29．1.1　圆的有关概念

第二十九章圆29．1圆的有关概念29．1.1圆的有关概念教师备课素材示例●置疑导入(1)向学生展示我国女子铅球运动员的照片及其比赛场景，提出问题：铅球比赛投掷区是什么形状的？(2)在新建成的操场上，你会利用标枪和绳子设计铅球比赛场地投掷区吗？【教学与建议】教学：讲解用绳子画圆的方法．建议：让学生先在操场动手操作.●悬念激趣现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么要把轮子做成圆形的？为什么不能做成三角形、四边形或椭圆形呢？eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))【备注】引导学生进行如下分析：如图②，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，因为正方形的中心(对角线的交点)距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是固定不变的，因此坐车的人会感觉到不平稳．【教学与建议】教学：由生活中车轮为什么做成圆形这一问题，得出圆的概念．建议：学生分组讨论车轮为什么做成圆形．命题角度1圆的有关概念一般直接考查弦、直径、弧、半圆、等弧等．【例1】(1)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P是OB上的任一点(不包括O，B两点)，CD，EF是过点P的两条弦，则图中的弦有__AB，CD，EF__，以点B为端点的劣弧有__eq\o(BD,\s\up8(︵))，eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(BE,\s\up8(︵))，eq\o(BF,\s\up8(︵))__．(2)有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆．其中正确的是__②③__．(填序号)命题角度2判断点和圆的位置关系在判断点和圆的位置关系时，只需比较点到圆心的距离d与半径r的大小即可．【例2】(1)已知⊙O的半径为6cm，若OP＝5cm，则点P与⊙O的位置关系是(C)A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定(2)若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为(A)A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不确定命题角度3利用圆的特点进行计算和推理利用圆的半径和直径特点解决相关几何问题．【例3】(1)如图，已知∠AOB＝60°，AB＝1cm，则⊙O的直径为__2__cm.eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(1)题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(2)题图]))(2)如图，在以原点为圆心，2为半径的⊙O上有一点C，∠COA＝45°，则点C的坐标为(C)A．(eq\r(2)，eq\r(2))B．(eq\r(2)，－eq\r(2))C．(－eq\r(2)，eq\r(2))D．(－eq\r(2)，－eq\r(2))高效课堂教学设计1．理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念．2．弄清点和圆的三种位置关系及数量间的关系．3．能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算．▲重点圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解．▲难点圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系．◆活动1新课导入1．你能说出生活中的圆形实例吗？(至少三个)答：生活中的圆形实例有：光盘、铁饼、硬币等．2．为什么人们把车轮做成圆的呢？答：圆有这样一个特性：圆心到圆周上任意一点的距离都是相等的，这个相等的距离，叫作半径．因此，人们把车轮做成圆形的，并使车轴通过圆心，当车轮在地面上滚动时，车轴离开地面的距离就总是等于车轮半径那么长，这样行驶起来才会平稳．◆活动2探究新知1．教材P114内容．提出问题：(1)圆是生活中常见的图形，你还能说出其他除课本上以外的圆形实例吗？(2)请同学们在草稿纸上画圆，体验圆的形成过程．大家画的圆的位置和大小一样吗？圆的位置和大小分别由什么决定？(3)动手量一量，圆上任意一点到圆心的距离相等吗？为什么？(4)反过来，平面内到圆心的距离等于半径长的点都在圆上吗？学生完成并交流展示．2．教材P115内容．提出问题：(1)请测量图29.1－4中OA，OB，OC的长度，并比较它们的大小；(2)如何判断点与圆的位置关系，需要比较什么？学生完成并交流展示．3．教材P116练习以上内容．提出问题：(1)弦、弧、优弧、劣弧的概念是什么？(2)等圆、等弧呢？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作__圆心__，线段OP叫作__半径__．2．以点O为圆心的圆，记作__⊙O__，读作“__圆O__”．3．圆的新定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．4．设⊙O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d>r__；点P在圆上⇔__d＝r__；点P在圆内⇔__d<r__．5．与圆有关的概念：(1)连接圆上任意两点的线段叫作__弦__，如图，线段AC，AB；(2)经过圆心的弦叫作__直径__，如图，线段AB；(3)圆上任意两点间的部分叫作__圆弧__，简称__弧__，以A，B为端点的弧记作eq\o(AB,\s\up8(︵))，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作__半圆__，大于半圆的弧(用三个点表示，如图中的eq\o(ABC,\s\up8(︵)))叫作__优弧__，小于半圆的弧(如图中的eq\o(AC,\s\up8(︵)))叫作__劣弧__．6．能够__重合__的两个圆叫作等圆．容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，__半径__相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够__互相重合__的弧叫作等弧．◆活动4例题与练习例1如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：A，B，C，D四个点在同一个圆上．连接BD，取BD的中点O，连接OA，OC.∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴OA＝OC＝eq\f(1,2)BD，即OA＝OB＝OC＝OD.∴A，B，C，D四个点在以BD的中点为圆心，BD长的一半为半径的圆上．画图略．例2如图，以点O为圆心的圆记作__⊙O__，圆中有__2__条直径，记作__直径AC，BD__；圆中有__4__条弦，记作弦__AB，AD，AC，BD__；圆中劣弧有__4__条，记作__eq\o(AB,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))，eq\o(DC,\s\up8(︵))，eq\o(BC,\s\up8(︵))__；圆中以点B为一个端点的优弧有__2__条，记作__eq\o(BCA,\s\up8(︵))，eq\o(BAC,\s\up8(︵))__．例3如图，在⊙O中，AB是直径，C，D，E三点分别在⊙O上，则：(1)OC__＝__OD__＝__OE；(2)eq\o(AD,\s\up8(︵))__<__eq\o(ACD,\s\up8(︵))，eq\o(ACB,\s\up8(︵))__＝__eq\o(ADB,\s\up8(︵))；(3)弦CD所对的弧有__eq\o(DAC,\s\up8(︵))，eq\o(DC,\s\up8(︵))__．练习1．教材P116练习第1，2，3，4题．2．下列说法中，正确的是(C)A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B．长度相等的两条弧是等弧C．正多边形一定是轴对称图形D．三角形的外心到三角形各边的距离相等3．如图，CD是⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为__16°__．◆活动5课堂小结1．圆的定义及表示法．2．点与圆的三种位置关系．3．弦、弧、等圆、等弧的概念．4．圆的有关概念及运用．1．作业布置(1)教材P119～120习题29.1第1，2，3，4题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12