2025-2026年考研数学一高等数学定积分与反常积分习题

2025-2026年考研数学一高等数学定积分与反常积分习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，则定积分∫[a，b]√f(x)dx表示的是（）。A.以y=f(x)为曲边，以x=a，x=b为端点的曲边梯形的面积B.以y=√f(x)为曲边，以x=a，x=b为端点的曲边梯形的面积C.以y=f(x)为曲边，以x=a，x=b为端点的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积D.以y=√f(x)为曲边，以x=a，x=b为端点的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积2.设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，若∫[a，b]f(x)dx=1，则∫[a，b]f(x)lnf(x)dx的值等于（）。A.0B.1C.e-1D.1/e3.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)单调递增，则下列不等式正确的是（）。A.∫[0，1/2]f(x)dx>∫[1/2，1]f(x)dxB.∫[0，1/2]f(x)dx<∫[1/2，1]f(x)dxC.∫[0，1/2]f(x)dx=∫[1/2，1]f(x)dxD.无法确定∫[0，1/2]f(x)dx与∫[1/2，1]f(x)dx的大小关系4.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，则下列反常积分收敛的是（）。A.∫[1，+∞)f(x)dxB.∫[1，+∞)f(x)lnxdxC.∫[1，+∞)xf(x)dxD.∫[1，+∞)1/f(x)dx5.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)单调递减，则下列反常积分发散的是（）。A.∫[0，1)f(x)dxB.∫[0，1)f(x)lnxdxC.∫[0，1)1/f(x)dxD.∫[0，1)√f(x)dx6.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)dx的值（）。A.必定小于1B.必定大于1C.必定等于1D.无法确定与1的大小关系7.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递增，则下列反常积分收敛的是（）。A.∫[1，+∞)f(x)dxB.∫[1，+∞)f(x)lnxdxC.∫[1，+∞)1/f(x)dxD.∫[1，+∞)f(x)^(1/2)dx8.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(3/2)dx的值（）。A.必定小于1B.必定大于1C.必定等于1D.无法确定与1的大小关系9.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，则下列反常积分发散的是（）。A.∫[1，+∞)f(x)dxB.∫[1，+∞)f(x)lnxdxC.∫[1，+∞)1/f(x)^(1/2)dxD.∫[1，+∞)f(x)^(1/2)dx10.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)lnf(x)dx的值（）。A.必定小于0B.必定大于0C.必定等于0D.无法确定与0的大小关系二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1/2]f(x)dx=1/3，∫[1/2，1]f(x)dx=1/4，则∫[0，1]f(x)dx=________。2.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)dx收敛的充分必要条件是________。3.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)dx的值必定________1。4.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递增，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)lnxdx发散的充分必要条件是________。5.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(3/2)dx的值必定________1。6.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)1/f(x)dx发散的充分必要条件是________。7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)lnf(x)dx的值必定________0。8.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递增，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)^(1/2)dx发散的充分必要条件是________。9.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)dx的值必定________1。10.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)lnxdx收敛的充分必要条件是________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列命题的正误，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，则定积分∫[a，b]√f(x)dx表示的是以y=√f(x)为曲边，以x=a，x=b为端点的曲边梯形的面积。（）2.设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，若∫[a，b]f(x)dx=1，则∫[a，b]f(x)lnf(x)dx的值等于0。（）3.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)单调递增，则∫[0，1/2]f(x)dx必定小于∫[1/2，1]f(x)dx。（）4.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)dx必定收敛。（）5.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)单调递减，则∫[0，1/2]f(x)dx必定大于∫[1/2，1]f(x)dx。（）6.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递增，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)lnxdx必定发散。（）7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)dx的值必定小于1。（）8.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)1/f(x)dx必定收敛。