兰州大学基地班题目及答案

兰州大学基地班题目及答案一、单选题（每题3分，共30分）1.已知集合A={x|x²3x+2=0}，B={x|x²ax+a1=0}，若A∪B=A，则实数a的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3答案：C解析：先求解集合A，由x²3x+2=0得(x1)(x2)=0，所以A={1,2}。对于集合B，由x²ax+a1=0得(x1)[x(a1)]=0，所以B={1,a1}。因为A∪B=A，所以B⊆A，那么a1=1或a1=2，解得a=2或a=3。2.函数y=log₂(x²4x+3)的单调递增区间是（）A.(3,+∞)B.(2,+∞)C.(∞,2)D.(∞,1)答案：A解析：先求函数定义域，由x²4x+30得(x1)(x3)0，解得x3或x<1。令t=x²4x+3，则y=log₂t，函数y=log₂t单调递增，要求原函数单调递增区间，即求t=x²4x+3的单调递增区间且在定义域内，t=x²4x+3对称轴为x=2，其单调递增区间为(2,+∞)，结合定义域得单调递增区间是(3,+∞)。3.已知向量a=(1,2)，b=(2,m)，若a⊥b，则m的值为（）A.1B.1C.4D.4答案：B解析：因为a⊥b，所以a·b=0，即1×(2)+2×m=0，解得m=1。4.若sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则tanα的值为（）A.3/4B.4/3C.3/4D.4/3答案：A解析：已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，根据sin²α+cos²α=1，可得cosα=√(1sin²α)=4/5，那么tanα=sinα/cosα=3/4。5.已知数列{an}的前n项和Sn=n²+2n，则a₁+a₃+a₅的值为（）A.29B.30C.31D.32答案：A解析：当n=1时，a₁=S₁=1²+2×1=3；当n≥2时，an=SnSn1=n²+2n[(n1)²+2(n1)]=2n+1。所以a₃=2×3+1=7，a₅=2×5+1=11，则a₁+a₃+a₅=3+7+11=29。6.圆x²+y²2x4y+1=0的圆心到直线xy=1的距离为（）A.√2B.√2/2C.1D.2√2答案：A解析：将圆方程化为标准方程(x1)²+(y2)²=4，圆心坐标为(1,2)，根据点到直线距离公式d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)，对于直线xy1=0，A=1，B=1，C=1，x₀=1，y₀=2，可得距离d=|121|/√(1²+(1)²)=√2。7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω0,|φ|<π/2)的图象经过点(0,1)，且相邻两条对称轴之间的距离为π/2，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=2sin(2xπ/6)B.f(x)=2sin(2xπ/3)C.f(x)=2sin(xπ/6)D.f(x)=2sin(xπ/3)答案：A解析：因为函数图象经过点(0,1)，所以2sinφ=1，又|φ|<π/2，可得φ=π/6。相邻两条对称轴之间的距离为π/2，则周期T=π，由T=2π/ω得ω=2，所以函数f(x)=2sin(2xπ/6)。8.若x,y满足约束条件{x+y≥1，xy≥1，2xy≤2}，则z=3xy的最大值为（）A.3B.1C.1D.3答案：D解析：先画出可行域，然后通过平移目标函数z=3xy的直线，当直线经过点(2,3)时，z取得最大值，zmax=3×23=3。9.设a,b,c为实数，且ab0，则下列不等式中正确的是（）A.1/a<1/bB.ac²bc²C.b/aa/bD.a²<ab答案：A解析：因为ab0，分子相同，分母大的分数小，所以1/a<1/b；当c=0时，ac²=bc²；b/aa/b=(b²a²)/ab<0，即b/a<a/b；a²ab。10.已知双曲线x²/a²y²/b²=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=√3x，则该双曲线的离心率为（）A.√2B.√3C.2D.3答案：C解析：由渐近线方程y=√3x可得b/a=√3，离心率e=c/a=√(1+(b²/a²))=√(1+3)=2。二、多选题（每题5分，共25分）1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.y=x³B.y=3xC.y=log₃xD.y=3^x答案：AB解析：y=x³是奇函数且在R上单调递增；y=3x是奇函数且在R上单调递增；y=log₃x定义域为(0,+∞)，是非奇非偶函数；y=3^x是非奇非偶函数。2.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比数列，则(a₁+a₃+a₉)/(a₂+a₄+a₁₀)的值为（）A.7/10B.13/16C.15/16D.11/13答案：B解析：因为a₁,a₃,a₉成等比数列，所以a₃²=a₁a₉，即(a₁+2d)²=a₁(a₁+8d)，解得a₁=d。