2025年人教版高二数学第十一章复数习题集

2025年人教版高二数学第十一章复数习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复数集合C中，下列运算正确的是（）A.(2+3i)•(1-i)=5-5iB.(1+i)²=2iC.|2i|=2iD.√(i²)=1解析：选项A正确，(2+3i)•(1-i)=2-2i+3i-3i²=5+i；选项B错误，(1+i)²=1+2i+i²=2i；选项C错误，|2i|=√(2²)=2；选项D错误，√(i²)=√(-1)=i。故选A。2.若复数z满足z²+2z+3=0，则|z|的值为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：由z²+2z+3=0得(z+1)²+2=0，即z+1=-√2i，则z=-1-√2i，|z|=√((-1)²+(√2)²)=√3。故选C。3.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁•z₂在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：z₁•z₂=(2+3i)•(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i，对应点(8,-1)位于第四象限。故选D。4.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=√5且argz=π/3，则z等于（）A.2+√3iB.√5+√5iC.1+2iD.3+3i解析：由|z|=√5得a²+b²=5，由argz=π/3得b/a=√3，解得a=1，b=2，故z=1+2i。故选C。5.复数z=1/(1-i)的共轭复数是（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解析：z=1/(1-i)•(1+i)/(1+i)=(1+i)/2=1/2+1/2i，其共轭复数为1/2-1/2i。选项中无正确答案，需修正题目。6.已知复数z₁=1+i，z₂=2-i，则z₁/z₂的模长为（）A.1/5B.1/√5C.√5/5D.√5解析：z₁/z₂=(1+i)/(2-i)•(2+i)/(2+i)=(2+3i+1)/(4+1)=3/5+1/5i，模长为√((3/5)²+(1/5)²)=√5/5。故选C。7.若复数z满足z²=2z，则z的取值集合为（）A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{1}解析：z²-2z=0，即z(z-2)=0，解得z=0或z=2。故选C。8.在复平面内，以原点为圆心，半径为2的圆内，满足|z-1|=1的复数z的个数为（）A.0B.1C.2D.无数个解析：|z-1|=1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，与半径为2的圆相交于两点。故选C。9.若复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，则z₁+z₂的辐角主值是（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：z₁+z₂=4+2i，辐角主值为arctan(2/4)=π/4。故选A。10.已知复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=2且argz=π/6，则z²+1的虚部为（）A.0B.1C.√3D.2√3解析：z=2(cosπ/6+isinπ/6)=√3+i，z²=(√3+i)²=2√3+2i，z²+1=2√3+3i，虚部为3。选项中无正确答案，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=1+i，则z³的实部为________。参考答案：-3解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+3i³=-2+6i，实部为-2。2.复数z=2-3i的平方根为________。参考答案：√2-√2i或-√2+√2i解析：设z=x+yi，则x²-y²=4，2xy=-6，解得x=√2，y=-√2或x=-√2，y=√2。3.若复数z₁=1+2i，z₂=3-i，则|z₁-z₂|的值为________。参考答案：√17解析：|z₁-z₂|=|(1+2i)-(3-i)|=|(-2+3i)|=√((-2)²+(3)²)=√13。4.已知复数z满足|z|=1且argz=π/3，则z²的模长为________。参考答案：1解析：z²=(cosπ/3+isinπ/3)²=cos2π/3+isin2π/3，模长为1。5.若复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则z₁•z₂的虚部为________。参考答案：-5解析：z₁•z₂=(2+i)•(1-3i)=5-5i，虚部为-5。6.复数z=1/(1+i)的模长为________。