2025-2026年重庆市北师大版七年级数学下册第12章一元二次方程习题

2025-2026年重庆市北师大版七年级数学下册第12章一元二次方程习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在下列方程中，属于一元二次方程的是（）A.3x+2y=5B.x²-4x+1=0C.2x³-x+1=0D.1/x-2=3x²解析：一元二次方程的定义是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。选项A是二元一次方程，选项C的最高次数为3，选项D含有分式，均不符合定义。选项B符合一元二次方程的定义，故正确。2.方程x²-5x+6=0的根是（）A.x=2,x=3B.x=-2,x=-3C.x=1,x=6D.x=-1,x=-6解析：通过因式分解法，x²-5x+6=(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3，故正确。3.若方程x²-mx+9=0的一个根是3，则m的值是（）A.2B.4C.6D.8解析：将x=3代入方程，3²-3m+9=0，解得3m=18，m=6，故正确。4.下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（）A.x²-4x+4=0B.x²+2x+1=0C.x²-3x-4=0D.x²+5x+6=0解析：通过判别式Δ=b²-4ac判断，选项A的Δ=(-4)²-4×1×4=0，有相等实根；选项B的Δ=2²-4×1×1=0，有相等实根；选项C的Δ=(-3)²-4×1×(-4)=25>0，有两个不相等实根；选项D的Δ=5²-4×1×6=1>0，有两个不相等实根。但选项B的Δ=0，故错误。5.若方程x²-kx+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<6B.k>-6C.k<6且k≠-6D.k≠6解析：根据判别式Δ=k²-4×1×9>0，解得k²>36，即k>6或k<-6，故正确。6.若方程x²-px+q=0的两个根分别是2和3，则p和q的值分别是（）A.p=5,q=6B.p=-5,q=-6C.p=5,q=-6D.p=-5,q=6解析：根据根与系数的关系，p=2+3=5，q=2×3=6，故正确。7.将方程3x²-6x=0化简后，得到的一元二次方程是（）A.x²-2x=0B.x²-3x=0C.3x²-x=0D.x²-x=0解析：将方程两边同时除以3，得到x²-2x=0，故正确。8.若方程x²-mx+1=0的两个根的平方和为10，则m的值是（）A.±2√2B.±√2C.±4D.±2解析：设两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2=10，解得m²=12，m=±2√3，故错误。9.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.2x²-3x+1/x=0B.√x-2=0C.(x-1)(x+2)=3D.x²-4=0解析：选项A含有分式，选项B的最高次数为1/2，选项C需要展开后判断，选项D是一元二次方程，故正确。10.若方程x²-mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A.0B.2C.-2D.±2解析：根据判别式Δ=m²-4×1×1=0，解得m²=4，m=±2，故正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²-9=0的解是________。参考答案：x=3或x=-3解析：将方程变形为x²=9，开平方得x=±3。2.若方程x²-mx+16=0的一个根是4，则另一个根是________。参考答案：4解析：根据根与系数的关系，4+另一个根=m，4×另一个根=16，解得另一个根=4。3.方程(x-1)²=4的解是________。参考答案：x=3或x=-1解析：开平方得x-1=±2，解得x=3或x=-1。4.若方程x²-px+q=0的两个根分别是2和-3，则p=________，q=________。参考答案：p=-1，q=-6解析：根据根与系数的关系，p=2+(-3)=-1，q=2×(-3)=-6。5.方程2x²-8x=0的解是________。参考答案：x=0或x=4解析：将方程因式分解为2x(x-4)=0，解得x=0或x=4。6.若方程x²-mx+9=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________。参考答案：m<-6或m>6解析：根据判别式Δ=m²-4×1×9>0，解得m²>36，m<-6或m>6。7.方程x²-6x+9=0的根的情况是________。参考答案：有两个相等的实数根解析：根据判别式Δ=(-6)²-4×1×9=0，有两个相等的实数根。8.若方程x²-mx+1=0的两个根的平方和为10，则m的值是________。参考答案：±2√3解析：设两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2=10，解得m²=12，m=±2√3。9.方程3x²-12x+9=0的解是________。参考答案：x=1解析：将方程因式分解为3(x-1)²=0，解得x=1。10.若方程x²-mx+16=0有两个相等的实数根，则m的值是________。参考答案：±8解析：根据判别式Δ=m²-4×1×16=0，解得m²=64，m=±8。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²-4=0的解是x=2。参考答案：×解析：方程x²-4=0的解是x=2或x=-2，故错误。2.若方程x²-mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m>1。参考答案：×解析：根据判别式Δ=m²-4>0，解得m>2或m<-2，故错误。3.方程(x-2)²=9的解是x=5。参考答案：×解析：开平方得x-2=±3，解得x=5或x=-1，故错误。4.若方程x²-px+q=0的两个根分别是2和3，则p=5，q=6。