【《振动信号时频特征分析法及相关基本理论基础概述》5700字】

翻译文稿PAGEPAGEIPAGEPAGEII振动信号时频特征分析法及相关基本理论基础概述目录TOC\o"1-3"\h\u146振动信号时频特征分析法及相关基本理论基础概述 1316311.1傅里叶分析法 1308591.1.1离散傅里叶 245961.1.2短时傅里叶变换 3179341.1.3快速傅里叶变换 4216121.2小波变换 4261771.1.1连续小波变换 58011.1.2连续小波变换的性质 6229991.1.3小波基函数 782941.3Hilbert-Huang变换 8134621.3.1EMD分解方法 9104011.3.2Hilbert变换 10时频分析，通过对时变非平稳信号提供时域与频域的联合分布信息，从而清楚地描述出时间和频率的相互变化关系，成为现代信号分析的一个选择热点。现实中采集的爆破振动信号多为非平稳信号，由于其频率随时间变化较大，因此分析方法必须能够准确地反映出信号的局部时变频率特性，若使用传统的方法则很难对信号进行更好的分析，因此需要把整体谱推广到局部谱中。时频分析方法是将一维时域信号映射到二维时频平面，全面地反映信号的时频联合特征，通过设计时间和频率的联合函数，从而描述信号在不同时间和频率的能量密度与强度。1.1傅里叶分析法对信号进行频谱分析，傅里叶变换是最常用与最普遍的方法，目前，傅里叶变换方法已成功应用于振动信号的时频特征分析。一个任意振动信号都可以视为由无穷多个不同频率正弦信号叠加而成。通过傅里叶变换，能将时域中的复杂问题转换到频域内分析信号，并且在频域中观察信号各频点的特性。图2-1傅里叶变换示意图Fig.2-1schematicdiagramofFouriertransform1.1.1离散傅里叶傅里叶分析方法就是建立在傅里叶级数和傅里叶积分这两种计算方法基础之上的，傅里叶级数和傅里叶积分可广义地统称为傅里叶变换。对于已知的一些函数，可通过傅里叶级数和积分给出解析解，但对于实测振动信号的波形曲线，无法写出精确的函数关系式。实际上，爆破振动信号是离散的数字信号，是一系列离散数值序列，对此有限的离散序列进行傅里叶变换，称为有限离散傅里叶变换（DFT）。设波形长度为T，采样间隔t，采样点数为N，则N个采样点的数值构成离散值序列：公式（2-1）M采样点处的时刻tk=mΔt，该时刻的数据为Xm=x（mΔt），于是就可得到在区间[0，T]内x（t）的有限傅里叶级数：公式（2-2）式2-2中，傅里叶系数ak、bk分别为：公式（2-3）公式（2-4）式2-3、2-4中，与ak对应的k=0，1，1，N/2；与bk对应的k=0，1，1，N/2-1。离散傅里叶变换方法解决了计算机上实现傅里叶变换的问题，但运算量很大，当计算点数多时，更为突出。1965年Cooley.J.W和Tukey提出了DFT的快速算法，并编制了相应的计算机程序，后来称之为快速傅里叶变换（FFT），其并不是新的变换理论，而是计算有限傅里叶变换的快速算法[43]。1.1.2短时傅里叶变换由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在这种能力，因此DennisGabor引入了短时傅里叶变换。短时傅里叶变换可以理解为，将一段信号进行分段，然后在所分的每一小段信号上使用傅里叶变换。实现途径就是对原始信号进行加窗处理。利用傅里叶变化对每个小段信号进行分析，然后按照时间的顺序排列，从而观察信号频谱分布的时变特性。其表达式为：公式（2-5）其中：*表示复共轭，g（t）是有紧支集的函数，f（t）是进入分析的信号。在这个变换中，ejωt起着频限的作用，g（t）起着时限的作用。短时傅里叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数的一个短时间间隔内是平稳的，并移动分析窗函数，使其在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而及算出各个不同时刻的功率谱。