几何基础及光学 5

1光线的传播定律习题及答案光具有波粒二象性，一般什么情况下光的粒子性比较突出，什么情况下光的波动性比较突出？答：一般来说，除了研究光和物质相互作用的情况下必须考虑光的粒子性外，需要把光作为电磁波看待。光线、光束和光波有什么样的关系？答：光线为光波波面法线，光束为波面法线的集合。什么情况下用几何光学光线理论处理光波传播问题，误差会较大？答：当光学元件或系统的通光口径很小时。请基于反射定律研究平面镜成像的特点。答：如图(a)所示，镜前实物点A发出垂直入射的光线AO1和斜入射的光线AO2用于成像，对应的反射光线O1A和O2B反向延长虚交于A'，镜后的A'点即为镜前A点的虚像点。因为O1A垂直镜面出射，而A'又在O1A的延长线上，所以连线AA'也垂直于镜面。因为法线N2O2平行于连线AA'，所以有反射角∠N2O2B=∠O2A'O1，入射角∠N2O2A=∠O2AO1。又因为入射角等于反射角，所以有∠O2A'O1=∠O2AO1，那么△O2AO1和△O2A'O1全等，像点A'和物点A对称于镜面两侧。按照上面的证明思路，镜前实物点A发出的任意斜入射光线，比如图中的AO3，它对应的反射光线O3C与反射光线O1A的交点也必在A'。因此我们可以说，平面镜对物点A实现了完善成像。由于物点和像点对称于镜面两侧，物点集和像点集也对称于镜面两侧，所以由物点集和像点集组成的物与像的尺度也必然相同。xyxyzx’y’z’(c)坐标系形状的镜前物体通过平面镜成像图(b)所示是平面镜虚物成像情况，按照图(a)的证明思路，也可以得到平面镜物像对称于镜面两侧，尺度相同，成完善像的结论。图(c)所示坐标系形状的镜前物体xyz通过平面镜成像，线形物体可以看着连续物点的集合，根据前面的结论，可得到镜后虚像x'y'z'。从第三人视觉来看，镜中像相对于物，上下方向坐标y'和左右方向坐标x'维持不变，仅前后方向坐标z'发生反向。从局部坐标角度来看，镜前物体xyz是一个右手坐标系，镜中像x'y'z'变成了左手坐标系。如果绕某一坐标旋转物方坐标系，像方坐标将会绕该轴反向旋转，镜面的这种特殊成像称为镜像。综上，可得出结论：平面镜成完善的镜像，物像对称于镜面两侧，尺度相同，虚实相反。大气折射率分布存在由低向高逐渐减小的特征。受此影响，清晨沿着地平线看日出，以为的太阳位置和实际的太阳位置会有所偏差，请作图示意。答：可用大气分层示意其折射率由低向高减小的特征，来自太阳的光线将在相邻大气层的界面上发生折射，根据折射定律，折射角小于入射角，如图所示，如果看到太阳刚好在地平线上，实际的太阳位置在地平线以下。查资料获知光学玻璃的大致折射率范围，推测光学玻璃中光速范围。答：光学玻璃折射率n的大致范围为：1.45-2，根据n=c/v（c=3×108m/s），可得光学玻璃光速v的大致范围为：1.50×108~2.07×108m/s。道威棱镜的平面及立体示意图如图1-23所示，其折射率为1.5164。入射光由斜面平行于底面入射，经过底面全反射后由另一斜面平行于底面出射，请问入射光束中心保持离底面什么高度才能使出射光束与其同轴？4545°10cmh图STYLEREF1\s1SEQ图\*ARABIC\s123道威棱镜的平面及立体示意图解：因为出射光和入射光都平行于斜面，根据反射光路的对称性可知出射面和入射面与斜面夹角均为45°，且只有光线在底面中央反射，出射光束中心才能和入射光束中心同轴。如下图所示，设入射光线在斜面上的折射角为a，由折射定律有sin45°=1.5164×sinaa=27.775°由边角关系有tan（45°+27.775°）=（10-h）/hh=2.376cm答：入射光束中心保持离底面2.376cm，才能使出射光束与其同轴。渔夫看见前面约1.5m、水下约0.5m处有一条大鱼，渔夫眼睛离水面高度约1m，水的折射率为1.33，请帮渔夫确定鱼的实际位置。解：下图为水下一点（鱼）往空气中折射光线的光路图，如图所示，不同位置的折射光线（空气中光线）其虚交点（鱼像点）位置并不相同。因此处于不同位置的眼睛接收光线的位置不一样，看到的鱼像点也相应不同。反过来，从某一具体的眼睛位置看到的鱼像点反推鱼的位置，也应严格基于眼睛所接收光线的信息来推导。