控制系统的数学模型

2控制系统数学模型第1页2控制系统数学模型数学模型：从狭义上说，就是一个描述系统各变量之间关系数学表示式，普通用微分方程来描述系统及过程动态特征。

第2页2控制系统数学模型2.1数学模型建立——建模1)机理建模2)试验辨识第3页2控制系统数学模型机理建模步骤：由系统或元件工作原理，确定输入量和输出量；依据支配元件输出量和输入量内在联络物理或化学规律，按工作条件忽略一些次要原因，并考虑相邻元件彼此影响，列出元件运动方程。本课程惯用定律有：牛顿定律、能量守恒定律、基尔霍夫定律。将得到运动方程，消去中间变量，求得描述系统输入量与输出量关系数学方程。

第4页第5页第6页第7页2控制系统数学模型2.2非线性数学模型线性化第8页2控制系统数学模型实际物理系统往往有死区、饱和、间隙等各类非线性现象。严格来讲，组成控制系统元件，其输出与输入信号之间都含有不一样程度非线性，所建立系统运动方程也应该是非线性。但用非线性微分方程来研究系统动态特征是很困难。工程上常采取对非线性系统动态特征进行线性化处理。

第9页2控制系统数学模型把非线性系统处理成为线性系统过程，称为非线性系统线性化.

第10页2控制系统数学模型在不影响研究分析系统性能标准下，忽略一些非线性原因，将元件或系统视为线性；把非线性特征在工作点附近用泰勒级数展开方法进行线性化，所得工作点附近范围内非线性特征，用线性模型近似；第11页2控制系统数学模型自动控制系统通常都有一个正常工作状态即稳态。系统在工作中往往受到各种扰动，使其偏离工作状态，自动控制系统会自动地进行调整，力图消除这种偏差。对于稳定系统，这种偏差是很小，满足偏差线性化条件。以下介绍一些简化过程。

第12页第13页2控制系统数学模型2.3传递函数概念及基本步骤传递函数2.3.1传递函数概念

传递函数定义：在初始条件为零条件下，系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。第14页2控制系统数学模型设线性定常系统输入量，输出量，描述系统运动规律常微分方程普通形式为：式中：为常数。

第15页2控制系统数学模型当初始条件为零时，进行拉氏变换得由传递函数定义：

第16页2控制系统数学模型传递函数性质传递函数和微分方程一样，表示系统运动特征，是数学模型一个表示形式，它与系统运动方程一一对应；传递函数取决于系统结构参数，与外界无关；传递函数为复变量函数，普通为有理式；传递函数只适合用于线性定常系统。第17页2控制系统数学模型拉氏变换定义：若函数满足：(1)时，;(2)时，函数连续；(3)，,则函数称为函数拉普拉斯变换，简称拉氏变换。第18页2控制系统数学模型基本函数拉氏变换脉冲函数定义：且有第19页2控制系统数学模型单位阶跃函数定义：第20页2控制系统数学模型单位斜坡函数定义：第21页2控制系统数学模型指数函数第22页2控制系统数学模型正弦函数余弦函数第23页2控制系统数学模型拉氏变换特征线性性质实数域位移定理第24页2控制系统数学模型复数域位移定理相同定理第25页2控制系统数学模型微分定理积分定理第26页2控制系统数学模型初值定理终值定理第27页例：第28页2控制系统数学模型拉氏反变换求解方法对于简单，可直接查表求得；对于比较复杂，不能直接查表，需将简化为简单形式组合再查表。第29页2控制系统数学模型通常能够表示为复数s有理形式：其中：

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若无重根，即为单零点，则可将表示式化成份步形式其中

2控制系统数学模型第31页例：求拉氏反变换解：2控制系统数学模型第32页2控制系统数学模型若有重根设有个重根，则

第33页2控制系统数学模型系数确实定第34页

例：求原函数

2控制系统数学模型第35页作业1：求解微分方程初始条件作业2：求解微分方程初始条件第36页2控制系统数学模型2.3.2基本步骤传递函数第37页2控制系统数学模型1）百分比步骤第38页2控制系统数学模型2)一阶惯性步骤第39页2控制系统数学模型3)微分步骤第40页2控制系统数学模型4)一阶微分步骤第41页2控制系统数学模型5)二阶微分步骤

第42页2控制系统数学模型6)积分步骤第43页2控制系统数学模型7)振荡步骤令，则：第44页2控制系统数学模型8)时延步骤第45页第46页2控制系统数学模型2.4控制系统结构图及其等效变换2.4.1结构图（方框图）基本概念第47页2控制系统数学模型结构图：是描述系统运动特征数学图形，是系统中各元件功效和信号流向图解表示。用结构图描述控制系统，能够清楚地表明系统中各组成元件信号传递关系，输出量与输入量因果关系，而且能够比较方便确实定系统传递函数。第48页第49页2控制系统数学模型信号线：用带有箭头直线表示，箭头方向表示信号传递方向，在直线一侧标注信号名称；方框：表示信号经过方框后进行数学变换，在方框中传递函数表示信号变换特征；加减点：也称综合点，表示信号相加或相减；引出点：也称为测量点，表示同一信号向不一样方向传递，在同一点引出信号在数值上和性质上完全相同。任何复杂线性定常系统信号传递特点，都能够利用上诉符号，用结构图表示出来。第50页2控制系统数学模型2.4.2绘制结构图普通步骤1)列写系统（元件）原始微分方程；2)设初始状态为零，对这些原始微分方程进行拉氏变换；3)依据拉氏变换式中因果关系，画出信号传递方框图，按系统中各信号传递次序，依次将各传递方框图连接起来，便得到系统结构图。第51页例：车辆系统动力学模型

第52页第53页例：型滤波器第54页第55页2控制系统数学模型2.4.3结构图等效变换目标：将原复杂系统结构图，简化为简单形式，从而便于求出整个系统传递函数。标准：保持原输出与输入变量之间关系不变。第56页2控制系统数学模型1)串联结构图等效变换第57页2控制系统数学模型第58页2)

并联结构图等效变换第59页2控制系统数学模型第60页2控制系统数学模型3)加减点移动方法a、加减点后移第61页2控制系统数学模型第62页2控制系统数学模型b、加减点前移第63页2控制系统数学模型第64页2控制系统数学模型4)引出点移动方法a、引出点后移第65页2控制系统数学模型第66页2控制系统数学模型b、引出点前移第67页2控制系统数学模型第68页2控制系统数学模型5）消除反馈第69页2控制系统数学模型第70页2控制系统数学模型例：型滤波器第71页2控制系统数学模型例：1/4车辆动力学模型第72页2控制系统数学模型2.4.4自动控制系统传递函数第73页2控制系统数学模型1）开环传递函数开环传递函数并非指开环控制系统传递函数，而是指闭环系统断开主反馈后整个环路传递函数，记为第74页2控制系统数学模型2）闭环传递函数a、给定输入信号单独作用；

b、扰动输入信号单独作用第75页2控制系统数学模型3）给定输入信号和扰动信号同时作用第76页2控制系统数学模型§2.5脉冲响应函数零初始条件下，线性定常系统对理想单位脉冲输入信号时域响应函数，称为该系统脉冲响应函数，记为。第77页2控制系统数学模型若系统输入信号是一个理想单位脉