（）9.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(3/2)dx的值必定大于1。（）10.设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)lnxdx收敛的充分必要条件是f(x)趋于0的速度足够快。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请简要回答下列问题。）1.简述定积分的定义及其几何意义。2.简述反常积分的定义及其收敛与发散的条件。3.简述定积分与反常积分的区别与联系。4.简述定积分的线性性质及其应用。5.简述定积分的换元积分法及其应用。6.简述定积分的分部积分法及其应用。7.简述反常积分的审敛法及其应用。8.简述反常积分的Cauchy判别法及其应用。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请根据题意，计算下列定积分或反常积分。）1.计算定积分∫[0，π/2]sin^3xdx。2.计算定积分∫[1，2](x^2-1)lnxdx。3.计算反常积分∫[1，+∞)1/x^3dx。4.计算反常积分∫[0，1)1/(xlnx)dx。5.计算定积分∫[0，1]xe^(-x)dx。6.计算反常积分∫[1，+∞)x/(x^2+1)dx。7.计算定积分∫[0，π]sin^4xdx。8.计算反常积分∫[0，+∞)e^(-x)sinxdx。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：定积分∫[a，b]√f(x)dx表示的是以y=√f(x)为曲边，以x=a，x=b为端点的曲边梯形的面积。选项A错误，因为y=f(x)不是√f(x)；选项C错误，因为这是旋转体的体积，不是曲边梯形的面积；选项D错误，因为y=√f(x)不是f(x)。2.A解析：由对称性，若f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，若∫[a，b]f(x)dx=1，则∫[a，b]f(x)lnf(x)dx=0。因为f(x)lnf(x)是奇函数，在对称区间上的积分为0。3.B解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)单调递增，所以f(x)在[0，1/2]上的值小于在[1/2，1]上的值，因此∫[0，1/2]f(x)dx<∫[1/2，1]f(x)dx。4.D解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，所以∫[1，+∞)1/f(x)dx收敛。因为1/f(x)单调递减，且趋于0，所以反常积分收敛。5.C解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)单调递减，所以∫[0，1)1/f(x)dx发散。因为1/f(x)在x=0处趋于无穷大，所以反常积分发散。6.A解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)dx的值必定小于1。因为f(x)^(1/2)<f(x)，所以积分值小于1。7.D解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递增，所以∫[1，+∞)f(x)^(1/2)dx发散。因为f(x)^(1/2)单调递增，且趋于无穷大，所以反常积分发散。8.B解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(3/2)dx的值必定大于1。因为f(x)^(3/2)>f(x)，所以积分值大于1。9.B解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，所以∫[1，+∞)f(x)lnxdx发散。因为f(x)lnx单调递减，且趋于无穷大，所以反常积分发散。10.A解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)lnf(x)dx的值必定小于0。因为f(x)^(1/2)lnf(x)是负值，所以积分值小于0。二、填空题1.7/12解析：∫[0，1]f(x)dx=∫[0，1/2]f(x)dx+∫[1/2，1]f(x)dx=1/3+1/4=7/12。2.lim[x→+∞]f(x)=0解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)dx收敛的充分必要条件是lim[x→+∞]f(x)=0。3.小于解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)dx的值必定小于1。因为f(x)^(1/2)<f(x)，所以积分值小于1。4.lim[x→+∞]f(x)lnx=0解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递增，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)lnxdx发散的充分必要条件是lim[x→+∞]f(x)lnx=0。5.大于解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(3/2)dx的值必定大于1。因为f(x)^(3/2)>f(x)，所以积分值大于1。6.lim[x→+∞]f(x)=0解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)1/f(x)dx发散的充分必要条件是lim[x→+∞]f(x)=0。7.小于解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)lnf(x)dx的值必定小于0。因为f(x)^(1/2)lnf(x)是负值，所以积分值小于0。8.lim[x→+∞]f(x)^(1/2)=0解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递增，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)^(1/2)dx发散的充分必要条件是lim[x→+∞]f(x)^(1/2)=0。9.小于解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)dx的值必定小于1。因为f(x)^(1/2)<f(x)，所以积分值小于1。10.lim[x→+∞]f(x)lnx=0解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)lnxdx收敛的充分必要条件是lim[x→+∞]f(x)lnx=0。三、判断题1.√解析：定积分∫[a，b]√f(x)dx表示的是以y=√f(x)为曲边，以x=a，x=b为端点的曲边梯形的面积。2.√解析：由对称性，若f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，若∫[a，b]f(x)dx=1，则∫[a，b]f(x)lnf(x)dx=0。因为f(x)lnf(x)是奇函数，在对称区间上的积分为0。3.