2025-2026年浙江省苏教版九年级数学下册第12章一元二次方程习题

2025-2026年浙江省苏教版九年级数学下册第12章一元二次方程习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知关于x的一元二次方程x²-6x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A.-9B.9C.3D.-3解析：根据题意，方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。由Δ=b²-4ac得(-6)²-4×1×k=0，解得k=9。故选B。2.解方程x²-5x+6=0，下列解法正确的是（）A.因式分解法：(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3B.配方法：x²-5x=-6，x²-5x+（-5/2）²=-6+（-5/2）²，x-5/2=±√(1/4)，解得x=3或x=2C.公式法：x=(-b±√Δ)/2a，x=(5±√1)/2，解得x=3或x=2D.图像法：作出y=x²-5x+6的图像，与x轴交点的横坐标为解解析：因式分解法、配方法、公式法均为一元二次方程的标准解法，图像法为辅助解法。选项A、B、C均正确，但题目要求单选，故选A。3.若方程x²+mx-1=0的一个根为2，则m的值为（）A.3B.-3C.1/2D.-1/2解析：将x=2代入方程得4+2m-1=0，解得m=-3/2，选项无对应答案，需重新命题。4.不解方程，判断方程2x²-7x+3=0的根的情况（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定解析：计算判别式Δ=(-7)²-4×2×3=49-24=25>0，故方程有两个不相等的实数根。故选A。5.若关于x的方程x²-2x+k=0有两个负根，则k的取值范围是（）A.k>1B.k≥1C.k<1D.k≤1解析：设两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=2<0，x₁x₂=k>0，故k>0且x₁+x₂<0，即k>1。故选A。6.已知方程x²-px+q=0的两根之比为2:3，则p、q的关系式为（）A.p²=7qB.p²=9qC.p²=11qD.p²=15q解析：设两根为2k、3k，则2k+3k=p，6k²=q，p²=(5k)²=25k²=25q，即p²=25q，选项无对应答案，需重新命题。7.若方程x²+px+q=0与x²-qx+p=0有相同的根，则p、q的关系是（）A.p=qB.p+q=0C.p²=qD.p²+q²=0解析：设公共根为α，则α²+pα+q=0，α²-qα+p=0，两式相减得(p-q)α+p-q=0，若p≠q，则α=1，代入原方程得1+p+q=0，1-q+p=0，解得p=q，矛盾。故p=q。故选A。8.若方程x²+mx+n=0的两根的平方和为10，则m、n的关系是（）A.m²+n=10B.m²-n=10C.m²+2n=10D.m²-2n=10解析：设两根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10。故选D。9.若关于x的方程x²+px+q=0的两根为α、β，且满足α²+β²=7，αβ=2，则p、q的值分别为（）A.p=±3，q=2B.p=3，q=4C.p=-3，q=4D.p=±3，q=4解析：由α²+β²=7，αβ=2得m²-2n=7，n=2，解得m²=11，故m=±√11，选项无对应答案，需重新命题。10.若方程x²+px+q=0的两根为x₁、x₂，且x₁³+x₂³=26，x₁+x₂=-3，x₁x₂=2，则p、q的值分别为（）A.p=-9，q=2B.p=9，q=2C.p=-9，q=-2D.p=9，q=-2解析：由x₁+x₂=-3，x₁x₂=2得m=-3，n=2，故p=-3，q=2。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k=______。参考答案：4解析：Δ=(-2)²-4×1×k=0，解得k=1，选项无对应答案，需重新命题。2.方程(x-1)²=4的解为______。参考答案：x=3或x=-1解析：开方得x-1=±2，解得x=3或x=-1。3.若方程x²+mx-1=0的一个根为2，则另一个根为______。参考答案：-1/2解析：设另一根为α，则2+α=-m，2×α=-1，解得α=-1/2。4.若方程x²-5x+6=0的两根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=______。参考答案：19解析：x₁+x₂=5，x₁x₂=6，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=25-12=19。5.若方程x²+px+q=0的两根为α、β，且α²+β²=10，αβ=3，则p²-4q=______。参考答案：-8解析：m²-2n=10，n=3，解得m²=16，p²-4q=m²-4n=16-12=4，选项无对应答案，需重新命题。6.若方程x²-2x+k=0有两个负根，则k的取值范围是______。参考答案：k>1解析：x₁+x₂=-2<0，x₁x₂=k>0，故k>1。7.若方程x²+mx+n=0的两根的平方和为14，则m²+2n=______。参考答案：18解析：m²-2n=14，故m²+2n=18。8.若方程x²+px+q=0的两根为x₁、x₂，且x₁³+x₂³=22，x₁+x₂=-4，x₁x₂=3，则p=______，q=______。参考答案：p=-10，q=3解析：m=-4，n=3，x₁³+x₂³=(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²)=(-4)(m²-n)=22，解得m=-10。9.若方程x²+px+q=0的两根为α、β，且|α-β|=3，则p²-4q=______。参考答案：36解析：m²-4n=9²=81，故p²-4q=81。10.若方程x²+mx+n=0的两根为x₁、x₂，且x₁²+x₂²+x₁x₂=9，则m²+4n=______。参考答案：16解析：m²-2n=9，故m²+4n=16。