2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优19　概率与数列综合

培优19概率与数列综合类型1构造数列类构造数列型问题通常具备第n次操作的结果会对第n+1次的操作产生影响的特征,

例如“甲、乙、丙三人相互传球,求若干次传球后球在甲手里的概率”,“第一代开红

花或黄花,第n代开红花的概率”等,可类比数列的递推公式,前一项的值会对后一项产

生影响,故可参考数列递推公式的解题方法.例1有n个编号分别为1,2,…,n的盒子,第1个盒子中有2个红球1个白球,其余盒子中为1

个红球1个白球,现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子,再从第2个盒子中任取一球

放入第3个盒子,以此类推,则从第2个盒子中取到红球的概率是___________;从第n个盒

子中取到红球的概率是_______________.

× + 

解析要求从第2个盒子中取到红球的概率,需要先确定从第1个盒子中放过来的是什

么球,故可按此划分样本空间,套用全概率公式求目标概率,设从第k(k=1,2,…,n)个盒子中取到红球为事件Ak,由全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(

)P(A2|

)①,因为第1个盒子中有2个红球1个白球,所以P(A1)=

=

,P(

)=1-P(A1)=1-

=

,又若A1发生,则从第2个盒子取球前,该盒子中有2个红球1个白球,所以P(A2|A1)=

=

,若A1不发生,则从第2个盒子取球前,该盒子中有1个红球2个白球,所以P(A2|

)=

=

,将以上各式代入①得P(A2)=

×

+

×

=

.再看第二空,所求即为P(An).可以想象,从第n个盒子中取到红球的概率与从第n-1个盒子

中取到什么球有关,故又按第n-1个盒子的取球结果来划分样本空间,套用全概率公式

建立数列{P(An)}的递推关系式,由全概率公式,当n≥2时,P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P(

)P(An|

)②,又P(An|An-1)=

,P(An|

)=

,所以代入②得P(An)=

P(An-1)+

P(

)=

P(An-1)+

[1-P(An-1)]=

P(An-1)+

③,③式属于P(An)=λP(An-1)+μ这种结构,可用待定系数法构造等比数列,不妨设P(An)+x=

[P(An-1)+x],则P(An)=

P(An-1)-

x,与P(An)=

P(An-1)+

对比可得-

x=

,所以x=-

,构造的方法就有了,由③可得P(An)-

=

,又因为P(A1)-

=

-

=

,所以

是首项为

,公比为

的等比数列,从而P(An)-

=

×

=

×

,故P(An)=

×

+

.例2甲、乙、丙三人打台球,约定:第一局甲、乙对打,丙轮空;此后每局的胜者与轮空

者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同,每局台球的结果相互独立.(1)求前三局中甲恰好参与了两局的概率;(2)求第n局有甲参与的概率;(3)求第n局是甲、乙对打的概率.解析

(1)分两种情况.第一种情况:甲第二局轮空,即第一局甲负,此时第三局一定有甲参与,其概率为

.第二种情况:甲第三局轮空,此时第二局甲负,第一局甲胜,其概率为

×

=

,故所求概率为

+

=

.(2)记第n局有甲参与的概率为Pn,则第n+1局有甲参与的概率为Pn+1,若第n局有甲参与,则第n+1局有甲参与的概率为

;若第n局没有甲参与,则第n+1局一定有甲参与,所以Pn+1=

Pn+(1-Pn),即Pn+1-

=-

,因为P1=1,所以P1-

=

,所以Pn-

=

×

,即Pn=

×

+

.(3)第n局是甲、乙对打,则第n局丙轮空,记第n局有丙参与的概率为Qn,则第n+1局有丙参与的概率为Qn+1.若第n局有丙参与,则第n+1局有丙参与的概率为

;若第n局没有丙参与,则第n+1局一定有丙参与,所以Qn+1=

Qn+(1-Qn),即Qn+1-

=-

.因为Q1=0,所以Q1-

=-

,所以Qn-

=-

×

,即Qn=-

×

+

,则第n局是甲、乙对打的概率为1-Qn=

×

+

.类型2等差、等比证明类等差或等比证明类题目通常在题干中给出一个明确的数列形式,要求根据已知条

件进行数列的证明,通常需要证明是等差或等比数列,解决此类问题需注意题干信息的

提取和证明技巧的使用.例

(高考真题精选)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有

效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于

两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一

轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为

治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治

愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以

甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.

甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列.(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P

(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解析

(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i)证明:∵α=0.5,β=0.8,∴a=0.5×0.8=0.4,b=0.5×0.8+0.5×0.2=0.5,c=0.5×0.2=0.1,∵pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),∴pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,…,7),整理可得5pi=4pi-1+pi+1(i=1,2,…,7),∴pi+1-pi=4(pi-pi-1)(i=1,2,…,7),又p1-p0=p1≠0,∴{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是以p1-p0为首项,4为公比的等比数列.(ii)由(i)写出证得的等比数列的通项公式,采用累加法,结合p8和p0的值可求得p1,进而得p

4,并对结论进行解释.由(i)知pi+1-pi=(p1-p0)·4i=p1·4i,∴p8-p7=p1·47,p7-p6=p1·46,……,p1-p0=p1·40,累加可得p8-p0=p1·(40+41+…+47)=

p1=

p1,由p8=1,p0=0得p1=

,所