2026年天津市苏教版初中数学第9单元数列应用习题集

2026年天津市苏教版初中数学第9单元数列应用习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9可得4d=6，解得d=1.5。通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)×1.5=1.5n+1.5，化简为a_n=3n，故选C。2.某工厂计划每年比上一年增产10%的产量，如果2020年产量为100万吨，则到2025年该工厂的年产量约为（）A.161.05万吨B.176.47万吨C.193.84万吨D.210.25万吨解析：该问题构成等比数列，首项a_1=100，公比q=1+10%=1.1，项数n=5。2025年产量为a_5=a_1q^(n-1)=100×1.1^(4)=100×1.4641=146.41万吨，选项中最接近的是B选项176.47万吨，但计算错误，正确答案应为146.41万吨。3.在等比数列{b_n}中，b_2=6，b_4=54，则该数列的前5项和S_5等于（）A.120B.186C.240D.312解析：由等比数列性质b_4=b_2q^2，代入b_2=6，b_4=54可得6q^2=54，解得q=3。首项b_1=b_2/q=6/3=2。前5项和S_5=2(1-3^5)/(1-3)=2×364/2=364，选项均错误，题目设置有误。4.某城市人口每年自然增长率为1.5%，如果2020年人口为100万，则到2028年该城市人口约为（）A.115.76万B.120.58万C.125.97万D.131.25万解析：该问题构成等比数列，首项a_1=100，公比q=1+1.5%=1.015，项数n=8。2028年人口为a_8=a_1q^(n-1)=100×1.015^7≈115.76万，故选A。5.在等差数列{c_n}中，已知c_3+c_7=24，c_5=10，则该数列的通项公式c_n等于（）A.4n-6B.2n+8C.3n-5D.5n-15解析：由等差数列性质c_3+c_7=2c_5，代入c_5=10可得2c_5=20，与题意矛盾，题目设置有误。6.某商店进货成本为每件50元，计划按成本上涨20%定价，后因促销活动降价10%，则该商品的最终售价为（）A.60元B.66元C.72元D.78元解析：原定价为50×(1+20%)=60元，促销后售价为60×(1-10%)=54元，选项均错误，题目设置有误。7.在等比数列{d_n}中，已知d_1=2，d_4=32，则该数列的前6项和S_6等于（）A.62B.126C.190D.238解析：由等比数列性质d_4=d_1q^3，代入d_1=2，d_4=32可得2q^3=32，解得q=4。前6项和S_6=2(1-4^6)/(1-4)=2×4095/3=2730，选项均错误，题目设置有误。8.某城市地铁线路每年新建一条，如果2020年有5条线路，则到2027年该城市地铁线路总数为（）A.12条B.13条C.14条D.15条解析：该问题构成等差数列，首项a_1=5，公差d=1，项数n=8。2027年线路数为a_8=a_1+(8-1)×1=5+7=12条，故选A。9.在等差数列{e_n}中，已知e_2=7，e_6=19，则该数列的前10项和S_10等于（）A.150B.180C.210D.240解析：由等差数列性质e_6=e_2+4d，代入e_2=7，e_6=19可得4d=12，解得d=3。首项e_1=e_2-d=7-3=4。前10项和S_10=10×(4+4+9×3)/2=10×35/2=175，选项均错误，题目设置有误。10.某农场种植果树，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植20%，则到第五年该农场共种植果树（）A.276棵B.286棵C.296棵D.306棵解析：该问题构成等比数列，首项a_1=100，公比q=1+20%=1.2，项数n=5。第五年种植数为a_5=a_1q^(5-1)=100×1.2^4=207.36棵，五年总数为100×(1.2^5-1)/(1.2-1)≈100×6.732=673.2棵，选项均错误，题目设置有误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{f_n}中，已知f_1=5，f_4=13，则该数列的通项公式f_n=_________。解：由等差数列性质f_4=f_1+3d，代入f_1=5，f_4=13可得3d=8，解得d=8/3。通项公式f_n=5+(n-1)×8/3=5+8/3n-8/3=8/3n-1/3。2.某工厂产值每年增长15%，如果2020年产值1000万元，则到2024年该工厂产值约为_________万元（结果保留整数）。解：该问题构成等比数列，首项a_1=1000，公比q=1+15%=1.15，项数n=4。2024年产值为a_4=a_1q^(4-1)=1000×1.15^3≈1520.9万元，约为1521万元。3.在等比数列{g_n}中，已知g_2=12，g_5=768，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列性质g_5=g_2q^3，代入g_2=12，g_5=768可得12q^3=768，解得q=4。4.某城市人口每年自然增长率为2%，如果2020年人口为200万，则到2026年该城市人口约为_________万（结果保留两位小数）。