参考答案：√2/2解析：z=1/(1+i)•(1-i)/(1-i)=(1-i)/2，模长为√((1/2)²+(-1/2)²)=√2/2。7.若复数z₁=3+4i，z₂=2-i，则z₁/z₂的辐角主值为________。参考答案：π/4解析：z₁/z₂=(3+4i)/(2-i)•(2+i)/(2+i)=10/5+5/5i=2+i，辐角主值为π/4。8.已知复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=2且argz=π/4，则z的代数形式为________。参考答案：√2+√2i解析：z=2(cosπ/4+isinπ/4)=√2+√2i。9.复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的模长为________。参考答案：2解析：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=1-i²=2，模长为2。10.若复数z满足z²=4z，则|z|的取值集合为________。参考答案：{0,4}解析：z²-4z=0，即z(z-4)=0，解得z=0或z=4，|z|的取值集合为{0,4}。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若z₁+z₂=0且z₁•z₂≠0，则z₁与z₂互为共轭复数。（×）解析：z₁=-z₂，但z₁•z₂=(-z₂)•z₂=z₂²，若z₁≠-1，则z₁不等于z₂的共轭复数。2.复数z=a+bi（a,b∈R）的模长|z|等于√(a²+b²)。（√）解析：根据复数模长定义，|z|=√(a²+b²)。3.若复数z₁与z₂满足|z₁|=|z₂|，则z₁与z₂的辐角主值相等。（×）解析：模长相等不代表辐角主值相等，如z₁=1，z₂=-1，|z₁|=|z₂|=1，但argz₁=0，argz₂=π。4.复数z=1+i的平方根为±(√2/2+√2/2i)。（×）解析：z=1+i的平方根为√2/2+√2/2i和-√2/2-√2/2i，选项错误。5.若复数z₁与z₂满足z₁•z₂为实数，则z₁与z₂互为共轭复数。（×）解析：如z₁=1+i，z₂=1-i，z₁•z₂=2为实数，但z₂不是z₁的共轭复数。6.复数z=a+bi（a,b∈R）的辐角主值argz一定在[0,2π)范围内。（×）解析：辐角主值范围应为[0,π)。7.若复数z₁与z₂满足|z₁-z₂|=|z₁+z₂|，则z₁与z₂的辐角主值互补。（√）解析：表示z₁与z₂关于原点对称，辐角主值互补。8.复数z=1/(1+i)的实部为1/2。（√）解析：z=1/(1+i)•(1-i)/(1-i)=(1-i)/2，实部为1/2。9.若复数z₁与z₂满足z₁²=z₂²，则z₁=z₂或z₁=-z₂。（×）解析：如z₁=π/2，z₂=3π/2，z₁²=z₂²=1，但z₁≠z₂且z₁≠-z₂。10.复数z=a+bi（a,b∈R）的模长|z|等于其绝对值|a+bi|。（√）解析：复数的模长就是其绝对值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求复数z=1+i的平方根。参考答案：√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i解析：设z=x+yi，则(x+yi)²=1+i，展开得x²-y²+2xyi=1+i，解得x=√2/2，y=√2/2或x=-√2/2，y=-√2/2。2.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的代数形式。参考答案：7/5-7/5i解析：z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)•(1+2i)/(1+2i)=(7+7i)/(5)=7/5-7/5i。3.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，求z的代数形式。参考答案：1+√3i解析：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。4.求复数z=1/(1+i)的模长和辐角主值。参考答案：模长√2/2，辐角主值π/4解析：z=1/(1+i)•(1-i)/(1-i)=(1-i)/2，模长为√((1/2)²+(-1/2)²)=√2/2，辐角主值为π/4。5.若复数z₁=3+4i，z₂=2-i，求z₁+z₂的模长和辐角主值。参考答案：模长√17，辐角主值arctan(2/13)解析：z₁+z₂=5+3i，模长为√(5²+3²)=√34，辐角主值为arctan(3/5)。6.已知复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=2且argz=π/6，求z²的模长。参考答案：4解析：z=2(cosπ/6+isinπ/6)=√3+i，z²=(√3+i)²=2√3+2i，模长为√((2√3)²+(2)²)=4。7.若复数z₁与z₂满足z₁•z₂=1，且z₁=1+i，求z₂。参考答案：1-i解析：z₂=1/(1+i)•(1-i)/(1-i)=(1-i)/2，但需验证z₁•z₂=1，实际z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=2≠1，需修正题目。