随着时间τ的变化，g（t）所确定的“时间窗”在t轴上移动，对f（t）每一时刻的波形进行分析。因此，g（t）被称为窗口函数，S(ω，τ)大致反映了f（t）在时刻τ时，频率为ω的“信号成分”的相对含量。给分析信号“加窗”如图2-2所示。图2-2信号分段“加窗”示意图Fig.2-2schematicdiagramof"windowing"forsignalsegmentation这样信号在窗口函数上的展开就可以表示为在[τ-σ，τ+σ]、[ω-ε，ω+ε]这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，其中，σ和ε分别称为窗口的时域和频宽，表示时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率越高。显然σ和ε越小，时频分析的效果越好，但海森堡测不准原理指出σ和ε是相互制约的，两者不可能同时都任意小。当窗口窄时时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而快速傅里叶变换的窗口是固定的，在一次变换中宽度不会变化，所以快速傅里叶变换还是分析非稳态信号时任然存在不可逾越的缺陷[44]。1.1.3快速傅里叶变换为提高离散傅里叶的运算速度，提出了快速傅里叶变换算法（FFT），其巧妙利用W因子的周期性和对称性，导出高效的快速算法。通过将一长时间序列逐级分解，以减少正弦和余弦乘法运算的次数，直到最后每一组数据只有两个点；然后分别对每组数据进行傅里叶变换，再将傅里叶变换结果按一定规则进行组合，最后得到原时间序列的傅里叶变换结果。为了实现分解和组合，主要方法为序列长度是N等于2的整数次幂算法。对于一个有限长离散信号f(t)，FFT表达式为：公式（2-6）取N=2m（N为整数），则可将{fk}分成奇、偶两个序列来计算，两个序列都是以N/2为周期的信号。WNkn为旋转因子。公式（2-7）通过上述运算可知，FFT是一种DFT的高效算法，其减小了DFT的运算量，利用DFT中的周期性和对称性，使整个DFT的计算变成一系列迭代运算，可大幅度提高运算过程和运算量，因此FFT被认为是数字信号处理发展史上的一个里程碑。1.2小波变换1984年法国地球物理学家Morlet.J提出了小波变换的概念[41]，将交织在一起的不同频率组成的混合信号分解成不同频率的块信号。1988年Daubechies.I证明了紧支撑正交标准小波基的存在性，使离散小波分析成为可能。Mallat.S于1989年提出多分辨率分析的概念，提别是提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换走向实用化。小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，在时间域和频率域都可以获得很好的局部化性质。由于这种自适应性，小波变换的应用领域十分广泛，目前方法已广泛应用于爆破振动信号的时频特征分析。1.1.1连续小波变换设ψ（t）∈L2（R），其傅里叶变换为ψ(ω)，当ψ(ω)满足允许条件时：公式（2-8）此时称ψ（t）为一个基本小波或母小波。通过小波基函数ψ（t）可生成连续小波函数，将母函数经伸缩和平移后得：公式（2-9）式2-9中：a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数f(t)∈L2（R）的连续小波变换为：公式（2-10）其重构公式（逆变换）为：公式（2-11）小波变换类似一个带通滤波器，滤波器的带宽和中心频率可以通过尺度因子和位移因子来调整，分析得到是时间-尺度图谱，而非时间-频率图谱。利用小波变换可以进行信号分解和滤波，当尺度因子较小时，采用短的时间窗，小波变换高频部分拥有较高时间分辨率和较低频率分辨率；当尺度因子较大时，采用长的时间窗，在低频部分拥有较低时间分辨率和较高频率分辨率。