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若方程x²-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k<25。参考答案：×解析：Δ=25-4k>0，解得k<25/4，故原命题错误。2.若方程x²+mx+n=0的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-m。参考答案：√解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-b/a=-m。3.若方程x²-px+q=0的两根为α、β，且α²+β²=10，则p²-4q=10。参考答案：×解析：m²-2n=10，故p²-4q=m²-4n=10-2n≠10。4.若方程x²+px+q=0的两根为x₁、x₂，且x₁+x₂=3，则方程可化为x²-3x+q=0。参考答案：√解析：由x₁+x₂=-p=3，得p=-3，故方程可化为x²-3x+q=0。5.若方程x²-2x+k=0有两个正根，则k>0。参考答案：√解析：x₁+x₂=2>0，x₁x₂=k>0，故k>0。6.若方程x²+px+q=0的两根为α、β，且αβ=2，则方程可化为x²-2x+q=0。参考答案：×解析：由x₁x₂=n=2，得p=-2√n=-2√2，故方程可化为x²-2√2x+2=0。7.若方程x²-5x+6=0的两根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=11。参考答案：×解析：x₁+x₂=5，x₁x₂=6，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=25-12=13。8.若方程x²+mx+n=0的两根的平方和为10，则m²-2n=10。参考答案：√解析：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10。9.若方程x²-px+q=0的两根为α、β，且|α-β|=4，则p²-4q=16。参考答案：√解析：m²-4n=16，故p²-4q=16。10.若方程x²+px+q=0的两根为x₁、x₂，且x₁³+x₂³=22，则m²-2n=22。参考答案：×解析：x₁³+x₂³=(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²)=(-m)(m²-3n)=22，故m²-3n=22/(-m)≠m²-2n。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知方程x²-5x+k=0的两根之比为2:3，求k的值。解：设两根为2k、3k，则2k+3k=5，6k²=k²，解得k=5/5=1。2.若方程x²+mx+n=0的两根为x₁、x₂，且x₁+x₂=4，x₁²+x₂²=10，求m、n的值。解：m=-4，m²-2n=10，n=3。3.若方程x²-px+q=0的两根为α、β，且α²+β²=7，αβ=2，求p、q的值。解：m²-2n=7，n=2，m²=11，p=±√11，q=2。4.若方程x²+px+q=0的两根的平方和为14，且x₁+x₂=-3，求p、q的值。解：m=-3，m²-2n=14，n=-5/2，p=-3，q=-5/2。5.若方程x²-2x+k=0有两个负根，求k的取值范围。解：x₁+x₂=-2<0，x₁x₂=k>0，故k>0且x₁+x₂<0，即k>1。6.若方程x²+mx+n=0的两根的平方和为10，求m²+2n的值。解：m²-2n=10，故m²+2n=12。7.若方程x²-px+q=0的两根为α、β，且|α-β|=2，求p²-4q的值。解：m²-4n=4，故p²-4q=4。8.若方程x²+px+q=0的两根为x₁、x₂，且x₁³+x₂³=22，x₁+x₂=-4，求p、q的值。解：m=-4，m²-3n=22/(-4)，n=2，p=-4，q=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某长方形花园的周长为20米，面积是24平方米，求花园的长和宽。解：设长为x米，宽为y米，则2(x+y)=20，xy=24，解得x=6，y=4。2.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品成本为50元，售价为80元，要使利润最大，应生产多少件产品？解：设生产x件产品，利润为L元，则L=80x-50x-2000，L=30x-2000，L在x=2000/30时取得最大值，x≈66.67，故生产67件产品。3.某班级组织植树活动，若每人植3棵，则剩余15棵；若每人植4棵，则还差5棵，求该班级有多少人？解：设该班级有x人，则3x+15=4x-5，解得x=20。4.某物体做自由落体运动，初始速度为0，加速度为9.8m/s²，求物体下落3秒后的速度。解：v=at，v=9.8×3=29.4m/s。5.某商店销售一种商品，进价为50元，售价为80元，若销售量为x件，则销售利润为L元，且L=30x-2000，求销售量为多少件时，利润最大？解：L=30x-2000，L在x=2000/30时取得最大值，x≈66.67，故销售67件产品。6.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每件产品成本为40元，售价为60元，要使利润最大，应生产多少件产品？解：设生产x件产品，利润为L元，则L=60x-40x-1000，L=20x-1000，L在x=1000/20时取得最大值，x=50，故生产50件产品。7.某班级组织植树活动，若每人植2棵，则剩余10棵；若每人植3棵，则还差5棵，求该班级有多少人？解：设该班级有x人，则2x+10=3x-5，解得x=15。8.某物体做自由落体运动，初始速度为0，加速度为9.8m/s²，求物体下落2秒后的速度。解：v=at，v=9.8×2=19.6m/s。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.重新命题4.A5.A6.重新命题7.A8.D9.重新命题10.A二、填空题1.42.x=3或x=-13.-1/24.1