2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优18　概率与函数综合

培优18概率与函数综合类型1概率与函数综合函数和概率综合问题将函数的各类性质和随机事件的概率结合一起考查,以选择

题或填空题形式出现,多与古典概型或条件概率结合考查.例1若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,则在函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点

的条件下,满足g(x)=

为偶函数的概率为

()A.

B.

C.

D.

D

解析首先列出事件函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点包含的样本点,若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点,则Δ=a2-4b≥0,则满足该条件的(a,b)有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(3,1),(3,2),(2,1),共19个.再找出符合事件g(x)=

为偶函数包含的样本点,g(x)=

为偶函数,定义域为{x|x≠0},只需h(x)=ax-b-x是奇函数,即h(-x)=a-x-bx=-(ax-b-x)=-h(x),所以a=b.(提示:y=(a+b)x为奇函数,所以若g(x)为偶函数,则必有h(x)=ax-b-x为奇函

数)则在上述19组数据中满足a=b的(a,b)有(6,6),(5,5),(4,4),共3个.最后根据古典概型的概率公式计算即可,所以所求概率P=

.故选D.例2已知函数f(x)=

ax3-

bx2+x,抛掷两枚骰子得到的点数分别是a,b,则函数f'(x)在x=1处取得最值的概率是

()A.

B.

C.

D.

C

解析

f'(x)=ax2-bx+1(a,b∈N*,且1≤a≤6,1≤b≤6),首先列出符合条件的(a,b)的基本事件,抛掷两枚骰子得到的点数一共有{(a,b)|a,b∈N*,1≤a≤6,1≤b≤6}36种等可能情况,再列出满足函数f'(x)在x=1处取得最值的基本事件,f'(x)图象的对称轴为x=

,令

=1,即b=2a,其中满足b=2a的有(1,2),(2,4),(3,6),共3种情况,最后根据古典概型的概率公式计算即可,所以概率为P=

=

,故选C.类型2概率可用函数表示例1某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务,现对所入住的120名老

年人征集意见,该公寓老年人的入住房间类型情况如下表:入住房间的类型单人间双人间三人间人数366024(1)若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人,

再从这10人中随机抽取4人进行询问,记随机抽取的4人中入住单人间的人数为ξ,求ξ的

分布列和数学期望.(2)记双人间与三人间为多人间,若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人

间的m(m>2且m∈N*)人组成一组,负责人从某组中任选2人进行询问,若选出的2人入住

房间类型相同(同为单人间或同为多人间),则该组被标为Ⅰ,否则该组被标为Ⅱ.记询问

的某组被标为Ⅱ的概率为p.(i)试用含m的代数式表示p;(ii)若一共询问了5组,用g(p)表示恰有3组被标为Ⅱ的概率,试求g(p)的最大值及此时m的

值.解析

(1)因为单人间、双人间、三人间入住人数比为36∶60∶24,即3∶5∶2,所以这10人中,入住单人间、双人间、三人间的人数分别为10×

=3,10×

=5,10×

=2.根据ξ满足超几何分布,列出ξ可能的取值,并计算相应的概率,列出分布列并求数学期

望.所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=

=

,P(ξ=1)=

=

,P(ξ=2)=

=

,P(ξ=3)=

=

,所以ξ的分布列为ξ0123P

则E(ξ)=0×

+1×

+2×

+3×

=

.(2)(i)由古典概型结合组合数公式,计算概率p,从m+2人中任选2人,有

种选法,其中入住房间类型不同的有

种选法,所以询问的某组被标为Ⅱ的概率p=

=

.(ii)由题意,知5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率g(p)=

p3(1-p)2=10p3(1-2p+p2)=10(p3-2p4+p5),利用导数求g(p)的最大值及此时m的值.g'(p)=10(3p2-8p3+5p4)=10p2(p-1)(5p-3),所以当p∈

时,g'(p)>0,函数g(p)单调递增,当p∈

时,g'(p)<0,函数g(p)单调递减,所以当p=

时,g(p)取得最大值,最大值为g

=

×

×

=

,由p=

=

且m∈N*,得m=3,所以当m=3时,5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率最大,且g(p)的最大值为

.例2某国际赛事中国队“W”队与“V”队进入决赛,决赛采用五局三胜制,当两队中

有一队赢得三局比赛时,就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负,且每局比赛的胜负

不受之前比赛结果影响.假设“W”队在任一局赢得比赛的概率均为p(0≤p≤1),比赛

局数的期望值记为f(p),则f(p)的最大值是___________.解析解法一:求f(p)的最大值需要其解析式,故先求比赛局数的分布列,再求期望f(p),设比赛局数为X,则X可能的取值有3,4,5,怎样能使X=3?要么“W”队连胜三局,要么

“V”队连胜三局,同理,X=4也需考虑“W”队赢得冠军和“V”队赢得冠军两种情

况,由题意,P(X=3)=p3+(1-p)3,P(X=4)=

p2(1-p)p+

(1-p)2p(1-p)=3p3(1-p)+3p(1-p)3,P(X=5)=

p2(1-p)2=6p2(1-p)2,所以f(p)=E(X)=3p3+3(1-p)3+12p3(1-p)+12p(1-p)3+30p2(1-p)2=3p3+3(1-p)2[1-p+4p(1-p)+10p2]+12p3(1-p)=3p3+3(1-p)2(1+3p+6p2)+12p3(1-p)=3p3+3(1-p)[(1-p)(1+3p+6p2)+4p3]=3p3+3(1-p)(1+3p+6p2-p-3p2-6p3+4p3)=3p3+3(1-p)(1+2p+3p2-2p3)=3p3+3(1+2p+3p2-2p3-p-2p2-3p3+2p4)=3p3+3(1+p+p2-5p3+2p4)=6p4-12p3+3p2+3p+3,解析式较复杂,考虑求导分析单调性,再求最大值,所以f'(p)=24p3-36p2+6p+3,要判断上式的正负,考虑分解因式,观察发现当p=

时,f'(p)=0,所以f'(p)必可化为f'(p)=(2p-1)(…)这种结构,故因式分解的方向就有了,所以f'(p)=24p3-12p2-24p2+6p+3=12p2(2p-1)-

3(8p2-2p-1)=12p2(2p-1)-3(2p-1)(4p+1)=(2p-1)(12p2-12p-3)=3(2p-1)(4p2-4p-1),当0≤p≤1时,4p2-4p-1=4p(p-1)-1<0,所以f'(p)>0⇔2p-1<0⇔0≤p<

,f'(p)<0⇔2p-1>0⇔

<p≤1,从而f(p)在

上单调递增,在

上单调递减,故f(p)max=f

=6×

-12×

+3×

+3×

+3=

.解法二:可以想象,要让打的局数尽可能多,则两队的水平应相当,所以f(p)的最大值肯定

在p=

时取得,故