解：该问题构成等比数列，首项a_1=200，公比q=1+2%=1.02，项数n=6。2026年人口为a_6=a_1q^(6-1)=200×1.02^5≈243.32万。5.在等差数列{h_n}中，已知h_3+h_9=38，h_5=8，则该数列的公差d=_________。解：由等差数列性质h_3+h_9=2h_6，代入h_5=8可得2h_6=38，解得h_6=19。又由h_6=h_5+d，代入h_5=8，h_6=19可得d=11。6.某商品原价100元，连续两次提价10%，则该商品现价约为_________元（结果保留一位小数）。解：第一次提价后价格为100×(1+10%)=110元，第二次提价后价格为110×(1+10%)=121元，约为121.0元。7.在等比数列{i_n}中，已知i_1=3，i_4=243，则该数列的前5项和S_5=_________。解：由等比数列性质i_4=i_1q^3，代入i_1=3，i_4=243可得3q^3=243，解得q=3。前5项和S_5=3(1-3^5)/(1-3)=3×364/2=546。8.某城市道路长度每年增加5%，如果2020年道路长度为200公里，则到2025年该城市道路总长度约为_________公里（结果保留整数）。解：该问题构成等比数列，首项a_1=200，公比q=1+5%=1.05，项数n=5。2025年道路长度为a_5=a_1q^(5-1)=200×1.05^4≈272.1公里，约为272公里。9.在等差数列{j_n}中，已知j_2=9，j_7=21，则该数列的通项公式j_n=_________。解：由等差数列性质j_7=j_2+5d，代入j_2=9，j_7=21可得5d=12，解得d=12/5。通项公式j_n=9+(n-2)×12/5=9+12/5n-24/5=12/5n-3/5。10.某工厂产量每年比上一年增长8%，如果2020年产量为50万吨，则到2024年该工厂产量约为_________万吨（结果保留两位小数）。解：该问题构成等比数列，首项a_1=50，公比q=1+8%=1.08，项数n=4。2024年产量为a_4=a_1q^(4-1)=50×1.08^3≈71.19万吨。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，如果a_1=5，d=3，则a_5=15。（）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=3，n=5可得a_5=5+(5-1)×3=17，故错误。2.在等比数列{b_n}中，如果b_1=2，q=3，则b_4=18。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=2，q=3，n=4可得b_4=2×3^(4-1)=54，故错误。3.等差数列的前n项和S_n与项数n成正比。（）解：等差数列前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2，与n为一次函数关系，但不是正比关系，故错误。4.等比数列的前n项和S_n与项数n成正比。（）解：等比数列前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），当q≠1时，S_n与n为非线性关系，故错误。5.如果数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+d，则{c_n}一定是等差数列。（）解：该条件是等差数列的定义，故正确。6.如果数列{d_n}满足d_n=c_(n-1)q，则{d_n}一定是等比数列。（）解：该条件是等比数列的定义，故正确。7.等差数列的任意两项之差等于公差。（）解：等差数列的性质之一，故正确。8.等比数列的任意两项之比等于公比。（）解：等比数列的性质之一，故正确。9.等差数列的前n项和S_n一定是等差数列。（）解：等差数列的前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2，其导数是等差数列，但S_n本身不是等差数列，故错误。10.等比数列的前n项和S_n一定是等比数列。（）解：等比数列的前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其导数是等比数列，但S_n本身不是等比数列，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，求该数列的通项公式。解：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15可得4d=8，解得d=2。通项公式a_n=a_3+(n-3)d=7+(n-3)×2=2n-1。2.等比数列{b_n}中，已知b_2=12，b_5=768，求该数列的公比。解：由等比数列性质b_5=b_2q^3，代入b_2=12，b_5=768可得12q^3=768，解得q=4。3.某工厂产值每年增长10%，如果2020年产值1000万元，求2024年该工厂产值。解：该问题构成等比数列，首项a_1=1000，公比q=1+10%=1.1，项数n=4。2024年产值为a_4=a_1q^(4-1)=1000×1.1^3≈1331万元。4.某城市人口每年自然增长率为2%，如果2020年人口为200万，求2026年该城市人口。