√解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)单调递增，所以f(x)在[0，1/2]上的值小于在[1/2，1]上的值，因此∫[0，1/2]f(x)dx<∫[1/2，1]f(x)dx。4.×解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)dx不一定收敛。例如f(x)=1/x，则∫[1，+∞)1/xdx发散。5.×解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)单调递减，所以f(x)在[0，1/2]上的值大于在[1/2，1]上的值，因此∫[0，1/2]f(x)dx>∫[1/2，1]f(x)dx。6.×解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递增，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)lnxdx不一定发散。例如f(x)=1/x^2，则∫[1，+∞)1/x^2lnxdx收敛。7.√解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(1/2)dx的值必定小于1。因为f(x)^(1/2)<f(x)，所以积分值小于1。8.×解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)1/f(x)dx不一定收敛。例如f(x)=1/x，则∫[1，+∞)1/xdx发散。9.√解析：因为f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)≥0，若∫[0，1]f(x)dx=1，则∫[0，1]f(x)^(3/2)dx的值必定大于1。因为f(x)^(3/2)>f(x)，所以积分值大于1。10.√解析：因为f(x)在区间[1，+∞)上连续，且f(x)单调递减，若f(x)≥0，则反常积分∫[1，+∞)f(x)lnxdx收敛的充分必要条件是f(x)趋于0的速度足够快。四、简答题1.定积分的定义：设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，用分点a=x0<x1<...<xn=b将区间[a，b]任意分成n个小区间[xi-1，xi]，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，作乘积f(ξi)Δxi（Δxi=xi-xi-1），并作和式S=∑[i=1ton]f(ξi)Δxi，若当所有小区间的长度最大值λ→0时，和式S的极限存在，且与分法及点ξi的取法无关，则称此极限为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作∫[a，b]f(x)dx。几何意义：定积分∫[a，b]f(x)dx表示的是以y=f(x)为曲边，以x=a，x=b为端点的曲边梯形的面积。2.反常积分的定义：设函数f(x)在区间[a，+∞)上有定义，用分点a=x0<x1<...<xn=+∞将区间[a，+∞)任意分成n个小区间[xi-1，xi]，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，作乘积f(ξi)Δxi（Δxi=xi-xi-1），并作和式S=∑[i=1ton]f(ξi)Δxi，若当所有小区间的长度最大值λ→0时，和式S的极限存在，且与分法及点ξi的取法无关，则称此极限为函数f(x)在区间[a，+∞)上的反常积分，记作∫[a，+∞)f(x)dx。收敛与发散的条件：反常积分∫[a，+∞)f(x)dx收敛的充分必要条件是lim[x→+∞]f(x)=0，且f(x)在[a，+∞)上单调递减。3.定积分与反常积分的区别：定积分要求积分区间为有限区间，且被积函数在积分区间上连续；反常积分要求积分区间为无穷区间，或被积函数在积分区间上有无穷间断点。联系：反常积分可以看作是定积分的推广，定积分是反常积分的特殊情况。4.定积分的线性性质：设f(x)，g(x)在区间[a，b]上可积，k为常数，则∫[a，b](kf(x)+g(x))dx=k∫[a，b]f(x)dx+∫[a，b]g(x)dx。应用：定积分的线性性质可以简化定积分的计算，例如∫[a，b](2x+3)dx=2∫[a，b]xdx+3∫[a，b]1dx。5.定积分的换元积分法：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，x=g(t)在区间[α，β]上单调且具有连续导数，且当t∈[α，β]时，g(t)∈[a，b]，则∫[a，b]f(x)dx=∫[α，β]f(g(t))g'(t)dt。应用：定积分的换元积分法可以简化定积分的计算，例如∫[0，1]sin(x^2)dx，令x^2=t，则dx=1/(2√t)dt，积分区间变为[0，1]，则∫[0，1]sin(x^2)dx=∫[0，1]sin(t)/(2√t)dt。6.定积分的分部积分法：设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上具有连续导数，则∫[a，b]f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]|a^b-∫[a，b]f'(x)g(x)dx。应用：定积分的分部积分法可以简化定积分的计算，例如∫[0，1]xe^(-x)dx，令u=x，dv=e^(-x)dx，则du=dx，v=-e^(-x)，则∫[0，1]xe^(-x)dx=-xe^(-x)|0^1+∫[0，1]e^(-x)dx=-e^(-1)+[e^(-x)]|0^1=1-2e^(-1)。7.反常积分的审敛法：设函数f(x)在区间[a，+∞)上单调，且lim[x→+∞]f(x)=0，则反常积分∫[a，+∞)f(x)dx收敛的充分必要条件是f(x)在[a，+∞)上单调递减。应用：反常积分的审敛法可以判断反常积分的收敛性，例如∫[1，+∞)1/x^2dx，因为1/x^2在[1，+∞)上单调递减，且lim[x→+∞]1/x^2=0，所以反常积分收敛。8.反常积分的Cauchy判别法：设函数f(x)在区间[a，+∞)上单调，且f(x)≥0，若∫[a，+∞)f(x)dx收敛，则lim[x→+∞]f(x)^pdx收敛的充分必要条件是p>1。应用：反常积分的Cauchy判别法可以判断反常积分的收敛性，例如∫[1，+∞)1/x^pdx，因为1/x^p在[1，+∞)上单调递减，且f(x)^p=1/x^p，所以当p>1时，反常积分收敛。五、应用题1.解：∫[0，π/2]sin^3xdx=∫[0，π/2]sinx(1-cos^2x)dx=-∫[0，π/2]sinxdx+∫[0，π/2]sinxcos^2xdx=-[-cosx]0^(π/2)+∫[0，π/2]sinxcos^2xdx=1+∫[0，π/2]sinxcos^2xdx。令u=cosx，则du=-sinxdx，当x=0时，u=1；当x=π/2时，u=0，所以∫[0，π/2]sinxcos^2xdx=-∫[1，0]u^2du=-[u^3/3]1^0=-1/3。所以∫[0，π/2]sin^3xdx=1-1/3=2/3。2.解：∫[1，2](x^2-1)lnxdx=∫[1，2]x^2lnxdx-∫[1，2]lnxdx。令u=lnx，则du=1/xdx，dv=x^2dx，v=x^3/3，所以∫[1，2]x^2lnxdx=[x^3/3lnx]1^2-∫[1，2]x^3/3dx=8/3ln2-8/9。令u=lnx，则du=1/xdx，dv=xdx，v=x^2/2