2023年成人高等考试《理科数学》（高起专）试题

2023年成人高等考试《理科数学》（高起专）试题[单选题]1.函数y＝－x2＋2x的值域是()。A.[0，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1]D.（－∞，0）正确答案：C参考解析：二次函数（江南博哥）开口向下，配方y＝－(x－1)²＋1，最大值为1，函数可以取到小于等于1的全部实数，值域为(－∞，1]。[单选题]2.一批产品共有5件，其中4件为正品，1件为次品，从中一次取出2件均为正品的概率为()。A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3正确答案：A参考解析：总取法C₅²＝10，两件都是正品取法C₄²＝6，概率＝6÷10＝0.6。[单选题]3.函数f(x)＝3√x2－1的定义域为()。A.RB.{1}C.{x｜｜x｜≤1}D.{x｜｜x｜≥1}正确答案：A参考解析：开三次方运算对全体实数都有意义，x取任意实数表达式均成立，定义域为全体实数R。[单选题]4.若x＜y＜0，则()。A.1/x＜1/yB.x/y＜y/xC.(x＋y)/2＞√(xy)D.y/x＋x/y＞2正确答案：D参考解析：已知x＜y＜0，所以x、y均为负数。选项A：x＜y＜0，两边同时除以xy(xy＞0)，得1/y＜1/x，A错误。选项B：作差，x/y−y/x＝(x²−y²)/(xy)＝(x−y)(x＋y)/(xy)。x−y＜0，x＋y＜0，xy＞0，整体结果大于0，即x/y＞y/x，B错误。选项C：x、y都是负数，xy＞0，但x＋y＜0，(x＋y)/2为负数，√(xy)是正数，负数不可能大于正数，C错误。选项D：x＜y＜0，y/x＞0，x/y＞0，由基本不等式，y/x＋x/y≥2√[(y/x)・(x/y)]＝2；又x≠y，等号取不到，故y/x＋x/y＞2，D正确。故选D。[单选题]5.一个袋子中装有标号分别为1,2,3,4的四个球，采用有放回的方式从袋中摸球两次，每次摸出一个球，则恰有一次摸出2号球的概率为()。A.1/8B.1/4C.3/8D.1/2正确答案：C参考解析：有放回摸球总情况4×4＝16种；恰一次摸到2号：第一次2号第二次非2号、第一次非2号第二次2号，共3＋3＝6种，概率＝6/16＝3/8。[单选题]6.下列函数中，为增函数的是()。A.y＝x3B.y＝x2C.y＝－x2D.y＝－x3正确答案：A参考解析：y＝x³在全体实数域单调递增；B在(－∞,0)递减；C开口向下；D为单调递减函数。[单选题]7.已知点M（1,2）,N（2,3）,则直线MN的斜率为()。A.5/3B.1C.－1D.－（5/3）正确答案：B参考解析：斜率公式k＝(y₂－y₁)/(x₂－x₁)＝(3－2)/(2－1)＝1。[单选题]8.如果点A(1,1)和B(2,4)关于直线y＝kx＋b对称，则k＝()。A.－3B.－（1/3）C.1/3D.3正确答案：B参考解析：两点连线斜率k_AB＝(4－1)/(2－1)＝3，对称轴与AB垂直，垂直直线斜率乘积为－1，k＝－1/3。[单选题]9.若向量a＝(1,－1),b＝(1,x),且｜a＋b｜＝2,则x＝()。A.－4B.－1C.1D.4正确答案：C参考解析：a＋b＝(2,x－1)，模长√[2²＋(x－1)²]＝2，平方得4＋(x－1)²＝4，解得x－1＝0，x＝1。[单选题]10.设0＜α＜π/4，则√(1−2sinαcosα)＝()。A.sinα＋cosαB.−sinα−cosαC.sinα−cosαD.cosα−sinα正确答案：D参考解析：利用完全平方公式，1＝sin²α＋cos²α，√(1−2sinαcosα)＝√(sin²α＋cos²α−2sinαcosα)＝√((cosα−sinα)²)＝|cosα−sinα|。由0＜α＜π/4，得cosα＞sinα，绝对值去掉后为cosα−sinα。故选D。[单选题]11.设∫(x)＝x3＋ax2＋x为奇函数，则a＝()。A.1B.0C.－1D.－2正确答案：B参考解析：奇函数满足f(－x)＝－f(x)。f(－x)＝(－x)³＋a(－x)²＋(－x)＝－x³＋ax²－x，－f(x)＝－x³－ax²－x，对比等式可得ax²＝－ax²对任意x成立，故a＝0；也可利用奇函数不含偶次项，x²为偶次项，系数a必须为0。故选B。[单选题]12.