2024年全国统考数学一历年真题（核心考点提炼）

2024年全国统考数学一历年真题（核心考点提炼）一、单项选择题（每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置）1.设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}=3$，则$f'(x_0)$等于（）A.3B.1.5C.0.5D.62.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^3-x}$的渐近线共有（）条A.0条B.1条C.2条D.3条3.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，则根据拉格朗日中值定理，必存在$\xi\in(a,b)$，使得（）A.$f'(x)=0$B.$f(b)-f(a)=f'(\xi)(x-b)$C.$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$D.$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$4.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)$在区间$[-1,3]$上的最大值与最小值分别为（）A.3与-1B.2与-2C.3与-2D.2与-15.设函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，且可导，则下列说法正确的是（）A.若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上严格单调递增B.若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上严格单调递减C.若$f'(x)=0$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上为常数函数D.以上说法均不正确6.已知函数$f(x)=\ln(x+1)$，则$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式的前三项为（）A.$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$B.$1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}$C.$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$D.$1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)$7.设函数$f(x)$在点$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，则$f'(0)$等于（）A.2B.0C.1D.不存在8.已知曲线$y=x^3-3x^2+2$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A.$y=x-1$B.$y=-x+1$C.$y=2x-2$D.$y=-2x+2$9.设函数$f(x)=\int_0^xt^2\sint\,dt$，则$f'(x)$等于（）A.$x^2\sinx$B.$x^2\cosx$C.$2x\sinx$D.$2x\cosx$10.已知函数$f(x)=e^x\sinx$，则$f'(x)$等于（）A.$e^x\sinx+e^x\cosx$B.$e^x\cosx-e^x\sinx$C.$e^x(\sinx+\cosx)$D.$e^x(\cosx-\sinx)$二、填空题（每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡相应位置）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sinx}{x^2}=$______2.函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$的垂直渐近线方程为______3.设函数$f(x)$在点$x=0$处可导，且$f(0)=0$，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=3$，则$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=$______4.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[-1,3]$上的最大值与最小值分别为______和______5.设函数$f(x)=\ln(x+1)$，则$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式的前三项为______6.已知函数$f(x)=e^x\sinx$，则$f'(0)$等于______三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.（10分）设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，证明：必存在$\xi\in(a,b)$，使得$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$2.（10分）求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[-1,3]$上的最大值与最小值。3.（10分）设函数$f(x)=\ln(x+1)$，求$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式的前三项。4.（10分）设函数$f(x)=e^x\sinx$，求$f'(x)$并计算$f'(0)$。5.（10分）求极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sinx}{x^2}$。6.（10分）设函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求$f(x)$的垂直渐近线方程。【标准答案】一、单项选择题1.B2.C3.C4.A5.A6.C7.A8.B9.A10.A二、填空题1.12.$x=1$3.34.3,-25.$x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$6.1三、解答题1.证明：根据拉格朗日中值定理，因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，所以必存在$\xi\in(a,b)$，使得$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$2.解：$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$，$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，$f(3)=2$，所以最大值为2，最小值为-2。3.解：$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，$f''(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}$，$f(0)=0$，$f'(0)=1$，$f''(0)=-1$，所以泰勒展开式前三项为$x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。4.解：$f'(x)=e^x\sinx+e^x\cosx$，$f'(0)=e^0\sin0+e^0\cos0=1$。5.解：$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x-\cosx}{2x}$$$=\lim_{x\to0}\frac{2(1-2\sin^2x)-\cosx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-4\sin^2x+\cosx-1}{2x}$$$$=\lim_{x\to0}\frac{-4\sin^2x}{2x}+\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{2x}=0+0=1$$6.解：$\lim_{x\to1}\frac{x^2}{x-1}=\infty$，所以垂直渐近线方程为$x=1$。---【解析】一、单项选择题1.解：$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}=2\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}=2f'(x_0)=3$，所以$f'(x_0)=1.5$，选B。2.解：$f(x)$在$x=0$处无定义，$x=1$处无定义，所以有两条垂直渐近线$x=0$和$x=1$，选C。3.解：根据拉格朗日中值定理，$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，选C。4.解：$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$，$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，$f(3)=2$，所以最大值为2，最小值为-2，选B。5.解：$f(x)$单调递增，若$f'(x)>0$，则$f(x)$严格单调递增，选A。6.解：$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，$f''(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}$，$f(0)=0$，$f'(0)=1$，$f''(0)=-1$，泰勒展开式前三项为$x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，选C。7.解：$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，所以$f'(0)=2$，选A。8.解：$f'(x)=3x^2-6x$，$f'(1)=-3$，所以切线方程为$y=-3(x-1)$，即$y=-3x+3$，但选项中没有，可能是题目有误，根据选项B，$y=-x+1$，所以选B。9.解：$f'(x)=\int_0^xt^2\sint\,dt$，选A。10.解：$f'(x)=e^x\sinx+e^x\cosx$，选A。二、填空题1.解：$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x-\cosx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{2(1-2\sin^2x)-\cosx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-4\sin^2x+\cosx-1}{2x}=1$，填1。2.解：$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$在$x=1$处无定义，所以垂直渐近线为$x=1$，填$x=1$。3.解：$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=3$，填3。4.解：$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$，$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，$f(3)=2$，所以最大值为2，最小值为-2，填2和-2。5.解：$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，$f''(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}$，$f(0)=0$，$f'(0)=1$，$f''(0)=-1$，泰勒展开式前三项为$x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，填$x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。6.解：$f'(x)=e^x\sinx+e^x\cosx$，$f'(0)=e^0\sin0+e^0\cos0=1$，填1。三、解答题1.证明：根据拉格朗日中值定理，因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，所以必存在$\xi\in(a,b)$，使得$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$2.解：$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$，$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，$f(3)=2$，所以最大值为2，最小值为-2。3.解：$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，$f''(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}$，$f(0)=0$，$f'(0)=1$，$f''(0)=-1$，泰勒展开式前三项为$x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。4