2025-2026年安徽省部编版高中数学选修4-1第2章习题集

2025-2026年安徽省部编版高中数学选修4-1第2章习题集一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在选修4-1第2章中，若函数f(x)=sin(x+π/3)的图像关于直线x=π对称，则下列说法正确的是（）A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)在区间[0,2π]上单调递增C.f(x)的对称轴方程为x=π/3D.f(x)的图像可由y=sin(x)向左平移π/3得到参考答案：A解析：f(x)=sin(x+π/3)的最小正周期仍为2π，因为正弦函数的周期性不受相位平移影响。选项B错误，因为f(x)在[0,2π]上存在单调递减区间。选项C错误，对称轴应为x=π-π/3=2π/3。选项D错误，正确平移应为y=sin(x-π/3)。2.已知函数g(x)=cos(2x-π/4)，若将g(x)的图像向右平移α个单位后得到函数h(x)=cos(2x+π/3)，则α的值为（）A.π/12B.π/6C.π/4D.π/3参考答案：C解析：由g(x)→h(x)的平移关系可得cos[2(x-α)-π/4]=cos(2x+π/3)，化简得2(x-α)-π/4=2x+π/3+2kπ，解得α=-π/4-π/3+2kπ=-7π/12+2kπ。当k=0时，α=-7π/12，但需调整为正值，故α=π/4。3.在选修4-1第2章中，函数m(x)=tan(3x-π/4)的图像的一个对称中心是（）A.(π/12,0)B.(π/4,0)C.(π/6,0)D.(π/3,0)参考答案：A解析：tan函数的对称中心满足3x-π/4=kπ，即x=π/12+kπ/3。当k=0时，对称中心为(π/12,0)。其他选项代入均不满足方程。4.若函数n(x)=sin(ωx+φ)在区间[0,π]上恰有一个对称轴，且最小值为-1，则ω和φ的可能取值组合为（）A.(2,π/2)B.(1,π/6)C.(3,3π/2)D.(4,π)参考答案：C解析：对称轴需满足ωx+φ=kπ+π/2，即x=(kπ+π/2-φ)/ω。区间[0,π]内需有整数k满足0≤(kπ+π/2-φ)/ω≤π，且sin函数最小值为-1需φ=3π/2。选项C满足条件。5.在选修4-1第2章中，函数p(x)=2cos^2(x)-1的图像与直线y=1/2的交点个数为（）A.0B.2C.4D.6参考答案：C解析：p(x)=cos(2x)，交点即cos(2x)=1/2，解得2x=±π/3+2kπ，x=±π/6+kπ。在[0,2π]内，x=π/6,5π/6,7π/6,11π/6，共4个交点。6.已知函数q(x)=sin(x+α)cos(x+α)，若其图像关于点(π/2,0)对称，则α的可能值为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4参考答案：B解析：q(x)=1/2sin(2x+2α)，对称中心满足2x+2α=kπ，即x=(kπ-2α)/2。当k=1时，x=π/2-α=π/2，解得α=0。但需满足对称性，故α=3π/4。7.在选修4-1第2章中，函数r(x)=|sin(x)|+|cos(x)|的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π参考答案：B解析：|sin(x)|和|cos(x)|的周期均为π，故r(x)的最小正周期为π。8.若函数s(x)=asin(bx+c)+d在区间[0,2π]上恰有5个零点，且a>0，则b的可能取值为（）A.1/2B.1C.3/2D.2参考答案：D解析：正弦函数一个周期内最多有4个零点，5个零点需跨越两个周期，即bx+c=2kπ±π/2，解得b=2。9.在选修4-1第2章中，函数t(x)=sin(x)cos(x)cos(2x)的图像与x轴的交点个数为（）A.6B.8C.10D.12参考答案：B解析：t(x)=1/2sin(2x)cos(2x)=1/4sin(4x)，在[0,2π]内，sin(4x)=0的解为x=kπ/4，共8个交点。10.已知函数u(x)=cos(2x)cos(4x)，若其图像关于y轴对称，则u(x)可以化简为（）A.1/2cos(6x)B.1/2cos(2x)C.1/2sin(6x)D.1/2sin(2x)参考答案：A解析：u(x)=1/2[cos(6x)+cos(2x)]，因图像关于y轴对称，需cos(2x)项消失，故u(x)=1/2cos(6x)。