1.1.2 成比例线段 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

九年级上册数学（湘教版）第1章图形的相似1.1比例线段1.1.2成比例线段学习目标1.理解线段的比与成比例线段的关系；（重点、难点）2.了解并掌握黄金分割问题．(重点、难点)情境导入两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？探究新知线段的比和成比例线段1做一做

如图，在方格纸上（小方格的边长为1)有△ABC

和△A'B'C

，它们的顶点都在格点上，观察或计算出线段AB，BC，AC，A'B'，B'C'，A'C'

的长度，并计算

AB与

A'B'，BC

与

B'C，AC

与

A'C'

的长度的比值.由图可知，BC=2，B'C'=4.利用勾股定理可以计算得出：

知识要点

一般地，如果两条线段

AB，A′B′的长度分别为

m，n，那么把它们的长度的比

叫作这两条线段

AB与

A′B′的比，记作如果

的比值为

k，那么上述式子也可写成，或

AB=k·A'B'.练一练思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？？有关求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一？无关在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同.注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数.知识要点在图中，对于△ABC

和△A'B'C，有

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.ABCA'B'C'知识要点

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段.例如，已知四条线段

a，b，c，d

，若

，则

a，b，c，d

是比例线段.类似的，如果

，那么称线段

AB，BC，AC，与线段

A′B′，B′C′，A′C′，对应成比例.典例精析例1

已知线段

a，b，c，d的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，问

a，b，c，d

是比例线段吗？解

因为

，

，所以

，从而

a，b，c，d是成比例的线段.典例精析

例2

判断下列线段

a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；解：（1）∵，

，∴

.∴线段

a、b、c、d不是成比例线段．（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．（2）∵

∴∴线段

a、b、c、d是成比例线段．注意：1.若

a∶b=k，说明

a是

b的

k倍；2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；4.除了

a=b外，a∶b≠b∶a，练一练1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？成比例线段不成比例线段2.下列各组线段中成比例线段的是（）C例3

已知△ABC

的三边AB，BC，AC

与△A'B'C'的三边A'B'，B'C'，A'C'对应成比例.若△ABC

的周长为

48cm，且

A'B'=3cm，B'C'=4cm，A'C'=5cm，求△ABC

的三边的长.解

由题意可得

，因此可以设

AB=3xcm，BC=4xcm，AC=5xcm，则

3x＋4x＋5x=48，解得

x=4，从而

3x=12，4x=16，5x=20.所以△ABC

的三边

AB，BC，AC

的长分别为12cm，16cm，20cm.【练一练】3.一块矩形绸布的长AB

=

a

m，宽AD

=

1

m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即

，那么

a

的值应当是多少？解：根据题意可知，AB=am，AE=am，AD=1m.由

，得

即

，开平方，得答：a

的值应当是

m.

DFCBEA2黄金分割的概念一个五角星如下图所示.问题：度量

C到点

A、B的距离，与相等吗？概念学习

点

C把线段

AB分成两条线段

AC和

BC，如果

，

那么称线段

AB被点

C黄金分割.点

C叫做线段

AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段

AB的比称为黄金分割比.【做一做】1.计算黄金比.解：由

，得

AC2=AB·BC.

设

AB=1，AC=x，则

BC=1–x.

∴x2=1×(1-

x)，即

x2+x–1=0.解方程，得

x1=(不合题意，舍去)，x2=黄金比2.如图所示，已知线段

AB按照如下方法作图：1.经过点

B作

BD⊥AB，使

BD=AB.2.连接

AD，在

AD上截取

DE=DB.3.在

AB上截取

AC=AE.思考：点

C是线段

AB的黄金分割点吗?∴点

C是线段

AB的黄金分割点.令

AB=1，则练一练1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()(A)12.36cm(B)13.6cm(C)32.36cm(D)7.64cmA【解析】选A.0.618×20=12.36(cm).2.如图是一种贝壳的俯视图，点

C分线段

AB近似于黄金分割，已知

AB=10cm，则

AC的长约为_____cm.（结果精确到0.1cm）【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知由图可知，AC＞BA，∴即

AC2=(10-

AC)×10.解得

AC≈6.2cm.6.2【解析】由黄金分割定义可知，AC=BD=×AB=(40-40)cm，AD=AB

-

BD=(120-40)cm，

所以

DC=AC-

AD=(80-160)cm.3.如图所示，乐器上的一根弦

AB=80cm，两个端点

A、B固定在乐器板面上，支撑点

C是靠近点

B的黄金分割点，支撑点

D是靠近点

A的黄金分割点，则

AC=______cm，DC=_______cm.ABCD大自然与黄金分割打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30°左右.特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上.这不免让人联想起许多与北纬30°有关的地方.奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等.衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上.

文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.

东方明珠塔，塔高468米.设计师在

263米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.人的俊美，体现在头部及躯干是否符合黄金分割.美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例

0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美．课堂练习1.一把矩形米尺，长1m，宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（

）A.100∶3B.1∶3C.10∶3D.1000∶32.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm，则这张图的比例尺为（

）A.5∶1B.1∶5C.1∶500000D.500000∶1AC3.已知线段

AB，点

P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以

AP为边的正方形的面积为

S1，以

PB、AB为边的矩形面积为

S2，则

S1

与

S2

的关系是（

）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2 D．S1≥S2CPAB4.点

C是线段

AB的黄金分割点，如果

AB=4，求线段

AC的长度．AC=4×0.618=2.472或者

AC=4×(1-0.618)=1.518.5.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高3米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？离地面的高度

h=3×0.618=1.854m6.已知

，AB=15，AC=10，BD=6．求

AE．解：根据题意可知，

，

AB=15，

AC=10，BD=6，

则

AD=AB

-

BD=15-6=9，

ABCDE课堂小结比例线段两条线段的比：比例线段①求两条线段的