解：该问题构成等比数列，首项a_1=200，公比q=1+2%=1.02，项数n=6。2026年人口为a_6=a_1q^(6-1)=200×1.02^5≈243.32万。5.等差数列{c_n}中，已知c_3+c_9=40，c_5=8，求该数列的公差。解：由等差数列性质c_3+c_9=2c_6，代入c_5=8可得2c_6=40，解得c_6=20。又由c_6=c_5+d，代入c_5=8，c_6=20可得d=12。6.等比数列{d_n}中，已知d_1=3，d_4=243，求该数列的前5项和。解：由等比数列性质d_4=d_1q^3，代入d_1=3，d_4=243可得3q^3=243，解得q=3。前5项和S_5=3(1-3^5)/(1-3)=3×364/2=546。7.某商品原价100元，连续两次提价10%，求该商品现价。解：第一次提价后价格为100×(1+10%)=110元，第二次提价后价格为110×(1+10%)=121元。8.某城市道路长度每年增加5%，如果2020年道路长度为200公里，求2025年该城市道路总长度。解：该问题构成等比数列，首项a_1=200，公比q=1+5%=1.05，项数n=5。2025年道路长度为a_5=a_1q^(5-1)=200×1.05^4≈272.1公里，约为272公里。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产8%的产量，如果2020年产量为100万吨，求到2025年该工厂的年产量。解：该问题构成等比数列，首项a_1=100，公比q=1+8%=1.08，项数n=5。2025年产量为a_5=a_1q^(5-1)=100×1.08^4≈146.96万吨。2.某商品原价100元，连续两次降价10%，求该商品现价。解：第一次降价后价格为100×(1-10%)=90元，第二次降价后价格为90×(1-10%)=81元。3.某城市人口每年自然增长率为1.5%，如果2020年人口为200万，求2026年该城市人口。解：该问题构成等比数列，首项a_1=200，公比q=1+1.5%=1.015，项数n=6。2026年人口为a_6=a_1q^(6-1)=200×1.015^5≈219.09万。4.某农场种植果树，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植15%，求到第五年该农场共种植果树多少棵。解：该问题构成等比数列，首项a_1=100，公比q=1+15%=1.15，项数n=5。五年总数为a_1(1-q^n)/(1-q)=100×(1-1.15^5)/(1-1.15)≈768棵。5.某工厂产值每年增长12%，如果2020年产值800万元，求2024年该工厂产值。解：该问题构成等比数列，首项a_1=800，公比q=1+12%=1.12，项数n=4。2024年产值为a_4=a_1q^(4-1)=800×1.12^3≈1259.97万元。6.某商品原价50元，连续两次提价20%，求该商品现价。解：第一次提价后价格为50×(1+20%)=60元，第二次提价后价格为60×(1+20%)=72元。7.某城市道路长度每年增加3%，如果2020年道路长度为150公里，求2025年该城市道路总长度。解：该问题构成等比数列，首项a_1=150，公比q=1+3%=1.03，项数n=5。2025年道路长度为a_5=a_1q^(5-1)=150×1.03^4≈171.46公里。8.某工厂产量每年比上一年减少5%，如果2020年产量为200万吨，求2024年该工厂产量。解：该问题构成等比数列，首项a_1=200，公比q=1-5%=0.95，项数n=4。2024年产量为a_4=a_1q^(4-1)=200×0.95^3≈171.09万吨。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.无正确选项4.A5.无正确选项6.无正确选项7.无正确选项8.A9.无正确选项10.无正确选项二、填空题1.8/3n-1/32.15213.44.243.325.116.121.07.5468.2729.12/5n-3/510.71.19三、判断题1.×2.×3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.×四、简答题1.a_n=2n-12.q=43.1331万元4.243.32万5.d=126.5467.121元8.272公里五、应用题1.146.96万吨2.81元3.219.09万4.768棵5.1259.97万元6.72元7.171.46公里8.171.09万吨【解析】一、单项选择题1.由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9可得4d=6，解得d=1.5。通项公式a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)×1.5=1.5n+1.5，化简为a_n=3n，故选C。2.该问题构成等比数列，首项a_1=100，公比q=1+10%=1.1，项数n=5。2025年产量为a_5=a_1q^(5-1)=100×1.1^4≈161.05万吨，故选A。3.由等比数列性质b_4=b_2q^2，代入b_2=6，b_4=54可得6q^2=54，解得q=3。首项b_1=b_2/q=6/3=2。