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数v(x)=sin(2x+π/3)的图像向左平移π/4个单位后，其对称轴方程变为__________。参考答案：(x-π/8+kπ/2)解析：平移后函数为sin[2(x+π/4)+π/3]=sin(2x+5π/6)，对称轴满足2x+5π/6=kπ+π/2，即x=π/8+kπ/2。2.若函数w(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π/3，且φ为锐角，则ω=__________。参考答案：6解析：周期T=2π/ω=π/3，解得ω=6。φ为锐角即0<φ<π/2。3.函数x(x)=tan(3x-π/4)的图像在区间(π/4,π)内__________（填"存在"或"不存在"）对称中心。参考答案：不存在解析：tan函数对称中心满足3x-π/4=kπ，即x=(kπ+π/4)/3。在(π/4,π)内无整数k满足该条件。4.函数y(x)=sin(x)cos(x)在区间[0,π/2]上的最大值为__________。参考答案：1/2解析：y(x)=1/2sin(2x)，在[0,π/2]内，2x∈[0,π]，sin(2x)最大值为1，故y(x)最大值为1/2。5.函数z(x)=|sin(x)|+|cos(x)|在[0,π/2]上的最小值为__________。参考答案：√2/2解析：在[0,π/2]内，sin(x)≥0,cos(x)≥0，z(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2，最小值为0。6.若函数p(x)=asin(bx+c)+d在区间[0,2π]上恰有5个零点，且a>0，则b的可能取值为__________。参考答案：2解析：正弦函数一个周期内最多4个零点，5个零点需跨越两个周期，即bx+c=2kπ±π/2，解得b=2。7.函数q(x)=cos(2x)cos(4x)的图像关于y轴对称，则q(x)可以化简为__________。参考答案：1/2cos(6x)解析：q(x)=1/2[cos(6x)+cos(2x)]，因图像关于y轴对称，需cos(2x)项消失，故q(x)=1/2cos(6x)。8.函数r(x)=tan(3x-π/4)的图像的一个对称中心是__________。参考答案：(π/12,0)解析：对称中心满足3x-π/4=kπ，即x=π/12+kπ/3。当k=0时，对称中心为(π/12,0)。9.函数s(x)=sin(x)cos(x)cos(2x)在[0,π]内的零点个数为__________。参考答案：6解析：s(x)=1/2sin(2x)cos(2x)=1/4sin(4x)，在[0,π]内，sin(4x)=0的解为x=kπ/4，共6个零点。10.函数t(x)=|sin(x)|+|cos(x)|的最小正周期为__________。参考答案：π解析：|sin(x)|和|cos(x)|的周期均为π，故t(x)的最小正周期为π。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像与函数g(x)=cos(x-π/6)的图像完全重合。（×）解析：f(x)=sin(x+π/3)=cos(x-π/6)，但相位平移方向相反，图像不重合。2.函数h(x)=cos(2x)在区间[0,π]上单调递减。（×）解析：在[0,π/2]单调递减，在[π/2,π]单调递增。3.函数k(x)=tan(3x-π/4)的图像关于直线x=π/4对称。（√）解析：tan函数对称轴满足3x-π/4=kπ+π/2，x=π/4时，3(π/4)-π/4=π/2，满足对称性。4.函数l(x)=sin(x)cos(x)的最小正周期为π/2。（×）解析：l(x)=1/2sin(2x)，周期为π/2。5.函数m(x)=|sin(x)|+|cos(x)|在区间[0,π/2]上单调递增。（√）解析：在[0,π/2]内，sin(x)+cos(x)单调递增。6.函数n(x)=cos(2x)cos(4x)的最小正周期为π/3。（×）解析：周期为π/3。7.函数p(x)=tan(3x-π/4)的图像在区间(π/4,π)内存在对称中心。（×）解析：tan函数对称中心满足3x-π/4=kπ，在(π/4,π)内无整数k满足。8.函数q(x)=sin(x)cos(x)cos(2x)的最小正周期为π/2。（×）解析：周期为π/2。9.函数r(x)=|sin(x)|+|cos(x)|的最小正周期为π/4。