2024数学一模拟试卷（全真模拟卷）

2024数学一模拟试卷（全真模拟卷）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设函数$f(x)$在$(a,b)$内连续，且对任意$x_1,x_2\in(a,b)$，有$f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在$(a,b)$内满足Jensen不等式。若$f(x)$在$(a,b)$内满足Jensen不等式，且$f''(x)$存在，则$f''(x)\leq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。下列函数中，在$(-\infty,+\infty)$内满足Jensen不等式的是（）A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=e^x$C.$f(x)=\lnx$D.$f(x)=\sinx$2.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(0)=0,f(1)=1$。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(0,1)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(1-\lambda)}{\xi(1-\xi)}$。下列函数中，满足上述条件的是（）A.$f(x)=x$B.$f(x)=x^2$C.$f(x)=x^3$D.$f(x)=x^4$3.设函数$f(x)$在$(a,b)$内连续，且对任意$x_1,x_2\in(a,b)$，有$f(\frac{x_1+x_2}{2})=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在$(a,b)$内满足线性Jensen不等式。若$f(x)$在$(a,b)$内满足线性Jensen不等式，且$f''(x)$存在，则$f''(x)=0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。下列函数中，在$(-\infty,+\infty)$内满足线性Jensen不等式的是（）A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=e^x$C.$f(x)=\lnx$D.$f(x)=\sinx$4.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。下列函数中，满足上述条件的是（）A.$f(x)=x^2-ax$B.$f(x)=x^2-bx$C.$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$D.$f(x)=x^3-ax^2$5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。下列函数中，满足上述条件的是（）A.$f(x)=x^2-ax$B.$f(x)=x^2-bx$C.$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$D.$f(x)=x^3-ax^2$6.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。下列函数中，满足上述条件的是（）A.$f(x)=x^2-ax$B.$f(x)=x^2-bx$C.$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$D.$f(x)=x^3-ax^2$7.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。下列函数中，满足上述条件的是（）A.$f(x)=x^2-ax$B.$f(x)=x^2-bx$C.$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$D.$f(x)=x^3-ax^2$8.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。下列函数中，满足上述条件的是（）A.$f(x)=x^2-ax$B.$f(x)=x^2-bx$C.$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$D.$f(x)=x^3-ax^2$9.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。下列函数中，满足上述条件的是（）A.$f(x)=x^2-ax$B.$f(x)=x^2-bx$C.$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$D.$f(x)=x^3-ax^2$10.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。下列函数中，满足上述条件的是（）A.$f(x)=x^2-ax$B.$f(x)=x^2-bx$C.$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$D.$f(x)=x^3-ax^2$11.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。若$f(x)=x^3-ax^2+bx-a$，则$\xi=$________。12.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。若$f(x)=x^2-ax+b$，则$\xi=$________。13.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。若$f(x)=x^3-ax^2+bx-a$，则$\xi=$________。14.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。若$f(x)=x^2-ax+b$，则$\xi=$________。15.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。若$f(x)=x^3-ax^2+bx-a$，则$\xi=$________。16.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。若$f(x)=x^2-ax+b$，则$\xi=$________。17.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$。证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。18.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。19.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。20.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。21.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。22.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$对任意$x\in(a,b)$恒成立。证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$。【不要加入标题，不要加入考试时间，不要加入总分数，直接从一、开始，试卷末尾附标准答案及解析】一、单项选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.C8.C9.C10.C11.$\frac{2a-b}{3}$12.$\frac{a+b}{2}$13.$\frac{2a-b}{3}$14.$\frac{a+b}{2}$15.$\frac{2a-b}{3}$16.$\frac{a+b}{2}$17.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambdaf(\lambdab)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。而$F'(x)=f'(x)-\lambda^2f'(\lambdax)$，所以$f'(\xi)=\lambda^2f'(\lambda\xi)$。即$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda\xi)}=\lambda^2$。令$t=\lambda\xi$，则$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\lambda^2$。由于$\lambda\in(0,1)$，所以$t\in(a,b)$。又因为$f'(x)\neq0$，所以$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$的唯一解是$\xi=\frac{2a-b}{3}$。18.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambdaf(\lambdab)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。而$F'(x)=f'(x)-\lambda^2f'(\lambdax)$，所以$f'(\xi)=\lambda^2f'(\lambda\xi)$。即$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda\xi)}=\lambda^2$。令$t=\lambda\xi$，则$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\lambda^2$。由于$\lambda\in(0,1)$，所以$t\in(a,b)$。又因为$f'(x)\neq0$，所以$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$的唯一解是$\xi=\frac{a+b}{2}$。19.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambdaf(\lambdab)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。而$F'(x)=f'(x)-\lambda^2f'(\lambdax)$，所以$f'(\xi)=\lambda^2f'(\lambda\xi)$。即$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda\xi)}=\lambda^2$。令$t=\lambda\xi$，则$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\lambda^2$。由于$\lambda\in(0,1)$，所以$t\in(a,b)$。又因为$f'(x)\neq0$，所以$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$的唯一解是$\xi=\frac{2a-b}{3}$。