2025-2026年高一数学第二十九章数学竞赛题库练习题

2025-2026年高一数学第二十九章数学竞赛题库练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，若f(a)＝0，则a的可能取值集合为（）A.{－2，0，1}B.{－1，1}C.{－2，1}D.{0，2}解析：由f(x)＝x³－3x＋2＝0可得(x－1)²(x＋2)＝0，解得x＝1或x＝－2，故a的取值集合为{－2，1}，选C。2.若函数y＝sin(ωx＋φ)的图像向左平移π/4个单位后与原图像重合，且最小正周期为π，则φ的可能取值为（）A.－π/4＋2kπ(k∈Z)B.π/4＋2kπ(k∈Z)C.－3π/4＋2kπ(k∈Z)D.π/2＋2kπ(k∈Z)解析：平移π/4个单位后函数仍为自身，则ω•(π/4)＝kπ，解得ω＝4k，最小正周期为π，故ω＝4，φ＝kπ－π/2，选C。3.已知点A(1，2)和点B(3，0)，若点P在直线AB上且|PA|∶|PB|＝1∶2，则P点的坐标为（）A.(2，1)B.(5/3，4/3)C.(4/3，2/3)D.(3/2，1/2)解析：设P(x，y)，由|PA|∶|PB|＝1∶2可得(x－1)²＋(y－2)²＝4[(x－3)²＋y²]，化简得x＝2，y＝1，选A。4.不等式|2x－1|＜|x＋3|的解集为（）A.(－2，4)B.(－1，2)C.(－2，－1)D.(－1，4)解析：平方后化简得5x²＋4x－10＞0，解得x∈(－2，－1)∪(2，+∞)，结合原不等式得x∈(－2，4)，选A。5.已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋2n＋1(n∈N)，则a_5的值为（）A.21B.25C.27D.29解析：逐项计算得a_2＝3，a_3＝6，a_4＝11，a_5＝21，选A。6.若函数f(x)＝x²－2ax＋4在区间[－1，2]上的最小值为3，则实数a的取值范围为（）A.a＜－1或a＞3B.a＝－1或a＝3C.－3＜a＜1D.a＝－3或a＝1解析：对称轴x＝a，分三种情况讨论：①a＜－1时，f(－1)＝a²＋2a＋3＝3，解得a＝0(舍)；②a＞2时，f(2)＝a²－4a＋4＝3，解得a＝1(舍)；③－1≤a≤2时，f(a)＝－a²＋4＝3，解得a＝±1，取a＝1，选D。7.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝r²(r＞0)，若圆C与直线y＝x相切，则圆C的面积等于（）A.πB.2πC.4πD.8π解析：圆心(1，2)到直线y＝x的距离d＝|1－2|/√2＝√2/2，由d＝r可得r＝√2/2，圆面积为π(r²)＝π/2，选A。8.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，则f(x)的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数可得f(x)＝{4－3x|x＜1，2x－4|1≤x≤2，3x－6|x＞2}，最小值出现在x＝2时，为2，选B。9.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3＝9，S_6＝－6，则a_9的值为（）A.－27B.－24C.－21D.－18解析：由S_3＝3a₁＋3d＝9，S_6＝6a₁＋15d＝－6，解得a₁＝6，d＝－3，a_9＝6＋8(－3)＝－18，选D。10.已知函数f(x)＝cos²x－sin²x＋2sinx，若f(α)＝1，则α的可能取值为（）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π解析：f(x)＝cos2x＋sinx，f(α)＝1等价于sinx＝1且cos2x＝0，解得α＝3π/4，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x²－2x＋3在区间[－1，t]上的最大值为5，则t的取值范围是________。参考答案：t≥3解析：对称轴x＝1，f(1)＝2为最小值，f(－1)＝6为最大值，要使最大值为5，需f(t)≤5，即t²－2t－2≤0，解得1－√3≤t≤1＋√3，结合t≥1得t≥3。2.不等式|3x－2|＋|2x＋1|＞5的解集为________。参考答案：(－∞，－2)∪(4/3，+∞)解析：分段讨论可得x∈(－∞，－2)∪(－1/2，4/3)∪(2，+∞)，取补集得解集为(－∞，－2)∪(4/3，+∞)。3.已知数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋1＝3a_n－2n(n∈N)，则a_5＝________。参考答案：62解析：逐项计算得a_2＝4，a_3＝10，a_4＝26，a_5＝62。4.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝π/4对称，且周期为π，则φ＝________(k∈Z)。参考答案：kπ－π/4解析：对称轴x＝π/4＋kπ/ω＝π/4，解得ω＝1，φ＝kπ－π/4。5.已知圆C的方程为(x－2)²＋(y－3)²＝1，则点A(1，0)到圆C的最短距离为________。参考答案：2解析：圆心(2，3)到A的距离为√(1²＋3²)＝√10，最短距离为√10－1＝2。6.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值之差为________。参考答案：24解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最大值为3，最小值为－1，差为4。7.已知等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若S_3＝7，S_6＝63，则公比q的值为________。参考答案：3解析：由S_3(1＋q＋q²)＝7，S_6(1＋q＋q²)＝63，解得q＝3。8.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[－1，4]上的最小值点为x＝a，则a＝________。参考答案：2解析：分段函数可得f(x)在x＝2时取得最小值2。9.已知函数f(x)＝cos²x－sin²x＋2sinx，若f(α)＝0，则α的可能取值为________(k∈Z)。参考答案：2kπ－π/2或2kπ＋π解析：f(x)＝cos2x＋sinx，f(α)＝0等价于sinx＝－1且cos2x＝0，解得α＝2kπ－π/2或2kπ＋π。10.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，直线l的方程为y＝kx，若圆C与直线l相切，则k的值为________。参考答案：±√3解析：圆心(1，2)到直线kx－y＝0的距离d＝|k－2|/√(1＋k²)＝2，解得k＝±√3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－1，1]上的最大值为2，则f(x)在该区间上单调递增。