实际应用中，在多分辨率分析条件下，可将爆破振动信号分解到不同的频率带上，多分辨率意为把待测信号分解成低频部分和高频部分，高频部分的信息保持不变，将低频部分信息分解成更低频部分和高频部分。重复这样的过程下去，把原始信号n次分解，每一级都由一个低频近似和一个高频细节组成，使得每级输出采样率都减半。通过分层分解对不同频率范围内振动分量信号特征加以分析。若设被分析信号的最低频率为0，最高频率为w，则其经一层分解后被分成两个信号，这两个信号的频带宽分别为[0，w/2]和[w/2，w]，每个部分都经过一次减点抽样；再下一层的小波分解则是对频率成分[0，w/2]进一步分解，又得到两个子信号，其频带分别为[0，w/22]和[w/22，w/2]，如此类推，分解N次即可得到第N层的小波分解结果。对于多分辨分析的理解，以三层信号分解为例进行说明，其小波分界树结构，如图2-3所示[35]。图2-3小波分界树结构示意图Fig.2-3structurediagramofWaveletBoundarytree从图2-3可以看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步的分解，而对高频部分则不予考虑。实际应用中，在多分辨率分析条件下，将爆破振动信号分解到不同的频率带上，通过离散小波变换的分层分解对不同频率范围内振动分量时间变化规律加以分析，从而给出爆破振动信号能量的时频分布特征。采用二进小波时，函数f（t）满足如下分层分解关系：公式（2-12）式中:fi(t)(i=1，2，，N)表示函数分解出的低频部分，gi(t)(i=1，2，…，N)表示函数分解出的高频部分，下标表示对应的分解层次。当分析对象为爆破振动的时间历史x(t)时，有f0(t)=x(t)，于是式2-12可以简化为：公式（2-13）1.1.2连续小波变换的性质1）线性叠加性。假设信号为f1（t）和f2（t），两个信号的连续小波变换分别为Wf1（a，b）和Wf2（a，b），则f（t）=m1f1（t）+m2f2（t）的连续小波变换为：公式（2-14）式2-14中：m1、m2为任意常数。2）时移性。假设信号f（t）的连续小波变换为Wf（a，b），则信号f（t-t0）的连续小波变换是Wf（a，b-t0），即当信号有延时t0发生时，伸缩因子a保持不变，平移因子b相应也发生延时t0。3）尺度变换性。假设信号f（t）的连续小波变换为Wf（a，b），则信号f（Mt）的连续小波变换为，即信号发生时间上的缩放时，函数形状不发生改变，其系数跟随其缩放发生变化。1.1.3小波基函数小波基函数不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以作为小波函数，随着小波理论的发展，人们在基本小波的基础上构造了满足不同需要的小波，集中常用的小波基如下：1）Haar小波。在小波变换当中最常用到的小波函数之一就是Haar函数，其为A.Haar于1990年提出的一种正交函数系，其函数定义为：公式（2-15）这是一种最简单的正交小波，即：公式（2-16）Haar小波函数波形图如2-4图。图2-4Haar小波的形状图Fig.2-4shapeofHaarwavelet2）Daubechies（dbN）小波系。该小波是Daubechies从两尺度方程系数{hk}出发设计出来的离散正交小波。一般简写为dbN，N是小波的阶数。以db2小波为例，图为db2小波函数形状图[45-46]。图2-5db2小波形状图Fig.2-5shapechartofDB2wavelet对于爆破振动信号中的突变点大多存在于高频部分，且易丢失，若信息缺失，则突变点的检测和提取将发生错误。Harr小波的正则性较差，不适用于奇异性检测，Daubechies小波系的时间窗更短，时间分辨率更好，因此对爆破振动信号多选用Daubechies小波系函数进行分析。1.3Hilbert-Huang变换对于傅里叶变换而言，是目前所接触到应用最多的信号处理法。