20.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambdaf(\lambdab)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。而$F'(x)=f'(x)-\lambda^2f'(\lambdax)$，所以$f'(\xi)=\lambda^2f'(\lambda\xi)$。即$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda\xi)}=\lambda^2$。令$t=\lambda\xi$，则$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\lambda^2$。由于$\lambda\in(0,1)$，所以$t\in(a,b)$。又因为$f'(x)\neq0$，所以$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$的唯一解是$\xi=\frac{a+b}{2}$。21.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambdaf(\lambdab)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。而$F'(x)=f'(x)-\lambda^2f'(\lambdax)$，所以$f'(\xi)=\lambda^2f'(\lambda\xi)$。即$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda\xi)}=\lambda^2$。令$t=\lambda\xi$，则$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\lambda^2$。由于$\lambda\in(0,1)$，所以$t\in(a,b)$。又因为$f'(x)\neq0$，所以$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$的唯一解是$\xi=\frac{2a-b}{3}$。22.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambdaf(\lambdab)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。而$F'(x)=f'(x)-\lambda^2f'(\lambdax)$，所以$f'(\xi)=\lambda^2f'(\lambda\xi)$。即$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda\xi)}=\lambda^2$。令$t=\lambda\xi$，则$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\lambda^2$。由于$\lambda\in(0,1)$，所以$t\in(a,b)$。又因为$f'(x)\neq0$，所以$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$的唯一解是$\xi=\frac{a+b}{2}$。标准答案及解析一、单项选择题1.D解析：$f(x)=\sinx$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f''(x)=-\sinx\leq0$。由Jensen不等式，对任意$x_1,x_2\in(-\infty,+\infty)$，有$\sin(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{\sinx_1+\sinx_2}{2}$。故选D。2.C解析：$f(x)=x^3$在$(-\infty,+\infty)$上连续，但$f''(x)=6x^2$，不满足$f''(x)\leq0$。故不选C。3.B解析：$f(x)=e^x$在$(-\infty,+\infty)$上连续，但$f''(x)=e^x$，不满足$f''(x)\leq0$。故不选B。4.A解析：$f(x)=x^2-ax$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f''(x)=2-a$。当$a\geq2$时，$f''(x)\leq0$。故选A。5.C解析：$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f''(x)=-2a-2b$。当$a+b\leq0$时，$f''(x)\leq0$。故选C。6.C解析：$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f''(x)=-2a-2b$。当$a+b\leq0$时，$f''(x)\leq0$。故选C。7.C解析：$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f''(x)=-2a-2b$。当$a+b\leq0$时，$f''(x)\leq0$。故选C。8.C解析：$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f''(x)=-2a-2b$。当$a+b\leq0$时，$f''(x)\leq0$。故选C。9.C解析：$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f''(x)=-2a-2b$。当$a+b\leq0$时，$f''(x)\leq0$。故选C。10.C解析：$f(x)=x^2-(a+b)x+ab$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f''(x)=-2a-2b$。当$a+b\leq0$时，$f''(x)\leq0$。故选C。二、填空题1.$\frac{2a-b}{3}$解析：$f(x)=x^3-ax^2+bx-a$，$f'(x)=3x^2-2ax+b$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。即$3\xi^2-2a\xi+b=0$。解得$\xi=\frac{2a-b}{3}$。2.$\frac{a+b}{2}$解析：$f(x)=x^2-ax+b$，$f'(x)=2x-a$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。即$2\xi-a=0$。解得$\xi=\frac{a+b}{2}$。3.$\frac{2a-b}{3}$解析：$f(x)=x^3-ax^2+bx-a$，$f'(x)=3x^2-2ax+b$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。即$3\xi^2-2a\xi+b=0$。解得$\xi=\frac{2a-b}{3}$。4.$\frac{a+b}{2}$解析：$f(x)=x^2-ax+b$，$f'(x)=2x-a$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。即$2\xi-a=0$。解得$\xi=\frac{a+b}{2}$。5.$\frac{2a-b}{3}$解析：$f(x)=x^3-ax^2+bx-a$，$f'(x)=3x^2-2ax+b$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。即$3\xi^2-2a\xi+b=0$。解得$\xi=\frac{2a-b}{3}$。6.$\frac{a+b}{2}$解析：$f(x)=x^2-ax+b$，$f'(x)=2x-a$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。即$2\xi-a=0$。解得$\xi=\frac{a+b}{2}$。三、解答题1.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambdaf(\lambdab)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。而$F'(x)=f'(x)-\lambda^2f'(\lambdax)$，所以$f'(\xi)=\lambda^2f'(\lambda\xi)$。即$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda\xi)}=\lambda^2$。令$t=\lambda\xi$，则$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\lambda^2$。由于$\lambda\in(0,1)$，所以$t\in(a,b)$。又因为$f'(x)\neq0$，所以$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$的唯一解是$\xi=\frac{2a-b}{3}$。2.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambdaf(\lambdab)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。而$F'(x)=f'(x)-\lambda^2f'(\lambdax)$，所以$f'(\xi)=\lambda^2f'(\lambda\xi)$。即$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda\xi)}=\lambda^2$。令$t=\lambda\xi$，则$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\lambda^2$。由于$\lambda\in(0,1)$，所以$t\in(a,b)$。又因为$f'(x)\neq0$，所以$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$的唯一解是$\xi=\frac{a+b}{2}$。3.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambdaf(\lambdab)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。而$F'(x)=f'(x)-\lambda^2f'(\lambdax)$，所以$f'(\xi)=\lambda^2f'(\lambda\xi)$。即$\frac{f'(\xi)}{f'(\lambda\xi)}=\lambda^2$。令$t=\lambda\xi$，则$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\lambda^2$。由于$\lambda\in(0,1)$，所以$t\in(a,b)$。又因为$f'(x)\neq0$，所以$\frac{f'(\xi)}{f'(t)}=\frac{\lambda(b-a)}{\xi(a-b)}$的唯一解是$\xi=\frac{2a-b}{3}$。4.证明：对任意$\lambda\in(0,1)$，考虑函数$F(x)=f(x)-\lambdaf(\lambdax)$。显然$F(a)=f(a)-\lambdaf(0)=0$，$F(b)=f(b)-\lambda