参考答案：×解析：f'(x)＝3x²－3，在x＝±1处取得极值，故f(x)在[－1，1]上不单调。2.不等式|2x－1|＜|x＋3|的解集为(－2，4)。参考答案：√解析：解得x∈(－2，4)。3.已知数列{a_n}满足a_n＋1＝a_n＋2(n∈N)，则{a_n}是等比数列。参考答案：×解析：{a_n}是公差为2的等差数列。4.若函数f(x)＝cos²x－sin²x＋2sinx，则f(x)的最小正周期为π。参考答案：√解析：f(x)＝cos2x＋sinx，周期为2π/2＝π。5.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，直线l的方程为y＝x，则圆C与直线l相切。参考答案：×解析：圆心到直线的距离为|1－2|/√2＝√2/2＜2，不相切。6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3＝9，S_6＝－6，则{a_n}是递减数列。参考答案：√解析：公差d＝(－6－9)/(6－3)＝－15/3＝－5＜0。7.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，则f(x)在区间[1，3]上单调递减。参考答案：√解析：分段函数在[1，3]上为2x－4，单调递增。8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝π/4对称，则φ＝π/4。参考答案：×解析：φ＝kπ－π/4。9.已知圆C的方程为(x－2)²＋(y－3)²＝1，则点A(1，0)到圆C的最短距离为1。参考答案：×解析：最短距离为√10－1。10.已知等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若S_3＝7，S_6＝63，则{b_n}的公比q＝3。参考答案：√解析：同第17题解析。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值。参考答案：最大值为3，最小值为－4解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝3，最大值为3，最小值为－4。2.解不等式|2x－1|＋|x＋3|＞5。参考答案：x∈(－∞，－2)∪(4/3，+∞)解析：分段讨论可得x∈(－∞，－2)∪(－1/2，4/3)∪(2，+∞)，取补集得解集为(－∞，－2)∪(4/3，+∞)。3.已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋2n＋1(n∈N)，求a_5的值。参考答案：a_5＝21解析：逐项计算得a_2＝3，a_3＝6，a_4＝11，a_5＝21。4.已知函数f(x)＝cos²x－sin²x＋2sinx，求f(x)的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)＝cos2x＋sinx，周期为2π/2＝π。5.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，求点A(1，0)到圆C的最短距离。参考答案：√10－1解析：圆心到A的距离为√10，最短距离为√10－1。6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3＝9，S_6＝－6，求公差d的值。参考答案：d＝－5解析：由S_3(1＋2d)＝9，S_6(1＋5d)＝－6，解得d＝－5。7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f(x)的图像关于直线x＝π/4对称，且周期为π，求φ的值。参考答案：φ＝kπ－π/4解析：对称轴x＝π/4＋kπ/ω＝π/4，解得ω＝1，φ＝kπ－π/4。8.已知圆C的方程为(x－2)²＋(y－3)²＝1，直线l的方程为y＝kx，若圆C与直线l相切，求k的值。参考答案：k＝±√3解析：圆心到直线的距离d＝|2k－3|/√(1＋k²)＝1，解得k＝±√3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值。参考答案：最大值为3，最小值为－4解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝3，最大值为3，最小值为－4。2.解不等式|2x－1|＋|x＋3|＞5。参考答案：x∈(－∞，－2)∪(4/3，+∞)解析：分段讨论可得x∈(－∞，－2)∪(－1/2，4/3)∪(2，+∞)，取补集得解集为(－∞，－2)∪(4/3，+∞)。3.已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋2n＋1(n∈N)，求a_5的值。参考答案：a_5＝21解析：逐项计算得a_2＝3，a_3＝6，a_4＝11，a_5＝21。4.已知函数f(x)＝cos²x－sin²x＋2sinx，求f(x)的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)＝cos2x＋sinx，周期为2π/2＝π。5.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，求点A(1，0)到圆C的最短距离。参考答案：√10－1解析：圆心到A的距离为√10，最短距离为√10－1。6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3＝9，S_6＝－6，求公差d的值。参考答案：d＝－5解析：由S_3(1＋2d)＝9，S_6(1＋5d)＝－6，解得d＝－5。7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f(x)的图像关于直线x＝π/4对称，且周期为π，求φ的值。参考答案：φ＝kπ－π/4解析：对称轴x＝π/4＋kπ/ω＝π/4，解得ω＝1，φ＝kπ－π/4。8.已知圆C的方程为(x－2)²＋(y－3)²＝1，直线l的方程为y＝kx，若圆C与直线l相切，求k的值。参考答案：k＝±√3解析：圆心到直线的距离d＝|2k－3|/√(1＋k²)＝1，解得k＝±√3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.A5.A6.D7.A8.B9.D10.C解析同前。二、填空题1.t≥312.(－∞，－2)∪(4/3，+∞)13.6214.kπ－π/415.22.2417.318.219.2kπ－π/2或2kπ＋π20.±√3解析同前。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.×26.√27.√28.×29.×30.√解析同前。四、简答题1.最大值为3