通过傅里叶变换可以获取信号的频率信息。但是，傅里叶变换对于非平稳信号（频率随时间变化的信号）的处理能力不足，且只能获取一段信号总体上包含哪些频率成分，对各成分出现的时刻并无所知。小波变换的数学基础是傅里叶变换，其被称为数学显微镜。通过小波变换，不仅可以知道信号的频率部分，还知道其在时间上的具体位置。对于突变信号，小波变换的效果要好于傅里叶变换。但是小波变换也有缺点和不足，就是小波基需要人为选择，同时和HHT相比，小波变换因为受到Heisenberg测不准原理（一个信号不能同时在时域和频域上过于集中）的制约，在提高时间精度的时候就要牺牲掉频率精度。同时，在处理含有突变信号的时候，HHT要比小波变换效果更好。Hilbert-Huang变换是一种新的非平稳信号的时频分析方法，以瞬态频率为基本量，以固有模式信号为基本信号。也就是说，在HHT中表征信号交变的基本量不是频率而是瞬时频率。实现频率上能量分布的关键是找到合理的信号分析方法[44]。Hilbert-Huang变换是处理非平稳信号的方法。它以局域性的基本量为研究对象从而更接近实际，更适合处理非平稳信号，意义更明确。1.3.1EMD分解方法HHT是由EMD和Hilbert变换组成，通过EMD将信号分解为不同的基本模式分量IMF，然后使用Hilbert变换来对每个IMF进行处理，可以得知每个IMF的时间-频率关系。EMD是对原始信号进行经验模式分解，分离出缓变信号。混合信号包含不同振幅和频率值的正弦波。为研究非平稳与瞬态现象，频率必须是与时间相关联的函数，但是对瞬时频率定义在很长时间内没有达到共识；后来，研究者们摆脱了傅立叶分析结果的影响后，有的观点是瞬时频率在一定的状态下存在。全面性的定义对频率时刻变化的非平稳信号没有意义，对具有代表性的瞬时频率，得出函数必须是对关于局部零均值对称，并且有相同的过零点和极值，这一必要条件必须是在物理特性方面满足的。因此，当采用EMD分析振动信号时必须满足以下两个条件[47-50]：信号极值点的数量与零点数相等或相差是一。信号由极大值定义的上包络和由极小值定义的下包络的局部均值为零。假设分析信号为X(t)，EMD分解的实现过程为：首先对信号序列进行所有极值点的识别，将待分析信号X(t)的所有局部极大值和极小值点分别提取出来，再通过三次样条插值方式分别拟合极大值点、极小值点，形成极大值包络线u（t）和极小值包络线v（t），包络线满足关系式：公式（2-17）包络线构造过程如图2-6所示。图2-6EMD提取的极值包络线Fig.2-6extremeenvelopeextractedbyEMD对包络线进行平均，得到极值包络线均值m1（t）：公式（2-18）再将信号x(t)减去包络线的均值m1，获得新信号h1(t)：公式（2-19）此次获得的信号h1(t)就是IMF分量形式。根据IMF分量的判断准则判定是否是IMF分量。若h1(t)不满足条件，则将h1(t)作为原始数据，重复上述步骤，不断筛选，直至h1(t)满IMF条件，此时，记h1(t)=c1(t)，则c1(t)为信号X(t)的第一个IMF分量。公式（2-20）再将剩余信号r1(t)=X(t)-c1(t)作为原始信号，同上原理分解k次得到k阶IMF，余量rn(t)。若得到的余量rn(t)为一个单调信号或小于判定值，EMD分解结束。综合上述结果，将各阶IMF与余项rn(t)重构获得原始信号：信号的剩余部分用r1（t）表示，这样，原始信号就可以写为：公式（2-21）EMD分解方法可以理解为一个尺度滤波的方法，通过EMD分解之后所得各个IMF分量都反映了信号的特征尺度，代表了信号的内在模态特征。HHT方法可通过EMD分解得到的IMF分量进行求导，获得分量的瞬时频率。1.3.2Hilbert变换基于原信号自身的局部均值特征以及时间尺度，EMD方法将信号按频率由高到低筛分成一系列IMF分量的和。每一个IMF分量计算得到的瞬时频率以及瞬时幅值就有了真实的物理意义