－eq\f(1,3)x＋eq\f(109,3))＝－eq\f(1,12)(x2－21x－9592)，∴x＝10或11时，Smax＝eq\f(9702,12)＝808.5(千元)当40≤x≤100时，S＝(－eq\f(1,2)x＋52)(－eq\f(1,3)x＋eq\f(109,3))＝eq\f(1,6)(x2－213x＋11336)，∴x＝40时，Smax＝736(千元)．综上分析，日销售额最高是在第10及第11两天，最高销售额为808.5千元．6．银行的定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年的年利率分别为2.25%、2.43%、2.70%、2.88%，现将1000元人民币存入银行，问应该怎样存取以使5年后得到的本金和利息总和最大？[解析]存5年共有6种存款方式①一次性存入5年，本金和利息的总和为1000＋5×1000×2.88%＝1144(元)；②存一个三年，再存一个两年，(1000＋3×1000×