鱼鱼像依题意和上面的分析作下图，图中红黑两条光线为人眼瞳孔（取直径2mm）所接收到鱼发出光束的边缘光线。2250050010001000鱼像dxai1bci2pl根据边角关系，易知a=45°，根据折射定律有1.33*sini1=sin(90°-a)=sin45°i1=32.118°根据边角关系，易知tan(c)=(2+1000+500)/1500c=b=45.038°根据折射定律有1.33*sini2=sin(90°-b)i2=32.094°根据边角关系，易知p=500-500/tancp=0.666mm根据边角关系，易知tanx=708.6mm,d=1128.8mm易知l=x+1000=1708.6mm答：鱼的实际位置在前面1708.6mm，水下约708.6mm处。单模光纤纤芯和包层的折射率分别为1.444和1.402，请计算从光纤纤芯端面多大角度内入射的光线不会从包层溢出？解：依题意作光路图如下。光线在纤芯内发生全反射的临界角I2’需满足：sinI2’=1.402/1.444，可得I2’=76.168°。如图可知I1’=90°-I2’=13.832°。根据折射定律，有sinI1=1.444×sinI1’，可得I1=20.182°答：入射角20.182°内入射的光线不会从包层溢出。等腰直角棱镜一次反射示意图如图1-24所示，通过折射率为1.5164的等腰直角棱镜斜面的全反射使光路转折，入射光束锥角过大容易使部分光束从斜面溢出，多大的锥角光束刚好能完全发生全反射？溢出溢出图STYLEREF1\s1SEQ图\*ARABIC\s124等腰直角棱镜一次反射示意图解：依题意作平面光路图如下。上边缘光线在斜面上产生入射角a，下边缘光线产生入射角b，显然a<b；随着光束锥角增加，入射角a减小，而入射角b增大。综上，上边缘光线全反射将最先消失。设上边缘光线在斜面上的临界入射角为am，它应该满足全反射条件sinam=1/1.5164，可得am=41.224°。根据光路可知i1’=180°-135°-am=3.776°。根据折射定律有sini1=1.5164×sini1’，可得i1=5.733°。答：单侧平面角5.733°以内的锥角刚好能完全发生全反射。aabi1’i1棱镜分光合光光路如图1-25所示，光线从A屏出发，经分光棱镜分光后，分成光路1和2，最后再次经分光棱镜合光后到达B屏。光路及棱镜尺寸如图所示，光路1中的等腰直角反射棱镜和分光棱镜中的等腰直角棱镜尺寸相同，所有玻璃材料折射率均为1.5，请问需要在光路2中增加多厚的同种玻璃平板，才能使两屏之间两路光程相等？1010mm20mm30mm光路1光路2AB图STYLEREF1\s1SEQ图\*ARABIC\s125棱镜分光合光光路解：如下图所示，光路1和光路2中的a部分光程相同，光路1比光路2多出两段b部分，其光程差为：2×(1×10+n×10)=50mm为在光路2中(两分光棱镜中间)增加50mm的光程，设需加玻璃平板的厚度为d，则有：50=(n-1)×d=0.5×dd=100mm1010mm20mm30mm光路1光路2ABaabb10mm3.333mm10mm光轴要加的平板厚度100mm远大于仅有的空气间隔20mm，显然不可行，可设计右上图所示的反射棱镜来往下借空间。设定所加棱镜完全占用光路2的空气间隔20mm，这部分棱镜的等效长度为d1，向下拓展的部分等效长度为d2，则有：50=(n-1)×d1+n×d2=(n-1)×20+n×d2d2=26.667mmd=d1+d2=46.667mm答：需要在光路2中增加如右上图所示反射棱镜，其等效平板长度为46.667mm。镜间人成像示意如图1-26所示，人在两平行相对的镜间成像，取先经过镜1再经过镜2的两次成像进行分析，请抽象出成像光路并指出每次成像的物、像虚实。图STYLEREF1\s1SEQ图\*ARABIC\s126镜间人成像示意图解：抽象出的成像光路和物像的虚实如下图所示。对无穷远物点成完善像的平凸透镜光路如图1-27所示，环境折射率为n，透镜折射率为n'，求凸面在图示截面上的曲线方程。LL'dOnn'图STYLEREF1\s1SEQ图