4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-教学课件2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修·2

第4章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念与通项公式导入新课1.数列的定义是什么?一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.数列的通项公式的定义是什么?如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.3.数列的递推公式的定义是什么?如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.教学过程问题1观察下列现实生活中的数列,这些数列有什么共同的特征吗?(1)2023年1月中第一个星期日为1日,第二个星期日为8日,第三个星期日为15日,第四个星期日为22日,第五个星期日为29日.由此所组成的数列为1,8,15,22,29.(2)1896年,雅典举办了第一届现代奥运会,到2008年的北京奥运会已经是第二十九届奥运会.奥运会举办的年份(暂不考虑因战乱未真正举办的情况)所对应的数列为1896,1900,1904,…,2008,2012,….(3)我国有用十二生肖纪年的习惯,例如,2023年是兔年,从2023年开始,兔年的年份所对应的数列为2023,2035,2047,2059,….教学过程(1)1,8,15,22,29.①(2)1896,1900,1904,…,2008,2012,….②(3)2023,2035,2047,2059,….③观察数列①②③,你能发现它们的规律吗?对于数列1,8,15,22,29,有8=1+7,15=8+7,22=15+7,29=22+7.换一种写法就是:8-1=7,15-8=7,22-15=7,29-22=7.如果用{an}表示数列1,8,15,22,29,那么如何表示8-1=7,15-8=7,22-15=7,29-22=7呢?a2-a1=7,a3-a2=7,a4-a3=7,a5-a4=7.教学过程由此你能得到什么结论?其他两个数列也有此结论吗?对于数列①,有这样的规律:数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数7.同样,数列②满足:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数4.数列③满足:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12.教学过程问题2什么是等差数列?你能给出等差数列的定义吗?一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.你认为等差数列的定义中的关键语句是什么?“从第2项起”“同一个常数”.教学过程

教学过程答案教学过程问题4你能根据等差数列的定义写出它的递推公式吗?你能推导出等差数列的通项公式吗?设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由等差数列的定义可得an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n∈N*,n≥2).你能根据递推公式,推导出等差数列的通项公式吗?教学过程不完全归纳法.由an+1-an=d可得a₂-a₁=d,a₃-a₂=d,a₄—a₃=d,….于是a₂=a₁+d,a₃=a₂+d=(a₁+d)+d=a₁+2d,a₄=a₃+d=(a₁+2d)+d=a₁+3d,……归纳可得an=a₁+(n-1)d(n≥2).当n=1时，上式为a₁=a₁+(1-1)d=a₁,成立.故首项为a₁,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a₁+(n-1)d.还有什么其他方法能推导等差数列的通项公式吗?由等差数列的定义得a2-a1=d,a3-a2=d,观察以上两式,进行怎样的运算可以求出a3?两式相加可得a3-a1=2d,即a3=a1+2d.用此方法可以求出an吗?共有几个等式?一共有(n-1)个等式,将它们进行累加,有an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.累加法.教学过程教学过程由等差数列的通项公式可以看出,要求出an,需要哪几个条件?只要求出等差数列的首项a1和公差d,然后代入公式an=a1+(n-1)d即可.练习写出以下数列的通项公式：(1)5,9,13,17,21;(2)9,7,5,3,1,-1;(3)6,6,6,6,6,6.an=5+(n-1)×4=4n+1.an=9+(n-1)×(-2)=-2n+11.an=6+(n-1)×0=6.教学过程已知等差数列{an}的首项a1和公差d,试求出an-am,看看等差数列的通项公式还可以表示为什么形式.an=am+(n-m)d对等差数列中任意一项am均成立,此公式可看作是等差数列的通项公式的一个推广,灵活运用此公式可以简化计算.教学过程教学过程问题5观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?因为an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),所以当d=0时,an=a1是常数函数;当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)当x=n(n∈N*)时的函数值,即an=f(n).公差d≠0的等差数列{an}的图象与一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)的图象有什么关系?公差d≠0的等差数列{an}的图象是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)图象上的一系列均匀分布的点.教学过程注意:数列{an}是公差不为0的等差数列⇔数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)当x=n时的函数值.你能从函数的角度研究等差数列的增减性吗?当d>0时,等差数列{an}是递增数列;当d<0时,等差数列{an}是递减数列;当d=0时,等差数列{an}是常数列.一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数)对应的数列{an}一定是等差数列吗?任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则an=kn+b,则a1=f(1)=k+b,an=f(n)=nk+b,an+1=f(n+1)=(n+1)k+b,an+1-an=[(n+1)k+b]-(kn+b)=k.所以数列{an}是以(k+b)为首项,k为公差的等差数列.教学过程课堂练习DB

课堂练习BC

课堂练习B课堂练习CD课堂总结梳理本节课所学的内容,回答