考研高等代数习题集全套-2022（重难点专项突破）

考研高等代数习题集全套_2022（重难点专项突破）（数学三）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题卡上。）1.设矩阵A为3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于（）A.4B.8C.16D.322.设向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,1)，α3=(1,1,α)线性无关，则实数α的取值范围是（）A.α≠0且α≠2B.α≠0且α≠1C.α≠1且α≠2D.α≠03.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=BA，则下列命题正确的是（）A.A的伴随矩阵A与B可交换B.A的转置矩阵A^T与B可交换C.A的逆矩阵A^-1与B可交换D.A的伴随矩阵A与B^T可交换4.设A为n阶矩阵，且存在正整数k使得A^k=0（零矩阵），则下列命题正确的是（）A.A一定可逆B.A一定不可逆C.A的秩r(A)≤kD.A的秩r(A)=k5.设A为n阶矩阵，且满足A^2-A=0，则下列结论不一定成立的是（）A.A的特征值只能是0或1B.A一定可对角化C.A的秩r(A)为nD.A一定为对称矩阵6.设A为n阶实对称矩阵，且满足A^2=I（单位矩阵），则下列命题正确的是（）A.A的特征值只能是±1B.A一定可对角化C.A的秩r(A)为nD.A一定为正定矩阵7.设A为n阶正定矩阵，B为n阶半正定矩阵，则下列结论正确的是（）A.AB为正定矩阵B.AB为半正定矩阵C.AB为负定矩阵D.AB为不定矩阵8.设A为n阶矩阵，且存在正整数k使得A^k=0（零矩阵），则下列命题正确的是（）A.A一定可逆B.A一定不可逆C.A的秩r(A)≤kD.A的秩r(A)=k9.设A为n阶矩阵，且满足A^2-A=0，则下列结论不一定成立的是（）A.A的特征值只能是0或1B.A一定可对角化C.A的秩r(A)为nD.A一定为对称矩阵10.设A为n阶实对称矩阵，且满足A^2=I（单位矩阵），则下列命题正确的是（）A.A的特征值只能是±1B.A一定可对角化C.A的秩r(A)为nD.A一定为正定矩阵二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡上。）1.设向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,λ)线性相关，则实数λ=________。2.设矩阵A=（a11a12a13；a21a22a23；a31a32a33），且A的秩r(A)=2，则A的伴随矩阵A的秩r(A)=________。3.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=BA，则A^mB与BA^n的乘积等于________（m,n为正整数）。4.设A为n阶矩阵，且满足A^2-A=0，则A的特征值只能是________或________。5.设A为n阶正定矩阵，B为n阶半正定矩阵，则矩阵A+B的特征值________。6.设A为n阶矩阵，且存在正整数k使得A^k=0（零矩阵），则矩阵A的秩r(A)________k。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（本小题满分12分）设矩阵A=（a11a12a13；a21a22a23；a31a32a33），且A的秩r(A)=2，求A的伴随矩阵A，并证明AA=|A|I（单位矩阵）。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：由伴随矩阵的性质知，|A|=|A|^(n-1)，故|A|=2^(3-1)=8。2.C解析：向量组线性无关的充要条件是行列式不为0，即|101；011；11α|=1-α≠0，故α≠1且α≠2。3.C解析：由AB=BA可得A^-1(AB)=A^-1(BA)，即(A^-1B)A=A(A^-1B)，故A^-1B与A可交换。4.B解析：若A^k=0，则A不可逆，因为可逆矩阵的任何次幂都不为0矩阵。5.D解析：A的特征值只能是0或1，但A不一定为对称矩阵，例如A=(11；01)满足A^2-A=0，但A不是对称矩阵。6.A解析：由A^2=I可得A的特征值满足λ^2=1，即λ=±1。7.B解析：AB的特征值非负，因为A正定和B半正定，但AB不一定为正定矩阵，例如A=(10；01)，B=(11；10)时，AB=(21；11)为半正定矩阵。8.B解析：若A^k=0，则A不可逆，因为可逆矩阵的任何次幂都不为0矩阵。9.D解析：A的特征值只能是0或1，但A不一定为对称矩阵，例如A=(11；01)满足A^2-A=0，但A不是对称矩阵。10.A解析：由A^2=I可得A的特征值满足λ^2=1，即λ=±1。二、填空题1.2解析：向量组线性相关的充要条件是行列式不为0，即|111；123；13λ|=0，解得λ=2。2.1解析：由伴随矩阵的性质知，|A|=|A|^(n-1)，故当r(A)=2时，|A|=0，|A|=0，但r(A)=1。3.A^mB解析：由AB=BA可得(A^mB)(BA^n)=B(A^nA^m)B=B(A^(m+n))B=A^mB。4.0,1解析：由A^2-A=0可得A的特征值满足λ^2-λ=0，即λ=0或1。5.正数解析：A+B的特征值非负，因为A正定和B半正定。6.≤解析：若A^k=0，则A的秩r(A)≤k，因为非零矩阵的秩至少为k。三、解答题1.解：（1）向量组线性无关的充要条件是行列式不为0，即|101；011；11α|=1-α≠0，故α≠1且α≠2。（2）取α=3，向量组为α1=(1,0,1)，α2=(0,1,1)，α3=(1,1,3)，计算|α1α2α3|=|101；011；113|=1≠0，故α1，α2线性无关，且α3可由α1，α2线性表示，极大无关组为{α1，α2}。2.解：（1）由A的秩r(A)=2，取A=(111；123；13λ)，计算|111；123；13λ|=0，解得λ=2，故A=(111；123；132)，伴随矩阵A为(-3-33；30-3；-330)。（2）计算AA=(111；123；132)(-3-33；30-3；-330)=4I，故AA=|A|I。3.证明：由AB=BA可得(A^mB)(BA^n)=B(A^nA^m)B=B(A^(m+n))B=A^mB，故A^mB与BA^n可交换。4.证明：（1）由A^2-A=0可得A(A-I)=0，若A可逆，则A-I=0，即A=I，但A=I不满足A^2-A=0，矛盾，故A不可逆，由A(A-I)=0，秩r(A)+r(A-I)≤n，若r(A)=n，则r(A-I)=0，即A-I=0，矛盾，故r(A)<n，由A^2-A=0，A的特征值满足λ^2-λ=0，即λ=0或1，故A的特征值只能是0或1。（2）反例：取A=(11；01)，A^2-A=(11；01)(11；01)-(11；01)=(00；00)，但A不是对称矩阵。5.证明：（1）A正定，则A的特征值全为正，B半正定，则B的特征值非负，A+B的特征值非负，因为非负数之和仍为非负。（2）反例：取A=(10；01)，B=(11；10)，A+B=(21；11)，特征值为1,1，全为正，但AB=(