参考答案：√解析：根据根与系数的关系，p=2+3=5，q=2×3=6，故正确。5.方程2x²-4x+2=0没有实数根。参考答案：√解析：根据判别式Δ=(-4)²-4×2×2=0，有两个相等的实数根，故错误。6.若方程x²-mx+9=0的两个根的平方和为10，则m的值是±2。参考答案：×解析：根据解析部分，m的值是±2√3，故错误。7.方程x²-6x+9=0的解是x=3。参考答案：√解析：将方程因式分解为(x-3)²=0，解得x=3，故正确。8.若方程x²-mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值是0。参考答案：×解析：根据判别式Δ=m²-4=0，解得m=±2，故错误。9.方程3x²-6x=0的解是x=2。参考答案：×解析：将方程因式分解为3x(x-2)=0，解得x=0或x=2，故错误。10.方程x²-4x+4=0的解是x=2。参考答案：√解析：将方程因式分解为(x-2)²=0，解得x=2，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是方程x²-5x+6=0的一元二次方程？参考答案：一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。方程x²-5x+6=0符合这个定义，故是一元二次方程。2.若方程x²-mx+9=0的一个根是3，求m的值。参考答案：将x=3代入方程，3²-3m+9=0，解得3m=18，m=6。3.方程(x-1)²=4的解是什么？参考答案：开平方得x-1=±2，解得x=3或x=-1。4.若方程x²-px+q=0的两个根分别是2和-3，求p和q的值。参考答案：根据根与系数的关系，p=2+(-3)=-1，q=2×(-3)=-6。5.方程2x²-8x=0的解是什么？参考答案：将方程因式分解为2x(x-4)=0，解得x=0或x=4。6.若方程x²-mx+16=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。参考答案：根据判别式Δ=m²-4×1×16>0，解得m²>64，m<-8或m>8。7.方程x²-6x+9=0的根的情况是什么？参考答案：根据判别式Δ=(-6)²-4×1×9=0，有两个相等的实数根。8.若方程x²-mx+1=0的两个根的平方和为10，求m的值。参考答案：设两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2=10，解得m²=12，m=±2√3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某长方形的面积为36cm²，长比宽多6cm，求长方形的长和宽。参考答案：设宽为xcm，则长为(x+6)cm。根据题意，x(x+6)=36，解得x²+6x-36=0。因式分解得(x+12)(x-3)=0，解得x=3或x=-12（舍去）。故宽为3cm，长为9cm。2.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润达到3000元，应生产多少件产品？参考答案：设生产x件产品，则总收入为80x元，总成本为2000+50x元。根据题意，80x-(2000+50x)=3000，解得30x=5000，x=166.67（取整为167件）。3.某班级组织植树活动，若每人植3棵树，则还剩10棵树；若每人植4棵树，则还差5棵树。求该班级有多少人？参考答案：设该班级有x人，则根据题意，3x+10=4x-5，解得x=15。4.某长方形的周长为20cm，长比宽多2cm，求长方形的长和宽。参考答案：设宽为xcm，则长为(x+2)cm。根据题意，2(x+x+2)=20，解得4x+4=20，4x=16，x=4。故宽为4cm，长为6cm。5.某工厂生产某种产品，固定成本为3000元，每件产品的可变成本为40元，售价为70元。若要使利润达到4000元，应生产多少件产品？参考答案：设生产x件产品，则总收入为70x元，总成本为3000+40x元。根据题意，70x-(3000+40x)=4000，解得30x=7000，x=233.33（取整为234件）。6.某长方形的面积为48cm²，长比宽多4cm，求长方形的长和宽。参考答案：设宽为xcm，则长为(x+4)cm。根据题意，x(x+4)=48，解得x²+4x-48=0。因式分解得(x+8)(x-6)=0，解得x=6或x=-8（舍去）。故宽为6cm，长为10cm。7.某班级组织植树活动，若每人植2棵树，则还剩15棵树；若每人植3棵树，则还差5棵树。求该班级有多少人？参考答案：设该班级有x人，则根据题意，2x+15=3x-5，解得x=20。8.某长方形的周长为28cm，长比宽多3cm，求长方形的长和宽。参考答案：设宽为xcm，则长为(x+3)cm。根据题意，2(x+x+3)=28，解得4x+6=28，4x=22，x=5.5。故宽为5.5cm，长为8.5cm。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.C4.D5.A6.A7.A8.D9.D10.D二、填空题1.x=3或x=-32.43.x=3或x=-14.p=-1，q=-65.x=0或x=46.m<-6或m>67.有两个相等的实数根8.±2√39.x=110.±8三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.√四、简答题1.一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。方程x²-5x+6=0符合这个定义，故是一元二次方程。2.将x=3代入方程，3²-3m+9=0，解得3m=18，m=6。3.开平方得x-1=±2，解得x=3或x=-1。4.根据根与系数的关系，p=2+(-3)=-1，q=2×(-3)=-6。5.将方程因式分解为2x(x-4)=0，解得x=0或x=4。6.根据判别式Δ=m²-4×1×16>0，解得m²>64，m<-8或m>8。7.根据判别式Δ=(-6)²-4×1×9=0，有两个相等的实数根。8.设两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2=10，解得m²=12，m=±2√3。五、应用题