（×）解析：周期为π。10.函数s(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为2π/|ω|，与φ的正负无关。（√）解析：周期仅与ω有关，与φ无关。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.已知函数t(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为2π/3，且在x=π/4处取得最大值，求ω和φ的值。解答：(1)周期条件：2π/ω=2π/3，解得ω=3。(2)最大值条件：ωx+φ=2kπ+π/2，即3(π/4)+φ=2kπ+π/2，解得φ=π/2-3π/4+2kπ=-π/4+2kπ。取k=0，φ=-π/4。参考答案：ω=3，φ=-π/4。2.函数m(x)=cos(2x-π/4)的图像经过点(π/4,√2/2)，求m(x)在区间[0,π]上的零点个数。解答：(1)代入点坐标：cos[2(π/4)-π/4]=√2/2，即cos(π/4)=√2/2，满足条件。(2)零点条件：2x-π/4=kπ+π/2，即x=(kπ+3π/8)/2。在[0,π]内，k=0,1,2，解得x=3π/8,9π/8,15π/8，共3个零点。参考答案：3个零点。3.函数n(x)=tan(3x-π/4)的图像与直线y=1的交点个数为多少？解答：交点条件：tan(3x-π/4)=1，即3x-π/4=kπ+π/4，解得x=(kπ+π/2)/3。在(0,π)内，k=0,1,2，解得x=π/6,π/2,5π/6，共3个交点。参考答案：3个交点。4.函数p(x)=sin(x)cos(x)cos(2x)在区间[0,π]上的最大值为多少？解答：(1)化简：p(x)=1/2sin(2x)cos(2x)=1/4sin(4x)。(2)最大值条件：sin(4x)=1，即4x=2kπ+π/2，解得x=(2kπ+π/2)/4。在[0,π]内，k=0,1，解得x=π/8,3π/8,5π/8,7π/8,9π/8,11π/8。最大值为1/4。参考答案：1/4。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且在区间[0,π]上恰有两个零点，求ω和φ的可能取值。解答：(1)对称条件：ω(π/4)+φ=kπ+π/2，即ωπ/4+φ=kπ+π/2。(2)零点条件：ωx+φ=kπ，即ωx+φ=kπ。在[0,π]内，k=0,1，需满足一个k值满足对称条件。取k=0，φ=π/2-ωπ/4。代入零点条件：ωx+π/2-ωπ/4=kπ，解得x=(kπ-π/4)/ω。在[0,π]内，k=0,1，需满足一个k值，解得ω=4/3，φ=π/6。参考答案：ω=4/3，φ=π/6。2.函数g(x)=cos(2x-π/3)的图像经过点(π/3,√3/2)，求g(x)在区间[0,2π]上的对称轴方程。解答：(1)代入点坐标：cos[2(π/3)-π/3]=√3/2，即cos(π/3)=√3/2，满足条件。(2)对称轴条件：2x-π/3=kπ，即x=(kπ+π/3)/2。在[0,2π]内，k=0,1,2,3，解得x=π/6,2π/3,7π/6,5π/3，共4条对称轴。参考答案：x=π/6+kπ/2(k=0,1,2,3)。3.函数h(x)=tan(3x-π/4)的图像与直线y=0的交点个数为多少？解答：交点条件：tan(3x-π/4)=0，即3x-π/4=kπ，解得x=(kπ+π/4)/3。在(0,2π)内，k=0,1,2,3,4,5，解得x=π/12,5π/12,9π/12,13π/12,17π/12,21π/12，共6个交点。参考答案：6个交点。4.函数k(x)=sin(x)cos(x)cos(2x)在区间[0,π]上的零点分布情况如何？解答：(1)化简：k(x)=1/2sin(2x)cos(2x)=1/4sin(4x)。(2)零点条件：sin(4x)=0，即4x=kπ，解得x=kπ/4。在[0,π]内，k=0,1,2,3,4，解得x=0,π/4,π/2,3π/4,π，共5个零点。参考答案：零点为x=0,π/4,π/2,3π/4,π。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.C3.A4.C5.C6.B7.B8.D9.B10.A二、填空题1.(x-π/8+kπ/2)2.63.不存在4.1/25.√2/26.27.1/2cos(6x)8.(π/12,0)9.610.π三、判断题1.×2.×3.√4.×5.√6.×7.×