8.复数z=a+bi（a,b∈R）的模长|z|=2，辐角主值argz=π/3，求z的平方根。参考答案：√2/2+√6/4i或-√2/2-√6/4i解析：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i，设z的平方根为x+yi，则(x+yi)²=1+√3i，解得x=√2/2，y=√6/4或x=-√2/2，y=-√6/4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的模长及辐角主值。案例：计算复数乘积的几何意义。参考答案：模长√13，辐角主值arctan(-5/3)解析：z₁•z₂=(2+3i)•(1-2i)=8-i，模长为√(8²+(-1)²)=√65，辐角主值为arctan(-1/8)。2.若复数z满足|z|=3且argz=π/4，求z²的模长及辐角主值。案例：复数乘法的几何意义。参考答案：模长9，辐角主值π/2解析：z=3(cosπ/4+isinπ/4)=3√2/2+3√2/2i，z²=(3√2/2+3√2/2i)²=9(cosπ/2+isinπ/2)，模长为9，辐角主值为π/2。3.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁/z₂的模长及辐角主值。案例：复数除法的几何意义。参考答案：模长1，辐角主值0解析：z₁/z₂=(1+i)/(1-i)•(1+i)/(1+i)=2i/2=i，模长为1，辐角主值为π/2。4.复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=2且argz=π/3，求z³的模长及辐角主值。案例：复数乘方的几何意义。参考答案：模长8，辐角主值π解析：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i，z³=(1+√3i)³=-8+8√3i，模长为√((-8)²+(8√3)²)=16，辐角主值为π。5.若复数z₁=3+4i，z₂=2-i，求z₁+z₂的模长及辐角主值。案例：复数加法的几何意义。参考答案：模长√29，辐角主值arctan(3/13)解析：z₁+z₂=5+3i，模长为√(5²+3²)=√34，辐角主值为arctan(3/5)。6.复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=2且argz=π/4，求z²的模长及辐角主值。案例：复数乘法的几何意义。参考答案：模长4，辐角主值π/2解析：z=2(cosπ/4+isinπ/4)=√2+√2i，z²=(√2+√2i)²=4(cosπ/2+isinπ/2)，模长为4，辐角主值为π/2。7.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁•z₂的模长及辐角主值。案例：复数乘法的几何意义。参考答案：模长2，辐角主值0解析：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=2，模长为2，辐角主值为0。8.复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=2且argz=π/3，求z³的模长及辐角主值。案例：复数乘方的几何意义。参考答案：模长8，辐角主值π解析：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i，z³=(1+√3i)³=-8+8√3i，模长为√((-8)²+(8√3)²)=16，辐角主值为π。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.D4.C5.（修正）1/2-1/2i6.C7.C8.C9.A10.（修正）3二、填空题1.-22.√2-√2i或-√2+√2i3.√134.15.-56.√2/27.π/48.√2+√2i9.210.{0,4}三、判断题1.×2.√3.×4.×5.×6.×7.√8.√9.×10.√四、简答题1.设z=x+yi，则(x+yi)²=1+i，展开得x²-y²+2xyi=1+i，解得x=√2/2，y=√2/2或x=-√2/2，y=-√2/2。2.z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)•(1+2i)/(1+2i)=(7+7i)/(5)=7/5-7/5i。3.z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。4.z=1/(1+i)•(1-i)/(1-i)=(1-i)/2，模长为√((1/2)²+(-1/2)²)=√2/2，辐角主值为π/4。5.z₁+z₂=5+3i，模长为√(5²+3²)=√34，辐角主值为arctan(3/5)。6.z=2(cosπ/6+isinπ/6)=√3+i，z²=(√3+i)²=2√3+2i，模长为√((2√3)²+(2)²)=4。7.设z₂=x+yi，则(1+i)•(x+yi)=1，展开得x-y+xyi=1，解得x=1