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文档简介

南京师范大学《实变函数与泛函分析》考试试卷含答案一、填空题

1.实变函数的定义域是实数集，其值域是______。

答案：实数集

2.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上______。

答案：可积

3.若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则其积分值______。

答案：唯一

4.设f(x)是定义在[0,1]上的连续函数，且满足f(0)=1，f(1)=2，则存在c∈(0,1)使得f(c)=______。

答案：3/2

5.泛函是______的函数。

答案：从函数空间到实数集

二、选择题

1.以下哪个函数是实变函数的例子？()

A.e^x

B.sin(x)

C.arcsin(x)

D.f(x)=|x|

答案：D

2.以下哪个性质是泛函的必要性质？()

A.连续性

B.可微性

C.线性

D.有界性

答案：C

3.设f(x)是定义在[0,1]上的连续函数，以下哪个命题是正确的？()

A.f(x)在[0,1]上可积

B.f(x)在[0,1]上可导

C.f(x)在[0,1]上单调

D.f(x)在[0,1]上无界

答案：A

4.以下哪个空间是函数空间？()

A.R^n

B.C[0,1]

C.L^2([0,1])

D.P(R)

答案：B、C、D

三、判断题

1.函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上可积。()

答案：正确

2.函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在该区间上连续。()

答案：错误

3.泛函的值域是实数集。()

答案：正确

4.实变函数的值域是实数集。()

答案：正确

四、解答题

1.设f(x)是定义在[0,1]上的连续函数，求证：存在c∈(0,1)使得f(c)=(f(0)+f(1))/2。

证明：根据介值定理，f(x)在[0,1]上取到最大值M和最小值m。设a和b分别是f(x)取到M和m的点，那么有0≤a≤b≤1。根据平均值定理，存在c∈(a,b)使得f(c)=(M+m)/2。因为a和b都在[0,1]内，所以c也在[0,1]内。

2.设f(x)是定义在[0,1]上的连续函数，且f(0)=0，f(1)=1。证明：存在c∈(0,1)使得f(c)=c。

证明：定义g(x)=f(x)x，那么g(0)=f(0)0=0，g(1)=f(1)1=0。根据罗尔定理，存在c∈(0,1)使得g'(c)=0。即f'(c)1=0，从而f(c)=c。

3.设f(x)是定义在[0,1]上的连续函数，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy。求f(x)的表达式。

解：令y=0，得到f(x+0)=f(x)+f(0)+x0，即f(x)=f(0)+f(x)。从而f(0)=0。

令x=y=1/2，得到f(1)=f(1/2)+f(1/2)+1/4，即f(1)=2f(1/2)+1/4。因为f(1)=1，所以f(1/2)=1/4。

对于任意x，令y=x，得到f(2x)=f(x)+f(x)+x^2，即f(2x)=2f(x)+x^2。令x=1/2，得到f(1)=2f(1/2)+1/4，即1=2(1/4)+1/4，所以f(1)=1。

因此，f(x)=x^2。验

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