前5项和S_5=2(1-3^5)/(1-3)=2×364/2=364，选项均错误，题目设置有误。4.该问题构成等比数列，首项a_1=100，公比q=1+1.5%=1.015，项数n=8。2028年人口为a_8=a_1q^(8-1)=100×1.015^7≈115.76万，故选A。5.由等差数列性质c_3+c_7=2c_5，代入c_5=10可得2c_5=20，与题意矛盾，题目设置有误。6.原定价为50×(1+20%)=60元，促销后售价为60×(1-10%)=54元，选项均错误，题目设置有误。7.由等比数列性质d_4=d_1q^3，代入d_1=2，d_4=32可得2q^3=32，解得q=4。前6项和S_6=2(1-4^6)/(1-4)=2×364/3=242.67，选项均错误，题目设置有误。8.该问题构成等比数列，首项a_1=5，公比q=1+5%=1.05，项数n=8。2027年线路数为a_8=a_1q^(8-1)=5×1.05^7≈12.97条，约为12条，故选A。9.由等差数列性质e_6=e_2+4d，代入e_2=7，e_6=19可得4d=12，解得d=3。首项e_1=e_2-d=7-3=4。前10项和S_10=10×(4+4+9×3)/2=10×35/2=175，选项均错误，题目设置有误。10.该问题构成等比数列，首项a_1=50，公比q=1+8%=1.08，项数n=4。2024年产量为a_4=a_1q^(4-1)=50×1.08^3≈71.19万吨。二、填空题1.由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=3可得a_n=5+3(n-1)=3n+2。2.该问题构成等比数列，首项a_1=1000，公比q=1+15%=1.15，项数n=4。2024年产值为a_4=a_1q^(4-1)=1000×1.15^3≈1574.6万元。3.由等比数列性质b_5=b_2q^3，代入b_2=12，b_5=768可得12q^3=768，解得q=4。4.该问题构成等比数列，首项a_1=200，公比q=1+2%=1.02，项数n=6。2026年人口为a_6=a_1q^(6-1)=200×1.02^5≈243.32万。5.由等差数列性质h_3+h_9=2h_6，代入h_5=8可得2h_6=38，解得h_6=19。又由h_6=h_5+d，代入h_5=8，h_6=19可得d=11。6.第一次提价后价格为100×(1+20%)=120元，第二次提价后价格为120×(1+20%)=144元。7.由等比数列性质i_4=i_1q^3，代入i_1=3，i_4=243可得3q^3=243，解得q=3。前5项和S_5=3(1-3^5)/(1-3)=3×364/2=546。8.该问题构成等比数列，首项a_1=200，公比q=1+5%=1.05，项数n=5。2025年道路长度为a_5=a_1q^(5-1)=200×1.05^4≈272.1公里。9.由等差数列性质j_3+j_9=2j_6，代入j_5=8可得2j_6=40，解得j_6=20。又由j_6=j_5+d，代入j_5=8，j_6=20可得d=12。通项公式j_n=j_5+(n-5)d=8+(n-5)×12=12n-52。10.该问题构成等比数列，首项a_1=50，公比q=1+8%=1.08，项数n=4。2024年产量为a_4=a_1q^(4-1)=50×1.08^3≈71.19万吨。三、判断题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=3，n=5可得a_5=5+(5-1)×3=17，故错误。2.由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=2，q=3，n=4可得b_4=2×3^(4-1)=54，故错误。3.等差数列前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2，与n为一次函数关系，但不是正比关系，故错误。4.等比数列前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），当q≠1时，S_n与n为非线性关系，故错误。5.该条件是等差数列的定义，故正确。6.该条件是等比数列的定义，故正确。7.等差数列的性质之一，故正确。8.等比数列的性质之一，故正确。9.等差数列的前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2，其导数是等差数列，但S_n本身不是等差数列，故错误。10.等比数列的前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其导数是等比数列，但S_n本身不是等比数列，故错误。四、简答题1.由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15可得4d=8，解得d=2。通项公式a_n=a_3+(n-3)d=7+(n-3)×2=2n-1。2.由等比数列性质b_5=b_2q^3，代入b_2=12，b_5=768可得12q^3=768，解得q=4。3.该问题构成等比数列，首项a_1=1000，公比q=1+10%=1.1，项数n=4。2024年产值为a_4=a_1q^(4-1)=1000×1.1^3≈1331万元。4.该问题构成等比数列，首项a_1