30.3　正多边形与圆

30.3正多边形与圆教师备课素材示例●情景导入(1)我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为eq\f(157,50)≈3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.1415926与3.1415927之间，现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．(2)在同圆或等圆中，等弧所对的弦__相等__，所对的圆周角__相等__.(3)你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样作出一个正多边形？【教学与建议】教学：通过对“割圆术”的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：先让学生自己归纳前面所学的圆的有关概念性质．●置疑导入问题(1)：观察下面多边形，找出它们的边、角有什么特点？问题(2)：观看大屏幕上这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的，你能从这些图案中找出正多边形来吗？【教学与建议】教学：通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识之间的联系．建议：让学生举例生活中的正多边形．命题角度1正多边形的有关概念正多边形有各边相等、各角相等、边心距相等等特征．【例1】(1)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(B)A．4B．5C．6D．7(2)在半径为R的圆上依次截取长度等于R的弦，顺次连接各点得到的多边形是__正六边形__．命题角度2与正多边形有关的计算正多边形问题中常涉及求正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积等．【例2】(1)正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为(A)A．3∶2∶1B．4∶3∶2C．4∶2∶1D．6∶4∶3(2)同圆的内接正三角形的面积与内接正六边形的面积之比是(B)A．1∶eq\r(2)B．1∶2C．eq\r(2)∶eq\r(3)D．1∶3(3)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的长度分别为__3eq\r(2)，3__．命题角度3画正多边形圆内接正多边形的两种画法：(1)用量角器等分圆周法作正多边形；(2)用尺规作图法作特殊正多边形．【例3】利用手中的工具求作一个边长为3cm的正六边形．(不写作法)解：eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))高效课堂教学设计1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．▲重点探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算．▲难点探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系．◆活动1新课导入1．前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？2．谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？3．正多边形和圆有什么关系呢？◆活动2探究新知1．教材P161.提出问题：(1)如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？(2)各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？(3)正多边形的内角、中心角、外角怎样计算？填空：正多边形边数内角中心角外角346n(4)正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？学生完成并交流展示．2．教材P162例．提出问题：(1)例题中正多边形的中心角是如何计算的？(2)例题中正多边形的面积是如何计算的？学生完成并交流展示．3．教材P163.提出问题：(1)如何画正多边形？(2)画正三角形、正方形还有哪些方法？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的正多边形就是这个圆的__内接正多边形__，这个圆叫作这个正多边形的__外接圆__．2．正多边形的__外接圆的圆心__叫作正多边形的中心．3．__外接圆的半径__叫作正多边形的半径．4．正多边形每一边所对的__圆心角__叫作正多边形的中心角．5．__中心__到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距．◆活动4例题与练习例1如图，在⊙O中，A，B，C，D，E是⊙O的五等分点．依次连接ABCDE形成五边形．问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论．解：五边形ABCDE是正五边形．证明如下：在⊙O中，∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(EA,\s\up8(︵))，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，eq\o(BCE,\s\up8(︵))＝eq\o(CDA,\s\up8(︵))＝3eq\o(AB,\s\up8(︵))，∴∠A＝∠B；同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴五边形ABCDE是正五边形．例2已知正六边形的半径为R，求正六边形的边长、边心距和面积．解：如图．∵∠AOB＝360°÷6＝60°，又OA＝OB，∴△OBA是等边三角形．∴AB＝OA＝R.过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝eq\f(1,2)R.在Rt△OAM中，OM＝eq\r(R2－(\f(1,2)R)2)＝eq\f(\r(3),2)R.∴S正六边形＝6S△OBA＝6×eq\f(1,2)AB·OM＝3R·eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(3\r(3),2)R2.练习1．教材P164练习第1，2题．2．正三角形的边心距、半径和高的比为(D)A．1∶2∶eq\r(3)B．1∶eq\r(2)∶3C．1∶eq\r(2)∶eq\r(3)D．1∶2∶33．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝eq\r(3)cm，则它的中心角∠AOB＝__60°__，边长AB＝__2__cm，正六边形的面积S＝__6eq\r(3)__cm2.◆活动5课堂小结1．正多边形与圆的关系．2．正多边形的半径、中心角、边长、边心距的计算及其之间的等量关系．3．画正多边形的方法．1．作业布置(1)教材P164～165习题30.3第1，2，3，4题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与☉P相切.15.(1)证明如图,连