函数y＝sin（x＋11）的最大值是()。A.11B.1C.－1D.－11正确答案：B参考解析：正弦函数sin(任意角度)的值域为[－1,1]，与括号内常数无关，因此最大值为1。故选B。[单选题]13.设集合M＝{x∈R｜x2＝1}，N＝{x∈R｜x3＝1}，则M∩N＝()。A.{1}B.{－1}C.{－1,1}D.∅正确答案：A参考解析：M＝{－1,1}，N＝{1}，公共元素只有1，故M∩N＝{1}，选A。[单选题]14.在等比数列{an}中,a2＝1,公比q＝2,则a5＝()。A.1/8B.1/4C.4D.8正确答案：D参考解析：等比数列通项关系：a₅＝a₂・q³，代入a₂＝1，q＝2，a₅＝1×2³＝8。故选D。[单选题]15.设a是第一象限角，sina＝1/3，则sin2a＝()。A.4/9B.√2/3C.4√2/9D.2/3正确答案：C参考解析：α为第一象限角，cosα＞0，cosα＝√(1－sin²α)＝√(1－1/9)＝2√2/3；二倍角公式sin2α＝2sinαcosα＝2×(1/3)×(2√2/3)＝4√2/9。故选C。[单选题]16.设log2x＝a，则log2(2x2)＝()。A.2a2＋1B.2a2－1C.2a–1D.2a＋1正确答案：D参考解析：对数运算：log₂(2x²)＝log₂2＋log₂x²＝1＋2log₂x，log₂x＝a，原式＝1＋2a＝2a＋1。故选D。[单选题]17.设甲：sinx＝√2/2,乙：cosx＝√2/2，则A.甲是乙的充分条件但不必要条件B.甲是乙的必要条件但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件正确答案：D参考解析：若sinx＝√2/2，x可取135°，此时cosx＝－√2/2，推不出乙；若cosx＝√2/2，x可取－45°，此时sinx＝－√2/2，推不出甲。甲不能推出乙，乙也不能推出甲，故甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件。故选D。[问答题]1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为α，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，求A＝？正确答案：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得ac＝a2＋c2－ac，即a2＋c2－2ac＝（a－c）2＝0,解得a＝c.又因为B＝60°，故△ABC为等边三角形，所以A＝60°.[问答题]2.已知等差数列{αn，}中，a1＋a3＋a5＝6，a2十a4＋a6＝12，求{αn}的首项与公差正确答案：因为{αn，}为等差数列，则a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝6,a2＋a4＋a6＝3a1＋9d＝12,解得α1＝－2，d＝2.[问答题]3.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为1.（I）求C的方程：（II）若A（1.m）（m＞0）为C上一点，O为坐标原点，求C上另一点B的坐标·使得OA⊥OB.正确答案：[问答题]4.已知函数f（x）＝（x一4）（x2－a）.（I）求f'（x）;（Ⅱ）若f'（－1）＝8,求f（x）在区间[0,4]的最大值与最小值.正确答案：（I）f′（x）＝（x－4）（x2－a）＋（x－4）（x2－a）＝x2－a＋2x（x－4）＝3x2－8x－a.（Ⅱ）由于f（－1）＝3＋8－a＝8，得a＝3.令f′（x）＝3x2－8x－3＝0，解得x1＝3,x2＝－1/3（舍去）.又f（0）＝12,f（3）＝－6,f（4）＝0.所以在区间[0,4]上函数最大值为12,最小值为－6.[填空题]1.过点（2,0）作圆x2＋y2＝1的切线，切点的横坐标为()正确答案：1/2参考解析：本题主要考查的知识点为圆的切线，设切点(xo，yo)，则有[填空题]2.曲线y＝1/X2在点（1,1）处的切线方程是正确答案：2x＋y－3＝0参考解析：本题主要考查的知识点为切线方程.由题意，该切线斜率又过点（1,1）所以切线方程为y－1＝－2(x－1),2x＋y－3＝0[填空题]3.函数y＝－x2＋ax的图像对称轴为x＝2,则a＝正确答