则(a₁+a₃+a₉)/(a₂+a₄+a₁₀)=(d+3d+9d)/(2d+4d+10d)=13/16。3.已知函数f(x)=x²2x+3在区间[0,m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是（）A.[1,+∞)B.[0,2]C.[1,2]D.(∞,2]答案：C解析：f(x)=x²2x+3=(x1)²+2，对称轴为x=1，f(1)=2，f(0)=3，f(2)=3，所以m的取值范围是[1,2]。4.已知向量a,b满足|a|=1，|b|=2，且a·(ab)=0，则a与b的夹角为（）A.π/6B.π/3C.2π/3D.5π/6答案：B解析：设a与b的夹角为θ，由a·(ab)=0得a²a·b=0，即11×2×cosθ=0，解得cosθ=1/2，又0≤θ≤π，所以θ=π/3。5.已知抛物线y²=2px(p0)的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为√3的直线与抛物线交于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则下列结论正确的是（）A.|MF|=4p/3B.|MN|=pC.|FD|=|DN|D.|MD|=|MF|答案：ABD解析：设抛物线焦点为F(p/2,0)，直线方程为y=√3(xp/2)，与抛物线方程联立可得3(xp/2)²=2px，解得x=3p/2或x=p/6，因为M在第一象限，所以M(3p/2,√3p)，则|MF|=3p/2+p/2=2p，|MN|=3p/2p/2=p；|NF|=p，可得|FD|=2p/3，|DN|=p/3，|MD|=|MF|=2p。三、填空题（每题5分，共25分）1.已知函数f(x)=x³3x²+1，则f(x)的极小值为______。答案：3解析：f'(x)=3x²6x=3x(x2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，当x<0或x2时，f'(x)0，f(x)单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以极小值为f(2)=2³3×2²+1=3。2.若直线y=kx+1与圆x²+y²=1相交于A,B两点，且∠AOB=120°(O为坐标原点)，则k的值为______。答案：±√3解析：圆心到直线距离d=|00+1|/√(k²+1)，由圆半径r=1，∠AOB=120°，根据余弦定理可得弦长|AB|=√3，再根据弦长公式|AB|=2√(r²d²)，即√3=2√(11/(k²+1))，解得k=±√3。3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S₃=7，S₆=63，则公比q=______。答案：2解析：由等比数列前n项和公式Sn=a₁(1q^n)/(1q)，可得S₃=a₁(1q³)/(1q)=7，S₆=a₁(1q^6)/(1q)=63，两式相除得(1q^6)/(1q³)=9，即1+q³=9，解得q=2。4.已知sin(α+π/6)=1/3，则cos(2α+π/3)=______。答案：7/9解析：根据二倍角公式cos(2α+π/3)=12sin²(α+π/6)，将sin(α+π/6)=1/3代入可得cos(2α+π/3)=12×(1/3)²=7/9。5.已知椭圆x²/4+y²=和双曲线x²y²/2=1的公共焦点为F₁,F₂，P是两曲线的一个交点，则|PF₁|·|PF₂|的值为______。答案：4解析：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由椭圆定义可得m+n=4，由双曲线定义可得|mn|=2，两式平方相减可得4mn=16，所以mn=4，即|PF₁|·|PF₂|=4。四、解答题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=sin²x+√3sinxcosx+2cos²x。（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；（2）若x∈[0,π/2]，求函数f(x)的值域。答案：（1）f(x)=sin²x+√3sinxcosx+2cos²x=1+cos2x/2+√3sin2x/2+1+cos2x=3/2+√3sin2x/2+3cos2x/2=3/2+√3sin(2x+π/3)。最小正周期T=2π/2=π。由2kππ/2≤2x+π/3≤2kπ+π/2，k∈Z，得kπ5π/12≤x≤kπ+π/12，k∈Z，所以单调递增区间为[kπ5π/12,kπ+π/12]，k∈Z。（2）因为x∈[0,π/2]，所以2x+π/3∈[π/3,4π/3]，sin(2x+π/3)∈[√3/2,1]，则f(x)的值域为[3/23/2,3/2+√3]=[0,3/2+√3]。2.